Методы стохастического факторного анализа

Основы теории корреляции. Метод корреляционного анализа.

Между результирующим показателем и факторами его обуславливающими различают две формы связи: функциональную и корреляционную. Корреляция — слово латинского происхождения и в переводе означает «взаимосвязь». Корреляционная зависимость в отличие от функциональной, проявляется лишь в общем виде, и только в массе наблюдений.

Корреляционная зависимость проявляется только в средних величинах и выражает числовое соотношение между ними в виде тенденции к возрастанию или убыванию одной переменной величины при возрастании или убывании другой.

Корреляционная связь является свободной, неполной и неточной связью. Например, себестоимость единицы продукции зависит от уровня производительности труда: чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость. Но себестоимость зависит также и от ряда других факторов: стоимости сырья и материалов, топлива, электроэнергии, их расхода на единицу продукции, цеховых и общезаводских расходов и т. д. Поэтому нельзя утверждать, что при повышении производительности труда, допустим на 10%, себестоимость снизится так же на 10%. Может случиться, что, несмотря на рост производительности труда, себестоимость не только не снизится, но даже несколько повысится, если на нее окажут влияние действующие в обратном направлении другие факторы.

Вот почему корреляционная связь может быть установлена только в общем, в среднем путем исключения влияния факторов, не являющихся предметом нашего исследования.

В простейшем случае корреляционного анализа исследуется связь между двумя показателями, из которых один рассматривается как независимый показатель-фактор (его величина обозначается через х), а второй — как зависимая переменная (ее величина обозначается через у). Корреляционный анализ предназначен для количественного измерения выявленной связи.

Еще до математического расчета считается установленным, что связь между х и у существует или, по меньшей мере, может существовать и характеризуется функцией у = f (x). Одной из первых задач корреляционного анализа является установление вида этой функции, т. е. отыскание такого корреляционного уравнения (иначе оно называется уравнением регрессии), которое наилучшим образом соответствует характеру изучаемой связи.

По аналитическому выражению корреляционная связь может быть прямолинейной и криволинейной. Прямолинейной называется связь, когда величина явления изменяется приблизительно равномерно в соответствии с изменением величины влияющего фактора.

Если происходит неравномерное изменение явления в связи с изменением величины влияющего фактора, то такая связь называется криволинейной. Математически криволинейная зависимость может быть выражена уравнением криволинейной связи.

Простейшим таким уравнением является уравнение прямой:

На следующем этапе является выявление уравнения прямой при данной конкретной зависимости, т. е. определение численных значений постоянных величин уравнения: с/₀ и а_х при которых прямая будет наилучшим образом соответствовать имеющимся фактическим данным. Практически для расчетов необходимо иметь не менее 20—25 пар наблюдаемых значений х и у. При меньшем их количестве трудно ожидать надежных и убедительных результатов исследования.

В качестве критерия, по которому отыскивается «наилучшая» прямая, принято брать min суммы квадратов отклонений фактического значения у от вычисленных по уравнению прямой. Минимуму квадратов отклонений соответствует единственная прямая, коэффициенты которой отыскиваются так называемым методом наименьших квадратов.

После того, как будут найдены значения а₀ и a_t, находят дисперсию (сумму квадратов отклонений) сначала фактических значений у от средней его величины, а затем дисперсию разброса у расчетного от у фактического.

Чтобы определить насколько сократилась сумма квадратов отклонений при переходе от средней арифметической к уравнению прямой, необходимо разделить разницу между двумя дисперсиями на исходную дисперсию:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

где  — дисперсия разброса у от его средней арифметической; — дисперсия разброса расчетного у от у фактического.

Полученная величина показывает, на сколько уменьшилась сумма квадратов отклонений при переходе от среднего показателя к расчету у по данному уравнению. Эта величина называется коэффициентом детерминации и характеризует силу воздействия данной причины. Если из данного выражения извлечь квадратный корень, то этот показатель называется коэффициентом корреляции.

Уравнение связи и коэффициент корреляции являются важнейшими обобщающими характеристиками корреляционной зависимости между изучаемыми признаками. Если в действительности никакой связи между двумя изучаемыми переменными нет, то никакое уравнение прямой не даст нам лучшей характеристики г/, чем дает средняя арифметическая. Тогда числитель коэффициента корреляции становится равен нулю (8- =8″_v) и, соответственно, сам коэффициент тоже равен нулю. Если же между переменными существует тесная связь, значит 8-_Л. = 0 и коэффициент корреляции близок к 1. Отсюда, коэффициент корреляции может принимать значения по абсолютной величине от 1 до 0, меняя при этом знак. При положительном его значении с увеличением х величина у увеличивается; при отрицательном — у уменьшается при возрастании х.

Кроме линейной зависимости, рассмотренной ранее, уравнение корреляции может принимать и не линейный вид, что чаще всего:

— парабола:

— гипербола:

— показательная функция:

Логарифмируя показательную функцию, получаем Если обозначить то получим сочетание натуральной шкалы для х и логарифмической шкалы для

При использовании любой формы корреляционной зависимости теснота связи между переменными может быть измерена с помощью коэффициента корреляции.