Диаграмматический способ рассуждения и решения логических задач

Дедуктивные умозаключения не обязательно могут выражаться и реализовываться в аналитической форме записи. Выше мы уже неоднократно прибегали к иллюстрациям отношений между понятиями с помощью круговых диаграмм — кругов Эйлера.

Круги Эйлера — хорошо известная графическая модель, используемая в логике для изображения отношений несовместимости, тождества, пересечения, включения (рода и вида), соподчинения. Точнее, речь идет об отношениях между объемами понятий, т. е. совокупностями сущностей, выступающих предметом мысли. Недаром именно на кругах Эйлера изображаются также и отношения между множествами в классической теории множеств.

Объемная (экстенсивная, референциальная) установка мышления характерна для методологии науки Нового времени. Более того, она выражает катафатическую установку европейского рационализма. (Речь идет о связи научного познания, как и рационализма в целом, с традицией западного христианства, с его общей установкой на позитивность характеристик Божественной сущности, а следовательно — и реальности. В отличие от этой традиции, восточному христианству свойственна апофатическая установка, ориентированная на непостижимость Божественной сущности в позитивных характеристиках.).

Эйлеровы круги очерчивают область объемов соответствующих понятий. В результате все их отрицания (дополнения) не-А, не-В, не-С и т. д. оказываются в одной нерасчлененной области «не-…». И в этом плане между «отрицательными терминами» различия отсутствуют, что порождает затруднения с некоторыми операциями традиционной логики, вроде обращения и противопоставления предикату простых суждений.

Применительно к аппарату логического анализа катафатическая установка означает отказ от оперирования «отрицательными терминами» — предикатами, выражающими представления об «отрицательных свой;

ствах". Эта же установка выражается в принципиальном разведении двух видов отрицания: связки и предиката. В первом случае речь идет о несуществовании: отрицание связки «есть» — «не есть» — означает отказ в экзистенциальном статусе. Во втором — результат дихотомического деления — дополнение понятия до универсума рассуждения (не-А — как все остальное в мире, что не является А). Катафатическая ориентация закрепилась в логическом анализе, аппарате математической логики «Principia mathematica» Б. Рассела и Л. Уайтхеда, давшем толчок развитию кванторной логики исчисления предикатов и основанном на принципиальном предположении о непустоте предметной области. Так, согласно Б. Расселу, логика не может оперировать пустыми понятиями и терминами — только знанием о реальных предметах. В ясной и лапидарной форме эта установка была выражена У. Куайном: «быть — значит быть значением связанной переменной». Расширение аппарата логического анализа на модальные, интенсиональные и эпистемические контексты потребовало уточнить содержания этой установки допущения существования (онтологических допущений). Результатом подобного переосмысления стала разработка широкого спектра семантики «возможных миров», аппарата логики, свободной от экзистенциальных допущений.

Для графического выражения идеи существования предмета, знание о котором выражено в субъекте суждения, потребовалось уточнение эйлеровых кругов Дж. Венном, предложившим специальные значки для обозначения присутствия предмета в соответствующем поле. И лишь в диаграммах Л. Кэрролла и в соответствующем предложенном им логическом аппарате удалось найти наглядное и наиболее полное для традиционной формальной логики решение проблемы отрицания.

Имя Льюиса Кэрролла (псевдоним Чарльза Лютвиджа Доджсона) хорошо известно многим прежде всего как имя автора «Охоты на Снарка», «Алисы в Стране чудес» и «Алисы в Зазеркалье»^[1]. Менее известны его логические парадоксы (два из них были в свое время опубликованы в «The Mind») и головоломные задачи, часть из которых попали на страницы его сказок. Однако мало кому известно, что автор замечательных сказок и задач, ставящих в тупик не только искушенных в логике людей, но и современные ЭВМ, разработал чрезвычайно оригинальную логическую систему (силлогистики).

Знакомство уже с первой частью «Символической логики» Кэрролла^[2] поражает оригинальностью и глубиной мысли автора, тщательностью и продуманностью не только отдельных положений, но и широкого плана построения целостной логической теории.

