Понятие полной аналитической функции в смысле Вейерштрасса

Пусть дана функция Д(z), голоморфная в области О,. Обозначая через z, произвольную точку области G_lt разложим данную функцию Д (з) в окрестности этой точки в степенной ряд:

В частности, может случиться, что радиус сходимости R_x этого ряда равен бесконечности, т. е. ряд (3) сходится в ка ждой точке z плоскости комплексного переменного. В этом случае сумма ряда (3) представляет функцию, голоморфную во всей плоскости, служащую аналитическим продолжением данной функции }_х (z) за ооласть G,. Вследствие единственности продолжения невозможно получить никакой другой функции посредством продолжения f_x(z).

Поясним сказанное примером. Пусть.

Этот ряд сходится во всей плоскости. Положим, далее:

Этот ряд имеет радиус сходимости R = 1. Определим функцик> /₁ (z) в круге G_x с центром в нулевой точке радиуса единица: |г|< 1, положив:

Посредством формулы (4) функция Д (z) определена лишь при |г|<^ 1. Если же мы разложим функцию J_x(z) в окрестности нулевой точки (z_x = 0) в степенной ряд, то получим посредством перемножения рядов g (z) и h (z):

так как, очевидно, имеем:

Таким образом, мы получили для данной функции разложение (5), спаведливое во всей плоскости комплексного переменного.

Если радиус сходимости разложения (3) не равен бесконечности то он есть конечное положительное число. Выберем точку z₂ внутри круга сходимости ряда (3), отличную от центра, и составим разложение для окрестности точки z₂:

где положено:

Радиус сходимости R₂ этого разложения по крайней мере равен расстоянию точки z₂ до окружности первоначального круга, т. е. R₂^zR_} — z₂ — z_x |. Если R₂ = R_} — jz₂ — z_x |, то ряд (6) даёт значения функции только в тех точках, в которых она уже определена посредством ряда (3) (фиг. 97). В этом случае точка касания окружностей кругов сходимости рядов (3) и (6) будет особой точкой функции, определённой через /, (z). Если же_в /?₂ >/?, — | z$—г, |, то новый круг сходимости выходит за первоначальный, и мы имеем тогда функцию /_х (z) продолженной за старый круг сходимости в направлении радиуса (г, z.J (фиг. 98). Итак, если вообще возможно продолжение в определённом направлении, то оно будет осуществлено с помощью этого степенного ряда.

Вообразим себе теперь, что мы продолжили первый элемент (3) функции по всем возможным направлениям; также пусть новые элементы в свою очередь продолжены по всем возможным направлениям и т. д. Таким путём мы получаем, отправляясь от первого элемента (3), функцию, голоморфную, вообще говоря, во всё более и более увеличивающейся области. Однако, может случиться, что продолжение первого степенного ряда (3) невозможно ни по какому направлению.

Фиг. 97.

Фиг. 98.

В этом случае, следовательно, не существует никакой функции, которая была бы голоморфной в области большей, чем первый круг сходимости. Мы скажем тогда, что функция не продолжаема и окружность круга сходимости есть её естественная граница.

Пример:

Радиус сходимости R ряда (7) равен единице. Если бы функция f (z) была продолжаема за круг сходимости данного ряда (7), то некоторая дуга его окружности состояла бы сплошь из правильных точек функции /(г). На таги/ —.

кой дуге имеются в бесконечном множестве точки вида: z₀=e ⁴, где р и q — целые положительные числа. Если мы покажем, что точка вида z₀ не может быть правильной точкой функции f (z), то тем самым будет доказана невозможность продолжения функции f (z).

Положим: z = рго, где 0 < р < 1:

так как при п^д имеем: z^n! = (oz₀)^nl = р^п!.

Таким образом, полагая М = 2д — N, где N— произвольно большое целое положительное число, имеем:

Когда р стремится к единице, то правая часть неравенства (8) стремится к значению М— 2?-f-2 =/V 4−2. Следовательно, при надлежащем подборе р₀ для всех значений ?(Ро<�Р<1) необходимо должно иметь: f (z) | > vV Вспомнив, что /V обозначает произвольное большое число, заключаем: при радиальном приближении к точке z_Q модуль функции f{z) стремится к бесконечности. Отсюда следует, что точка z₀ не может быть правильной точкой функции f (z).

Другой крайний случай, когда степенной ряд продолжаем по всем направлениям за круг сходимости, не может иметь места. Действительно, мы знаем, что на окружности круга сходимости имеется по крайней мере одна особая точка (гл. V, § 2, п. 2), которая никогда не может попасть внутрь нового круга сходимости, что, однако, должно было бы случиться, если бы степенной ряд допускал продолжение по всем направлениям.

Фиг. 99.

Прилагая указанный метод продолжения, мы выделим множество М точек плоскости, из которых каждая может быть заключена внутрь некоторого круга сходимости; в достаточно малой окрестности каждой такой точки функция, следовательно, будет голоморфной.

Может случиться, что при продолжении мы попадём снова в первый круг с помощью нового круга. Так, например, на фиг. 99 первоначальный круг сходимости есть круг с центром в нулевой точке радиуса единица, причём на его окружности имеется единственная особая точка z = -J— 1. При последовательном продолжении этого начального элемента пятый круг имеет с первоначальным общую часть; значения нового степенного ряда в точках первоначального круга сходимости, принадлежащих указанной общей части, могут совпадать со значениями первоначального степенного ряда, а могут и не совпадать. В первом случае функция будет однозначной в области, через которую она была продолжена, во втором — многозначной.

Предполагая для простоты функцию всё время однозначной, мы можем сказать, что множество W всех правильных точек такой функции обладает двумя свойствами:

• 1) какова бы ни была точка множества W_y все точки достаточно малого круга с центром в этой точке принадлежат тому же множеству, т. е., говоря кратко, каждая точка множества W есть внутренняя точка;
• 2) любые две точки множества W можно соединить непрерывной линией, все точки которой принадлежат тому же множеству, т. е., короче, W есть связное множество.

Это множество W всех правильных точек функции называют сё областью существования. Очевидно, каждой правильной точке соответствует определённое значение функции.

По определению мы понимаем под полной аналитической функцией в смысле Вейерштрасса совокупность значений функции, которые соответствуют указанным образом всем правильным точкам.