Оценка вероятности безотказной работы систем из многофункциональных модулей

Рассмотрим вычислительные системы из многофункциональных модулей, для которых условие работоспособности заключается в возможности выполнения каждой функции / е Fхотя бы в одном МФМ. Оценку ВБР проведем на основе комбинаторно-вероятностного метода включения-исключения, позволяющего получить как точную, так и приближенную оценку с требуемой погрешностью |6|.

Для МФМ вида (6.1) ВБР системы Р оценивается как [11.

где Р (/ v/ v… v f_a) — вероятность того, что хотя бы в одном из т МФМ может быть выполнена хотя бы одна функция из множества d функций {/*., /, -ЛЬ ^p(/i vfj V … v/") = 1 — [1 -p (fi vfj V … V.

Вероятность сохранения модулем способности выполнения хотя бы одной функции из множества {/,/, …,/,}.

где N, = {ij_f…, я},/;(/ л/ л … л/) — вероятность исправности в модуле оборудования, задействованного при выполнении функций/,/,…,/.

Значение p (J_i л / л … л /) определяется как вероятность исправности оборудования Ф, и Ф_; и … и Ф_Л

При экспоненциальном распределении времени до отказа.

где (Фи Ф_у yj … и Ф/) — суммарная интенсивность отказов оборудования МФМ, задействованного при выполнении функций/,/,…,/; t — время работы.

Для МФМ вида (6.3) ВБР системы вычислим как.

гдер_п — ВБР оборудования МФМ, составляющего множество Q; р₁ — ВБР оборудования МФМ, относящегося к множеству Ф/Q.

Если потеря модулем различных функций равновероятна (p_{=Pj =р), то.

Для МФМ вида (6.2) ВБР системы Р вычислим как.

Оценка вероятности безотказной работы с учетом ограничений времени обслуживания. Пусть задано — предельно допустимое сроднее время ожидания обслуживания запросов на выполнение функций / е F, i е N. Каждый модуль представим системой массового обслуживания М/М/1 [7,8]. Число МФМ т₀, при котором запросы обслуживаются за допустимое среднее время, определим как

где р = vk X — суммарная интенсивность запросов на выполнение функций / е Fv — среднее время их выполнения.

Система исправна, если способность выполнения каждого вида функций/ € Fсохраняется хотя бы в т₀ МФМ.

При этом вероятность работоспособности системы определяется по (6.4), с той разницей, что P (f_i v/ v … v f_a) — вероятность того, что хотя бы одна функция из множества {/, /,…, /_а} может быть выполнена не менее чем т₀ МФМ:

где вероятность p (J_i v/ v … v f_a) вычисляется по формуле (6.5).

Определение значения т₀ при допущении направления всего потока запросов в т₀ МФМ приводит к нижней (пессимистической) оценке вероятности работоспособности системы.

Для МФМ вида (6.3) ВБР системы вычислим как.

Приближенная оценка. Рассмотрим приближенную оценку систем из МФМ произвольного вида (6.1) пересекаемости множеств Ф_1? Ф₂, …, Ф". Приближение основывается на представлении МФМ вида (6.1) эквивалентной структурой вида (6.3). При этом условие эквивалентности модулей заключается в равенстве вероятности выполнения ими всей совокупности функций

Откуда для эквивалентной структуры модуля вида (6.3) получаем где при экспоненциальном распределении времени до отказа

где Л — суммарная интенсивность отказов МФМ; Л, — интенсивность отказов совокупности элементов модуля, задействованных при выполнении функции f_r

Определив значение p_Q и р_х = р (Ф_;)/р_а, вероятность работоспособности системы PFиз МФМ с эквивалентной структурой вычислим, но формуле (6.7).

Рассмотрим граничную верхнюю и нижнюю оценку надежности систем из МФМ вида (6.1) при их представлении структурой вида (6.3). При нижней (пессимистической) оценке ВБР будем считать, что ко множеству Q относится все оборудование, задействованное при выполнении более одной функции.

При верхней (оптимистической) оценке ВБР будем считать, что ко мно;

п

жеству Q относится оборудование П Ф;. Оборудование, используемое при.

i-i.

реализации нескольких (кроме Q) функций, распределяется между непересекающимися множествами ФС1. Относительная погрешность предлагаемой граничной оценки вычисляется как.

где Р_в и Р_н — верхняя и нижняя оценка, но формуле (6.7) ВБР системы.

Пусть структура модуля представлена на рис. 6.4, причем А,₁₂₃, Х₁₂, А,₁₃, X_23i A. J, Х₂, Х₃ — интенсивности отказов оборудования, относящегося к соответствующим пересечениям множеств Ф, Ф₂, Ф₃.

Рис. 6.4. Пример структуры многофункционального модуля

В случае экспоненциального распределения времени до отказа при нижней оценке получим.

а при верхней:

При расчете вероятности отказа системы Q = 1 — Р будем считать, что п = 3, т = 8. Нижней и верхней оценке вероятности отказа системы Q при A. J = Х₂ = Х₃ = 10 ⁴ ч^-1, Х_{2 = Х_{3 = Х₂₃ = 10-⁵ ч^-1, ^₁₂₃ = 10^-4 ч^-1 соответствуют кривые 1 и 2 на рис. 6.5. При этом результаты расчета погрешности метода представлены кривой 1 на рис. 6.6. При Х_{ = Х₂ = Х₃= 10^-5 ч^-1, Х_х2 = ^₁₃= А,₂₃ = = 10^_6 ч^-1, Х_т = 10^-4 ч^-1 нижней и верхней оценке вероятности отказа систе;

Рис. 6.5. Верхняя и нижняя оценка вероятности отказа системы.

Рис. 6.6. Погрешность расчета вероятности отказа.

мы Q соответствуют кривые 3 и 4 на рис. 6.6, а погрешности расчетов — кривая 2 на рис. 6.6.

Расчеты показывают приемлемость погрешности предлагаемого метода. Если полученная погрешность расчетов недостаточна, то возможно их уточнение на основе метода включения-исключения. Приближенная оценка по методу включения-исключения осуществляется па основе формулы (6.4) с учетом того, что при ограничении точности вычислений до члена со знаком «плюс» получаем верхнюю оценку, а со знаком «минус» — нижнюю.

Таким образом, мы рассмотрели точный и приближенный метод оценки надежности ВБР систем из модулей произвольного вида пересекаемости оборудования, задействованного при выполнении различных функций. Приближенный метод основывается на представлении структуры МФМ общего вида (6.1) структурой вида (6.3). Приближенный метод характеризуется простотой расчетов и прогнозируемой погрешностью.