Характерная черта логической системы Кэрролла — то, что она не является плодом чисто умозрительных построений автора. Наоборот, логика Кэрролла носит сугубо практический характер. Она предназначена для непосредственного решения сложнейших логических и математических задач^[3]. Автор сознательно проверяет ее в «экстремальных» случаях, его привлекает прежде всего логический анализ суждений, по меньшей мере странных с точки зрения здравого смысла. Его основная цель — сформулировать предельно общие формулы и правила получения нового знания, которые, подобно улыбке Чеширского кота, остаются после того, как здравый смысл из посылок исчезает.

Глубина поднимаемых Кэрроллом логико-философских вопросов, оригинальность их решения отмечались в свое время Б. Расселом, а также представителями таких сравнительно молодых наук, как семиотика и логическая семантика. Речь идет об анализе Кэрроллом понятия существования в логике, о возможности получения в его логике заключения из отрицательных посылок, о необычном методе диаграмм, превосходящем эвристическими возможностями диаграммы Л. Эйлера и Дж. Венна, об обосновании форм правильного вывода, которые позволяют получать множество новых видов умозаключений, не известных в аристотелевской логике, и многом, многом другом.

Несмотря на столь явные достоинства, новаторские идеи и методы Кэрролла не были своевременно оценены должным образом, а имя его незаслуженно обойдено в учебниках по истории логики. Правда, отмечая этот прискорбный факт исторической несправедливости, следует учитывать, что одновременно с автором «Символической логики» (годы жизни — 1832—1898) жили и творили такие авторитеты в логике, как У. Гамильтон (1788−1856), Дж. С. Милль (1806−1873), Г. Лотце (1806−1881), У. Джевонс (1835—1882), А. де Морган (1806—1878), Дж. Венн (1834—1923), Г. Фреге и, наконец, основатель современных математических методов в логике — Дж. Буль (1815—1864). Творчество Кэрролла выпадает как раз на тот период, когда велись активные поиски развития методов формальной логики и внедрение в логику математических приемов, приведших впоследствии к развитию мощного аппарата математической логики. Кэрролл состоял в активной творческой переписке с Дж. Венном, им тщательнейшим образом изучена силлогистика Аристотеля. Преподавая математику в Оксфорде, он не оставался в стороне от современных ему идей математики и логики. О широкой логической эрудиции Кэрролла свидетельствует не только глубина его логико-семантических разработок, но и рассыпанные по многим страницам «Символической логики» критические замечания и ответы на возражения возможным критикам. Эвристический потенциал кэрролловских диаграмм в настоящее время широко признан, в том числе специалистами по искусственному интеллекту.

Кэрроллом были предложены два метода логического анализа — диаграммы и индексная запись. Причем ведущую эвристическую роль играют диаграммы. Этот метод основан на классификации универсума рассмотрения с помощью конкретных свойств (признаков).

Пусть диаграмма на рис. 2.9 представляет конкретный универсум.

Рис. 2.9. Диаграмма Кэрролла — аналог круга Эйлера

Если воспользоваться неким признаком, например X, то универсум может быть поделен на две ячейки: X и пе-Х (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Однобуквенная диаграмма Кэрролла

Далее можно, взяв дополнительный признак, например Y, разделить универсум на еще две части. Таким образом мы получим двухбуквенную диаграмму Кэрролла (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Двухбуквенная диаграмма Кэрролла

Условимся, что знак 1 будет означать, что данная клетка универсума занята (в ней имеется хотя бы один предмет, наделенный такой комбинацией свойств). Кэрролл для этой цели чаще использует красную фишку (кружок). Знак 0, стоящий в клетке, будет означать, что эта клетка пуста — таких предметов не существует. На подобных диаграммах можно легко представить простые суждения. Кэрролл называет их «суждениями существования», или «нормальными формами». Представим диаграммы для традиционных четырех видов простых суждений (/, О, А, Е).

Частноутвердительные (рис. 2.12): Некоторые X суть Y = Некоторые Y суть X — XY существуют = Существуют XY.

Рис. 2.12. Диаграмма для частноутвердительного суждения

Частноотрицательные (рис. 2.13): Некоторые X суть — У=Некоторые — У суть X = XУ существуют = Существуют XУ.

Рис. 2.13. Диаграмма для частноотрицательного суждения

Таким образом, согласно Кэрроллу, частноотрицателыюе суждение является разновидностью частноутвердительного.

