Индукция и статистический анализ

Индукция следует за экспериментом (аддукцией). Ее проведение связано со многими трудностями.

Существуют ли точные значения измеряемых параметров? Кажется, что каждый признак (параметр) может обладать так называемой точной, или точечной, величиной. Но обосновать это мнение, видимо, невозможно. Даже при отсутствии ошибок измерения значение величины признака должно быть соотнесено с некоторым интервалом. Значение величины признака всегда имеет интервальный характер. Дело обстоит не так, что интервальное значение искажает точное значение. В действительности точечное значение есть упрощение по отношению к интервальному значению. Именно интервальное значение призван зафиксировать соответствующий прибор.

Выборочное среднее, вероятность, математическое ожидание и неопределенность

До сих пор рассматривались проблемы, связанные с определением величины параметра с узким интервалом. Но применительно к так называемым вероятностным величинам этого явно недостаточно, ибо в таком случае на один из центральных планов выходят концепты вероятности и математического ожидания. Оба концепта кажутся довольно необычными, но их природе вполне можно дать достаточно отчетливое истолкование^[1].

Ключевое значение в понимании концептов вероятности и математического ожидания имеет выборочное среднее. Допустим, что рассматривается величина Y. Обозначим через измеренную в s-м испытании величину Y. Общее же число испытаний, входящих в соответствующую выборку, равно п. В таком случае выборочное среднее А определяется по формуле.

(12.9).

Определение выборочного среднего требует от экспериментатора высокой компетентности в деле избрания соответствующих выборок и определения их признаков, в частности устойчивости. Обе эти величины представляют собой некоторые пределы выборочного среднего. В случае математического ожидания (Е) имеют дело с величиной измеряемого параметра. E[Y] есть предел А[Y], определенного на основании не одной, а многих выборок. При учете вероятности (Р) речь идет о пределе выборочного среднего применительно к относительной частоте исходов:

(12.10).

где т — число благоприятных исходов из общего числа п.

Поскольку т определяется на основании многих выборок, то и оно выступает как некоторая усредненная величина. Кажется, что экспериментатор при всем его старании не в состоянии определить ни математическое ожидание величины, ни вероятность ее наступления, ибо рассматриваемые выше предельные переходы предполагают бесконечное число как испытаний, так и выборок. Но в условиях дефицита времени он вынужден ограничиться вполне определенным числом испытаний. Экспериментатор вроде бы вправе заявить, что он должен стремиться как можно ближе подойти к точному (истинному) значению величин соответственно математического ожидания и вероятности. Но это так называемое точное значение вводится априорно, что должно насторожить экспериментатора. По мнению автора, парадокс недостижимости точного значения математического ожидания и вероятности вполне может быть преодолен в случае, если аккуратно учесть, с одной стороны, статус концептов и, с другой стороны, соотносительность определенных стадий концептуальной трансдукции в составе химии. Рассмотрим этот мнимый парадокс на примере анализа вероятности.

Существуют различные понимания природы вероятности^[2]. Особенно частое недоумение вызывает вроде бы полное отсутствие возможности согласовать понимание вероятности как относительной частоты, определяемой в эксперименте, и ее математического двойника. В последнем случае вероятность понимается либо по Р. фон Мизесу, а именно как предел относительной частоты, либо по А. Н. Колмогорову — в качестве меры, задаваемой на алгебрах множеств. Парадокс возникает постольку, поскольку математические реалии принимаются за вполне реальные идеализированные объекты и их признаки. В эксперименте такого рода реалии невозможно обнаружить. Во избежание парадоксальных суждений вроде бы остается единственная возможность, а именно считать, что за стадией экспериментирования следует стадия идеализации. Самое подлинное в науке — это, мол, идеализации.

Выход из ситуации находится, если признать математические объекты не идеализациями, а формализациями. Внимательными исследователями математика не переносится прямо и непосредственно в область химии. Математический аппарат непременно проверяется на предмет его состоятельности.

Итак, математическое ожидание и вероятность, будучи важнейшими научными концептами, не измеряются непосредственно, а определяются посредством исходных экспериментальных данных, т. е. фактов. Термин «математическое ожидание» едва ли состоятелен. Строго говоря, в контексте химии математическое ожидание превращается в химическое. Тем не менее, литературная норма вынуждает использовать термин «математическое ожидание» .

