Идентифицируемость систем эконометрических уравнений

Как показано в предыдущем параграфе, любая система одновременных уравнений может быть представлена в приведенной форме, коэффициенты которой оцениваются без особых затруднений. Однако исследователя, как правило, интересуют коэффициенты структурной формы. В связи с этим возникает вопрос о возможности обратного перехода от приведенной формы к структурной. Именно в этом состоит сущность проблемы идентифицируемости систем эконометрических уравнений. Но не следует путать эту проблему с процедурой идентификации модели, которая заключается в оценивании ее неизвестных параметров [2].

Для того чтобы проиллюстрировать проблему идентифицируемости, рассмотрим систему из двух уравнений:

Приведенная форма этой системы имеет вид.

Очевидно, что, даже зная все шесть коэффициентов приведенной формы, невозможно однозначно определить значения восьми коэффициентов структурной формы.

В общем виде структурная форма (5.5) содержит п (т + п — 1) неизвестных параметров, в то время как приведенная форма (5.6) содержит меньшее число неизвестных параметров, а именно пт. Однозначное определение коэффициентов структурной формы по известным коэффициентам приведенной формы возможно, когда приведенная и структурная формы содержат одинаковое количество параметров. Такие ситуации могут возникать, если удается сократить число структурных коэффициентов за счет некоторых предположений (допущений), например:

• • отдельные признаки не могут быть связаны друг с другом или связаны очень слабо. Тогда коэффициенты структурной формы, отражающие связи между такими признаками, могут быть равны нулю;
• • если воздействие некоторых признаков на одну и ту же эндогенную переменную одинаково, то соответствующие коэффициенты могут быть приравнены друг к другу;
• • на некоторые параметры структурной формы могут быть наложены дополнительные ограничения (например, вида Ь~ + а_к1 = 0) или они могут находиться в функциональной зависимости.

Однако совпадение числа неизвестных параметров в структурной и приведенной формах не гарантирует, что система будет идентифицируема. Поскольку структурная форма представляет из себя систему совместных уравнений, то проверке на идентифицируемость следует подвергать каждое уравнение системы. Введем следующие определения [2].

Уравнение структурной формы эконометрической модели называется точно идентифицируемым, если все его неизвестные коэффициенты однозначно определяются по коэффициентам приведенной формы без каких-либо ограничений.

Уравнение структурной формы называется сверхидентифицируемым, если все его неизвестные коэффициенты определяются по коэффициентам приведенной формы, причем некоторые из его коэффициентов могут принимать одновременно несколько (более одного) числовых значений.

Уравнение структурной формы называется неидентифицируемым, если хотя бы один из его неизвестных коэффициентов не может быть определен, но коэффициентам приведенной формы.

Система эконометрических уравнений называется точно идентифицируемой, если все уравнения ее структурной формы являются точно идентифицируемыми.

Система эконометрических уравнений называется неидентифицируемой, если хотя бы одно из уравнений ее структурной формы является неидентифицируемым.

Система эконометрических уравнений называется сверхидентифицируемой, если в ее структурной форме присутствует хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение, а все остальные уравнения являются точно идентифицируемыми.

Для того чтобы определить, является ли уравнение идентифицируемым, сверхидентифицируемым или неидентифицируемым, проводят проверку специальных условий идентифицируемости [2].

Первое условие (необходимое). Все столбцы матрицы значений экзогенных переменных должны быть линейно независимы.

Второе условие (необходимое). Для идентифицируемости уравнения необходимо, чтобы число экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в этом уравнении минус один.

Обозначим через Я число эндогенных переменных в уравнении, а через D — число экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе. Тогда возможны следующие ситуации:

• • если уравнение точно идентифицируемо, то D + 1 = Я;
• • если уравнение неидентифицируемо, то D + 1 < Я;
• • если уравнение сверхидентифицируемо, то D + 1 > Н.

Третье условие (необходимое и достаточное). Пусть.

А — матрица, составленная из структурных коэффициентов других уравнений системы, стоящих при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих в данном уравнении. Тогда для того чтобы уравнение являлось идентифицируемым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Пример. Рассмотрим процедуру проверки идентифицируемости систем эконометрических уравнений.

Пусть система эконометрических уравнений имеет вид.

Будем также предполагать, что все экзогенные переменные линейно независимы (в противном случае имеет место полная коллинеарность, методы устранения которой были рассмотрены в параграфе 4.16).

В данной системе три эндогенных и четыре экзогенных переменных. Поэтому приведенная форма модели будет содержать 3 • 4 = = 12 параметров, что совпадает с числом параметров рассматриваемой структурной формы модели.

Проверим второе необходимое условие для каждого из уравнений системы.

Уравнение 1: D = 2; 11= 3; D + 1 = II, следовательно, необходимое условие точной идентифицируемости выполнено.

Уравнение 2: D = 1; Н= 2: D + 1 = Я, следовательно, необходимое условие точной идентифицируемости выполнено.

Уравнение 3: D = 2; Я=3; D + 1 = Н, следовательно, необходимое условие точной идентифицируемости выполнено.

Теперь проверим третье условие.

Уравнение 1: здесь присутствуют переменные x_vx₂, y_vy₂, у_у а отсутствуют х₃, х₄. Чтобы для него построить матрицу Л, рассмотрим, какие коэффициенты стоят при переменныхх₃, х₄ в остальных уравнениях. Во втором этими коэффициентами являются а₂₃ и а₂₄, а в третьем х₃, х₄ отсутствуют, следовательно, коэффициенты при них можно считать равными нулю. Таким образом, матрица А имеет вид.

Ранг этой матрицы равен единице, следовательно, необходимое и достаточное условие нарушается, и данное уравнение неидентифицируемо.

Аналогичным образом проверяем остальные уравнения. Уравнение 2:

rg (/) = 2, следовательно, уравнение идентифицируемо.

Уравнение 3:

rg (/) = 1, следовательно, уравнение неидентифицируемо.

Таким образом, в системе присутствуют одно точно идентифицируемое уравнение и два неидентифицируемых, следовательно, система неидентифицируема.

Следует отметить, что иногда в системе уравнений могут присутствовать некоторые тождества, определяющие связи между переменными, какие-либо балансовые соотношения и т. п. Такие тождества не требуют проверки на идентифицируемость, поскольку все коэффициенты при переменных в них известны. Но при проверке на идентифицируемость других уравнений системы эти тождества учитываются.