Соотношение неопределенностей для координаты и импульса

В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Но из-за дуализма нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и об одновременном определении точных значений ее координаты и импульса. Так, нельзя определить длину волны по значению напряженности в одной точке, поскольку волна является протяженным объектом. А монохроматическая волна задается бесконечной во времени и пространстве синусоидой и не имеет фиксированной координаты. И чем короче отрезок синусоиды, тем больше разброс длин волн (это можно показать, например, с помощью интеграла Фурье). Импульс однозначно связан с длиной волны де Бройля. Поэтому чем больше мы получаем информации об импульсе микрочастицы, тем меньше имеем информации о ее координате, и наоборот.

Задолго до появления квантовой механики в оптике было получено соотношение между длиной цуга световой волны Ах и неопределенностью волнового числа этого цуга.

Воспользовавшись связью импульса движущейся вдоль оси х волны и волнового числа.

получим выведенное в 1927 г. соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса

Аналогичные выражения можно получить и для других координат. Полученные соотношения справедливы лишь приблизительно.

Гейзенберг вывел соотношение неопределенностей на основе ряда мысленных экспериментов. Например, можно пытаться определить координату и импульс микрочастицы, осветив ее и рассмотрев в микроскоп. Но волновые свойства и дифракция используемых для измерения фотонов не позволяют получить точный результат. Уточнения можно пытаться добиться путем уменьшения длины волны фотонов. Но тогда растет энергия фотонов, которая в процессе освещения микрочастицы не может не передаваться частично микрочастице, что опять же уменьшает точность результата измерения. Расчет показывает, что максимальная точность измерения определяется соотношением неопределенностей (33.31). Рассмотренный пример характерен тем, что само измерение параметров микрочастицы в квантовой физике влияет на результат измерения.

Соотношение неопределенностей можно вывести и на примере дифракции пучка электронов на узкой щели, размер которой сравним с длиной волны дс Бройля X электрона (рис. 33.1). В результате дифракции на экране наблюдается главный максимум, на который приходится основная доля интенсивности дифракционной картины. До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси у, причем составляющая импульсар_х = 0 и Д/;₍ = 0, а координатахширокого пучка электронов является неопределенной.

Рис. 33.1 После прохождения электронов через щель происходит локализация положения в направлении оси х — с точностью до ширины щели Ах. При этом вследствие дифракции появляется разброс направлений движения электронов в пределах угла а, соответствующего первому дифракционному минимуму (именно в таких пределах согласно теории дифракции сосредоточена преобладающая часть интенсивности дифрагирующей волны). Это приводит к появлению составляющей импульса р_х с разбросом (неопределенностью).

В соответствии с теорией дифракции на щели в параллельных лучах (дифракции Фраунгофера) известно условие первого минимума.

откуда имеем.

А с учетом некоторой части электронов, попадающих за пределы главного максимума, разброс несколько больше, так что имеем соотношение неопределенностей (33.31).

Соотношение неопределенностей можно воспринимать как квантовое ограничение применимости классической механики к микрочастицам. Перепишем соотношение неопределенностей для нерелятивистского случая в виде.

Очевидно, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с большей точностью можно применять понятие траектории. Так, например, для электрона в атоме водорода неопределенность координаты электрона порядка размеров самого атома Ах = 10¹⁰ м. Тогда из соотношения неопределенностей Av_x ~ 7? 10⁶ м/с, что втрое превышает классическую скорость электрона в атоме водорода. Поэтому нельзя говорить о движении электрона в атоме водорода по определенной траектории. Но если скорость или масса микрочастицы па несколько порядков больше, то неопределенность координаты соответственно падает и понятие траектории обычно является вполне оправданным.