Определение математических ожиданий и вероятностей связано с многочисленными сложностями, каждая из которых придает ту или иную определенность эксперименту как стадии трансдукции. Укажем на некоторые из них, следуя в основном работе Ю. И. Алимова и Ю. А. Кравцова^[3].

• 1. Перечисление факторов, актуальных при определении математических ожиданий и вероятностей. Оно оказывается возможным лишь после тщательного изучения особенностей экспериментальной ситуации. Факторы ранжируются, но некоторые из них оказываются неучтенными.
• 2. Субъективная (экспертная) оценка вероятностей. Она оказывается необходимой в случае, если ощущается потребность в новой теории. Деятельность экспертов нуждается в осмыслении.
• 3. Восстановление статистического ансамбля по ограниченной экспериментальной выборке. Как правило, данных недостаточно, поэтому они домысливаются. Критерии домысливания сами нуждаются в критическом анализе.
• 4. Определение математических ожиданий и вероятностей в условиях нестационарности и неустойчивости. В этих условиях всякое прогнозирование оказывается связанным с новыми трудностями.
• 5. Интерпретация редких явлений. Поскольку редкие явления, как правило, невоспроизводимы, то и их изучение затруднительно.
• 6. Привлечение закона больших чисел. Вопреки широко распространенному мнению увеличение объема выборки совсем не обязательно влечет за собой уменьшение рассеяния экспериментальных данных. Закон больших чисел имеет место лишь при наличии факторов, обеспечивающих его существование.

С концептами математического ожидания и вероятности тесно связан концепт неопределенности. По поводу этого концепта остаются большие неясности. Обычно неопределенное интерпретируется как отрицание определенного. С этой точки зрения, величина, не обладающая точным значением, должна быть признана неопределенной. В эпистемологии неопределенность часто связывали с недостатком знаний, который может быть преодолен. Это понимание было поставлено под сомнение открытиями, сделанными в квантовой механике. Соотношение неопределенности Гейзенберга: свидетельствует о том, что при одновременном измерении импульса вдоль оси и координаты () их неопределенность неустранима. Осмысление соотношения неопределенностей Гейзенберга показало, что неопределенность реальна и, следовательно, она не связана с недостатком знаний. Стала также очевидной связь неопределенности с вероятностями. По крайней мере, так обстоят дела в физике и химии.

Заслуживает внимания рассмотрение онтического статуса неопределенности. Вероятность характеризует возможность наступления некоторых событий. Но в таком случае следует признать наличие некоего концентрата активности, обеспечивающего наступление упомянутых событий. По мнению автора, именно характеристикой этой активности как раз и является неопределенность. Недостаточно всего лишь подчеркивать неопределенность величин признаков. Крайне важно выделить их истоки. Причем они таковы, что опрокидывают наши привычные представления. Весьма показательно в этой связи, что в силу неопределенностных характеристик элементарных частиц возникают даже… вселенные. Мир насыщен не точными величинами, а неопределенностью, генерирующей широкий спектр вероятностных событий.

Выше были рассмотрены основополагающие концепты, необходимые для анализа добытых в результате эксперимента данных, а именно, среднее выборочное значение, математическое ожидание и вероятность. К этой великолепной тройке необходимо еще добавить дисперсию (от лат. dispersion — рассеяние). Дисперсия (DX) величины X определяется как квадрат ее отклонения от математического ожидания. Дисперсия необходима в двух отношениях. Во-первых, она позволяет держать в поле внимания исследователя всю совокупность результатов измерения, которая не сводится к математическим ожиданиям. Во-вторых, с опорой на нее можно характеризовать различного рода ошибки.

Ниже приводятся различные пути анализа экспериментальных данных. Они будут рассмотрены лишь в степени, позволяющей прийти к определенным методологическим выводам.

• [1] Алимов Ю. И., Кравцов Ю. А. Является ли вероятность «нормальной» физической величиной? // Успехи физических наук. 1992. Т. 162. № 7. С. 149−182.
• [2] Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. М.: Прогресс, 1978. С. 11−135.
• [3] Алимов Ю. И., Кравцов Ю. А. Является ли вероятность «нормальной» физической величиной? С. 171−175.