Общеотрицательные (рис. 2.14): Ни один X не суть У=Ни один У не суть X = Ни один ХУ не существует = Не существует ХУ.

Рис. 2.14. Диаграмма для общсотрицатслышго суждения

Общеутвердительные (рис. 2.15): Все X суть У = {Ни один X не суть ~ У) + + {Некоторые X суть У) = {Не существуют Х~У) + {Существуют ХУ) = …

Рис. 2.15. Диаграмма для общеутвердительного суждения

Таким образом, в логике Кэрролла существует только два типа простых суждений: / и Е. Он называет их «реальностями» и «химерами» соответственно. О-суждения — разновидность /-суждений, а общеутвердительные суждения состоят из одной химеры и одной реальности. В этом он радикально расходится с традиционной трактовкой, согласно которой Л-суждения чисто обратимы в общеотрицательные. В трактовке Кэрролла такой общеотрицательный эквивалент дополняется «реальностью», в которой подчеркивается непустота субъекта исходного суждения.

Если учесть возможность перемены мест субъекта и предиката, а также допущение отрицательных терминов-субъектов и терминов-предикатов,

то очевидно, что такая трактовка, с одной стороны, упрощает силлогистику, с другой — резко увеличивает число возможных корректных модусов умозаключений.

%/

Умозаключения — собственно силлогизмы — предполагают построение трехбуквенных диаграмм, на которые наносятся суждения-посылки (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Трехбуквенная диаграмма Л. Кэрролла.

Например, возьмем следующие посылки.

Все эгоистичные люди неприятны окружающим.

Все обязательные люди приятны окружающим.

В традиционной логике из них может быть получено общеотрицательное заключение:

—> Все обязательные люди не эгоистичны.

Проверим его на диаграммах Кэрролла (рис. 2.17, 2.18). Универсум — люди. X — эгоистичные. У — обязательные. М — приятные окружающим.

Рис. 2.17. Диаграмма посылок

Рис. 2.18. Диаграмма заключения

По Кэрроллу традиционное заключение оказывается неполным. Полное заключение содержит еще одно суждение: Все эгоистичные люди необязательны.

Метод Кэрролла обладает несомненными эвристическими преимуществами перед другими методами диаграмм: Л. Эйлера и Дж. Венна.

Метод Эйлера основан на сопоставлении понятия и круга, который изображает объем данного понятия (класс соответствующих предметов). Для изображения суждений как субъектно-предикатных структур используются простейшие комбинации двух кругов, соответствующих объемам субъекта и предиката (рис. 2.19—2.21).

Диаграмма на рис. 2.19 используется для изображения суждений: Все X суть У, Ни один X не есть не-У, Некоторые У суть X, Некоторые У суть не-Х и суждений, обратных четырем последним.

Рис. 2.19. Ограниченность метода Эйлера: одна диаграмма для 8 типов суждений

Диаграмма на рис. 2.20 используется в представлении суждений: Все X суть не-Y, Все У суть не-Х, Ни один X не есть У, Некоторые не-Х суть У, Некоторые не-У суть X, Все не-Х суть не-У.

Рис. 2.20. Ограниченность метода Эйлера: одна диаграмма для 6 типов суждений

Диаграмма на рис. 2.21 используется в представлении суждений: Некоторые X суть У, Некоторые X суть не-У, Некоторые не-Х суть У, Некоторые неУ суть X и обратных им.

Рис. 2.21. Ограниченность метода Эйлера: одна диаграмма для 8 типов суждений

Таким образом, метод Эйлера обладает интересной особенностью — все эйлеровы диаграммы содержат суждение Некоторые не-Х суть не-У. И для изображения этого суждения потребуется весь набор диаграмм.

Что касается метода Дж. Венна, то он пользуется двумя кругами, в которых заштрихованная часть означает пустой класс, а непустая, «занятая» часть отмечается крестиком (рис. 2.22).

Рис. 2.22. Диаграммы Дж. Венна:

1 — Некоторые X суть Y; 2 — Ни один X не есть Y; 3 — Все X суть Y

Таким образом, для четырех возможных классов XY, X-Y, -XY и ~Х~ Y лишь первым трем соответствуют очерченные кругами области конечных размеров. Четвертому же классу отводится вся остальная часть бесконечной плоскости.

Для изображения двух суждений с одним общим термином надо прибегать к помощи трехкруговой диаграммы (рис. 2.23), на которой для размещения восьми возможных классов имеется семь очерченных кругами областей конечных размеров.

Рис. 2.23. Диаграмма Дж. Венна для двух суждений с общим термином

Для четырех терминов потребуется уже сложная фигура из пересеченных эллипсов, дающая 15 конечных областей. Для пяти терминов — еще более сложное построение с 31 областью. Причем один из эллипсов надо будет считать лежащим в плоскости вне одного из остальных. Для шести терминов потребуются две пятибуквенные диаграммы. Дальше шести терминов Дж. Венн не идет.

Кэрролловские же диаграммы легко распространяются на четыре термина — в этом случае получаются 16 клеток. Для пяти терминов используются 32 клетки, для шести — 64, для семи — 128, для восьми — 256, для девяти — 512 (две соприкасающиеся восьмибуквенные диаграммы), для десяти — 1024 (квадрат из четырех восьмибуквенных диаграмм) и т. д.

Фактически метод Кэрролла является развитием и усовершенствованием метода Венна. Различия касаются только графики: у Венна круги и ячейки ограничиваются кривыми линиями, а у Кэрролла — прямыми. Кроме того, у Кэрролла класс ~X~Y занимает такую же ограниченную часть плоскости, что и другие классы.

Интересно, что уже в XX в. исследователь сетей нейронов У. Маккаллок и его последователи, применившие диаграммы Венна (на которого Маккаллок и ссылается) для моделирования сетей формальных нейронов, пользовались, фактически, диаграммами Кэрролла. Сначала Маккаллок чертил круги в духе Эйлера — Венна (рис. 2.24), а затем стал пользоваться их фрагментом как общим случаем (рис. 2.25)^[4]:

Рис. 2.24. Диаграмма Венна (прямоугольником выделена часть, аналогичная диаграмме Кэрролла — Маккаллока).

Рис. 2.25. Диаграмма Маккаллока (прямой аналог диаграммы Кэрролла).

Представляя в таких диаграммах информацию, Маккаллок первоначально ставил точки в значимых ячейках, потом пользовался знаками О и 1, затем перешел к теоретико-вероятностным (многозначным) моделям. Д. Коэн показал возможность применения маккаллоковского подхода для выражения не только функций Буля — Шредера, но и более общих функций Лыоиса, а также Поста — Лукасевича, т. е. к аппарату многозначных и модальных логик^[5].

Отечественный исследователь диаграмм Венна А. С. Кузичев показал, что модернизированные Маккаллоком в 1943 г. диаграммы Венна позволяют адекватно выражать содержание не только алгебры логики Дж. Буля, но и логики высказываний и логики предикатов^[6].

Возможность развития метода Кэрролла за рамки силлогистики — предмет специального исследования. Стоит только отметить, что возможности такого развития имеются и представляются нетривиальными.

Диаграммы Кэрролла представляют собой графическое изображение всех возможных описаний состояния универсума, полученных с применением конкретных средств описания (терминов). Можно сказать, что это графический аналог описаний состояния (возможных миров) в духе Р. Карнапа, исследовавшего возможности семантического обоснования логического анализа модальностей. Однако отличия кэрролловского подхода от карнаповского довольно существенны.

• 1. У Карнапа каждое описание состояния представляет обособленный универсум, а их конъюнкция — возможные миры. У Кэрролла же один универсум рассуждения — схема всех возможных состояний мира относительно свойств, заданных предикатами (терминами). У Карнапа — возможные миры, у Кэрролла — мир возможного.
• 2. В семантике возможных миров необходимо отдельное обоснование для каждого суждения, описывающего каждый определенный мир. Иначе говоря, истинность суждения решается относительно выбранного возможного мира или всех миров. У Кэрролла же первоначален акт фиксации существования предметов — носителей определенной совокупности признаков. С этой точки зрения логика имеет основной задачей анализ этого факта существования. Причем этот анализ заключается в переходе от одних классификаций (описаний состояния) универсума рассуждения к другим.
• 3. Семантика возможных миров для получения адекватной теории необходимого следования (парадоксы импликации) нуждается в квантификации по возможным мирам. Логика Кэрролла — естественным образом логика необходимых связей. Кэрролловские правила вывода (например, считывания информации с трехи более буквенной диаграммы) есть правила получения необходимого знания на основании знания о существовании предметов определенного вида. Причем мы только предполагаем их существование, т. е. если мир устроен так, что наши посылки истинны (например, коты-гувернеры существуют), то мы с необходимостью получаем заключение. Подтверждение же таких экзистенциальных (онтологических) допущений производится внелогическим путем. Логика Кэрролла не нуждается в экзистенциальных (онтологических) допущениях о предметной области, поскольку сама является «теорией виртуального существования».

