Деформированное состояние в точке тела

Рассмотрим деформацию твердого тела, обусловленную приложенными внешними возмущениями, для чего воспользуемся локальной координатной системой ху с началом в произвольной точке О тела. Выделим в малой окрестности исследуемой точки О два взаимно перпендикулярных отрезка О А и ОВ, совпадающих с координатными направлениями (рис. 10.8).

Рис. 10.8. К определению деформаций.

В результате деформации тела точка О переместится в новое положение О'. Проекции перемещения на координатные оси составят uwv соответственно. Отрезок ОА займет новое положение О’А'.

Перемещение концевой точки отрезка А составит

Деформация в направлении х составит.

Аналогично найдем деформацию в направлении у. Перемещение концевой точки отрезка В составит.

Деформация в направлении у составит.

Угловую деформацию определим по изменению первоначально прямого угла ВОЛ:

Аналогичным образом можно получить выражения для недостающих линейных и угловых деформаций в пространственном случае. В окончательном виде выражения для деформаций запишутся в следующем виде:

Для дальнейшего анализа деформированного состояния в точке свяжем с точкой А пару взаимно перпендикулярных бесконечно малых отрезков прямых АВ и АС, направления которых {"} и {?} не совпадают с направлениями координатных осей и определяются направляющими косинусами n_r, n_t/, п_г и t_x, t_lf, t_z соответственно (рис. 10.9).

Рис. 10.9. К определению угловых деформаций.

В результате деформации тела отрезки переместятся из положения САВ в положение С А’В'. Пусть перемещения точки А в направлении осей Ох, Оу н Ог равны и, v, w соответственно. Определим проекции перемещения точки А на направления осей п и t:

Определим линейную деформацию в направлении г в соответствии с формулой (10.28):

Для преобразования полученного результата используем соотношения.

Преобразуем выражение (10.31):

С учетом соотношений (10.30) получаем следующую формулу для определения деформации г,;

Аналогично в соответствии с соотношениями (10.30) определим угловую деформацию:

И.

Сравнивая формулы (10.32) и (10.33) с формулами (10.7) и (10.9), убеждаемся в том, что линейные и угловые деформации при повороте осей изменяются по тем же законам, что и при такого же вида преобразованиях нормальные и касательные напряжения. Исходя из этого заключаем, что деформированное состояние в точке тела можно описать аналогично описанию напряженного состояния в точке тела. Для этой цели можно использовать тензор деформаций, который записывается следующим образом¹:

Появление коэффициентов ½ при угловых деформациях в тензоре деформаций объясняется наличием антисимметричсского тензора поворота, связанного с перемещением окрестности рассматриваемой точки как жесткого целого. Тензор поворота наряду с тензором деформаций возникает при полярном разложении градиента вектора перемещения.

Аналогично напряженному состоянию для деформированного состояния существуют три главных направления и соответствующие им три главные деформации, которые принято нумеровать в порядке уменьшения их величины:

В координатной системе, совпадающей с этими главными направлениями, угловые деформации равны нулю. Тензор деформаций имеет три инварианта, которые в случае совпадения осей координат с главными осями записываются в следующем виде: