Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Остановимся на еще одном подходе к задаче о площади криволинейной трапеции, который приводит к несколько иной, более общей трактовке определенного интеграла. Простоты ради по-прежнему будем считать заданную на отрезке [а; Ь] непрерывную функцию у = f (x) неотрицательной, но не обязательно возрастающей — ее график изображен на рис. 8.7.

Рис. 8.7.

На чертеже кроме криволинейной трапеции ААВВ изображена ступенчатая фигура, образованная прямоугольни;

л л л ^ь~^а

ками с основаниями Дг, = Дг₂ =… = Ах" =-, так что правая.

п

верхняя вершина каждого из них лежит на графике данной функции. Площадь S" этой фигуры выражается в виде суммы площадей всех составляющих ее прямоугольников следующим образом:

Написанное выражение называется интегральной суммой; S" дает приближенное значение площади S криволинейной трапеции, причем погрешность будет уменьшаться с ростом п, т. е. с увеличением числа прямоугольников. Точное равенство получится, если в интегральной сумме устремить п к бесконечности.

Определение 8.3. Предел последовательности интегральных сумм S_n называется определенным интегралом функции у = f (x) на отрезке [а; Ь]:

Символ J есть стилизованная буква S — от латинского слова «Summa», тот же смысл имеет и греческая буква I (читается: «сигма») используемая для обозначения суммирования.

Таким образом, определенный интеграл есть число, геометрически выражающее площадь криволинейной трапеции.

Проиллюстрируем сказанное на простом примере, в котором несложность выкладок облегчит понимание дела.

Пример 8.25.

Будем рассматривать линейную функцию: у = he, заданную на отрезке [0; й], — в этом случае криволинейная трапеция превращается в треугольник ОВВ (рис. 8.8).

Рис. 8.8.

Запишем интегральную сумму S,_v выражающую в этом примере площадь составленной из прямоугольников ступенчатой фигуры, «описывающей» треугольник ОВВ:

Несложными тождественными преобразованиями оно приводится к виду:

Перейдем к предел)' при п—

Замечание. Разумеется, проще найти площадь треугольника ОВВ по формуле Ньютона — Лейбница:

или вообще пе применяя интегралов, а иростр по элементарной формуле, перемножая длины катетов ОВ и ВВ:

Но нашей целью было проследовать в этом примере тем маршрутом, который приводит к определенному интегралу в новом, более общем понимании, которое как раз и отражено в приведенном выше рассуждении Льва Толстого об интегрировании как о суммировании бесконечного числа бесконечно малых элементов: при п —"°° каждое слагаемое в интегральной сумме является бесконечно малым, а число слагаемых стремится к бесконечности.