Таким образом, логика Кэрролла действительно оказывается логикой, не зависящей в своих законах и семантике от знания о мире, его структуре и т. д. Она предстает действенным инструментом познания, а не учением о структуре мира, как это явно или неявно получается в традиционном экстенсионально ориентированном логицизме.

Катафатичность традиционной аристотелевской силлогистики (и соответствующей логики классов) выражается в следующих тезисах:

• 1) в посылках и заключении силлогизма делается утверждение о существовании предметов, обозначаемых терминами-субъектами;
• 2) отрицание субъекта есть отрицание существования обозначаемых им предметов;
• 3) модусы, в которых встречаются отрицательные термины-субъекты, должны отбрасываться как не содержащие экзистенциального знания.

Какие, однако, имеются логико-семантические основания для этих тезисов? Представляется, что существо дела в не всегда ясно осознаваемом двояком смысле отрицания. Рассмотрим две диаграммы (рис. 2.26).

Рис. 2.26. Отрицание на диаграммах:

1 — отрицание как отсутствие (пустота); 2 — отрицание как «отрицательное свойство» (отрицательный термин)

Диаграмма 1 представляет возможные реальные соотношения классов S и Р: они могут сосуществовать, существовать в отдельности и отсутствовать. Отрицание в этом плане выражает реальное отсутствие. Это обстоятельство и выражает диаграмма 1. Однако логика изучает не реальное, а мысленное положение дел. Как наука, не имеющая в своих основаниях онтологических допущений, она есть наука о мыслимых связях в мыслимом мире. Поэтому логика фактически «онтологизируег» диаграмму 2, которая представляет, по сути дела, введение в логику функтора отрицания. В этом случае философская трактовка отрицания как реального отсутствия переходит в понимание ~5 как класса, дополнительного к классу S. Логика с полным правом оперирует такими терминами. Поэтому тезисы аристотелевской силлогистики 1 и 2 из вышеприведенного перечня логически не существенны.

Отношение к отрицанию в современной логике достаточно своеобразно. С одной стороны, очевидно, что отрицание обладает большей логической силой, чем утверждение. Так, для опровержения общего суждения достаточно одного контрпримера. Неспроста в развитии научного знания фальсификация гипотез играет большую роль, чем их верификация. С другой — операции превращения, доказательства от противного, доведения до абсурда предполагают тождество двойного отрицания и утверждения, а с третьей — в логике и математике давно выявилась тенденция элиминации отрицания из схем рассуждения (интуитивизм, конструктивизм).

Поэтому проблема экзистенциальное™ силлогистики состоит в том, что в последней неявно используются два вида отрицания: отрицание переменной (отрицательный термин, см. рис. 2.26, 2) и явно не вводимое пропозициональное отрицание (отрицание существования, см. рис. 2.26, 1). Это обстоятельство явным образом фигурирует в логике Кэрролла — как несводимое™ утверждений существования («реальностей») к отрицательным суждениям («химерам») и в особой роли отрицания в кэрролловских силлогистических правилах. Напомним, в силлогистике Кэрролла основными являются функторы I и Е, а А (как сложное — I & Е) и О (как I с отрицательным предикатом) не имеют самостоятельного значения.

Эта силлогистика может быть представлена как система из пяти правил: двух схем получения заключения (RA) и трех схем отбрасывания силлогистических форм (RD) в зависимости от распределения в них знаков отрицания.

• • RA1: из двух f-посылок с удаляемыми терминами различных знаков следует^{-заключение} с оставляемыми терминами с теми же знаками;
• • RA2: из /- и /Г-посылок с удаляемыми терминами одинаковых знаков следует /-заключение с оставляемыми терминами того же знака из /-посылки и измененного знака из /Г-посылки;
• • RD1: из двух /-посылок заключения нет;
• • RD2: из двух /Г-иосылок с удаляемыми терминами одного знака заключения нет;
• • RD3: из /- и ?-гюсылок с удаляемыми терминами различных знаков заключения нет.

Эти правила, в которых учтены все возможные комбинации посылок, могут быть обоснованы в диаграммах Венна или Кэрролла, a RA1 и RA2 выражают тождественно истинные формулы стандартной логики.

В силлогистике Кэрролла 624 правильных модуса, включая все модусы традиционной силлогистики. В нее входит и система Д. Гильберта, к 15 модусам которой можно перейти, отбросив модусы с отрицательными терминами-субъектами. Это ограничение можно рассматривать как правило RD4.

Для перехода к 19 аристотелевым модусам следует применить помимо RD4 еще два ограничения:

• • RD5: отбросить все модусы, в которых встречается хотя бы одно Е-суждение с отрицательным предикатом;
• • RD6: отбросить все модусы, в которых встречается в качестве посылки A-суждение, составной частью которого является /-суждение с отрицательным предикатом (т.е. 0-суждение не может входить в А).

Таким образом, кэрролловская силлогистика носит обобщающий характер, ее упрощенная аксиоматика (два правила получения заключения и три правила отбрасывания) позволяет достичь определенной унификации силлогистических умозаключений с увеличением их количества: 624 правильных и 528 отбрасываемых модусов. Использование дополнительных правил отбрасывания позволяет легко и просто перейти к силлогистикам Лейбница (24 модуса), Аристотеля (19 модусов) и Гильберта (15 модусов). Тем самым выявляется характер ограничений этих систем, поскольку в них отбрасываются модусы, содержащие суждения с отрицательными терминами-субъектами, общеотрицательные суждения с отрицательными предикатами, а также общеутвердительные суждения, в которые входят как часть частноутвердительные суждения с отрицательным предикатом. Однако все указанные модусы вполне допустимы в силлогистике Кэрролла, которая, таким образом, оказывается наиболее общей силлогистической системой^[7].

Более того, кэрролловские правила силлогистики дают возможность подтверждения гипотезы Я. Лукасевича, согласно которой, для того чтобы отбросить все неправильные модусы аристотелевской силлогистики, необходимо и достаточно аксиоматически отбросить только силлогистическую форму второй фигуры с общеутвердительными посылками и частноотрицательным заключением. Такой модус оказывается содержащим все три кэрролловских правила отбрасывания неправильных модусов, что позволяет строго обосновать интуицию польского исследователя силлогистики¹.

Снятие ограничений на использование отрицательных терминов позволяет достичь большей степени общности и простоты построения силлогистики, а также сделать прозрачными основания экзистенциальной трактовки этой теории дедукции.

• [1] Кроме того, Лыоис Кэрролл был фактически одним из первых в мире мастеров художественной фотографии. См. альбом: Lewis Carroll. Victorian photographer. Milan; London, 1980.
• [2] Кэрролл Л. История с узелками. M., 1973. C. 189—361. Сам Кэрролл опубликовал толькопервую часть своего фундаментального труда и ее популярную версию «Логическая игра». Им была подготовлена вторая часть, корректура которой была найдена в архиве профессораКука Вилсона. Опубликована в: Dodgson Ch. L. Lewis Carrolls Symbolic Logic. N. Y., 1977.
• [3] См. также: Logical nonsense. The works of Lewis Carroll. N. Y., 1934.
• [4] Маккаллок У. Символическое изображение нейрона в виде некоторой логической функции // Принципы самоорганизации. М., 1966. С. 131—135; Самоорганизующиеся системы.М., 1964. С. 136−162, 359−380.
• [5] Коуэн Дж. Многозначные логики и надежные автоматы // Самоорганизующиесясистемы. М., 1964. С. 178—225.
• [6] Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. М., 1968.
• [7] Тульчинский Г. Л. Аристотель = Льюис Кэрролл — (Лейбниц + Гильберт + Лукасевич), или Отрицательные термины и экзистенциальность силлогистики // Философская и социологическая мысль. 1996. № 1—2. Сокращенный вариант под тем же названием см. в: Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. СПб., 1996. С. 115—118.