Примеры определения частоты свободных колебаний

Пример 1.1. Определим угловую частоту и период свободных колебаний сосредоточенного груза весом G = 40 кН, расположенного на балке (рис. 1.4, а) [13].

Рис. 1.4. Определение перемещения под грузом Собственный вес балки, выполненной из двутавра N30a, не учитывается. Момент инерции поперечного сечения балки в направлении изгиба I = 8950 см⁴ = 895? 10 ⁸ м⁴, модуль упругости Е = 20,6 • 10^s кН? м²

Решение

Угловая частота определяется по формуле (1.13). Для ее определения необходимо вычислить 6_И — перемещение от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению колебания массы (рис. 1.4, б). Это перемещение вычисляется по формуле Мора путем «перемножения» эпюр по способу Верещагина:

Эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 1.4, в. С учетом выражения (Д.З).

По формуле (1.12) определяется период колебаний:

Пример 1.2. Определим угловую частоту и период колебаний груза G = 30 кН, подвешенного на конце консольной фермы (рис. 1.5, а).

Стержни фермы выполнены из двух уголков 75×75×6 (Л = 2 -8,78 см²), Е = = 2,06−10⁸ кН/м². Собственный вес фермы нс учитывается.

Рис. 1.5. Статически определимая консольная ферма.

Решение

Так как перемещение сосредоточенного груза в горизонтальном направлении ограничено, то остается только одна степень свободы — в вертикальном направлении. Перемещение 6_П вычисляется по формуле Мора:

Эпюра продольных сил от единичной силы, приложенной, но направлению перемещения груза, приведена на рис. 1.5, б.

Пример 1.3. Определим угловую частоту и период свободных колебаний сосредоточенного груза весом G = 30 кН, расположенного посередине горизонтального участка балки с осью ломаного очертания (рис. 1.6, а). Жесткость балки Е1= 7200 кП? м². Жесткость упругонодатливой опоры г = 400 кН/м. Собственный вес балки не учитывается.

Рис. 1.6. Расчет статически неопределимой системы методом сил Число степеней свободы равно единице. Угловую частоту определим по формуле (1.13). Перемещение 5_П вычисляется в заданной системе (рис. 1.6, ж) по формуле Мора. Но поскольку система статически неопределима, то для построения эпюры М_х необходимо использовать один из методов расчета статически неопределимых систем.

Степень статической неопределимости: я_с = ЗК-Ш = 3−2-5=1. Здесь К — число замкнутых контуров плоской системы; Ш — число удаленных связей или число простых шарниров.

Степень кинематической неопределимости: п_к = п_у + п_л = 1 + 1 = 2. Здесь п_у — число поставленных угловых связей; п_л — число поставленных линейных связей.

Поэтому для построения эпюры М, логично использовать метод сил.

Основная система метода сил показана на рис. 1.6, б. Каноническое уравнение метода имеет вид б^Х, + 8°_Jf = 0.

Для определения перемещений 8*}, и б*},.-в основной системе строятся эпюры М,° от X, = 1 (рис. 1.6, в, г) и Мр от F = 1 (рис. 1.6, д_} е). Перемещение 5^ будет состоять из двух частей (см. рис. 1.6, в): 6°, = 5^ + б^, где б';, (за счет упругих свойств балки) определяется по формуле Мора, б^/|, (вследствие деформации пружины) — исходя из зависимости (1.1). Итак,.

Эпюра изгибающих моментов от F= 1, построенная по формуле М, = М_хХ_х + изображена на рис. 1.6, з.

Как известно, при определении перемещений в статически неопределимой системе по формуле Мора одну из эпюр можно построить в любой статически определимой системе, полученной из заданной. Следовательно, для определения 6, можно перемножить эпюры М, и М°_г Полученная величина суммируется с перемещением, вычисленным за счет податливости опоры:

Пример 1.4. Определим угловую частоту и период свободных колебаний сосредоточенного груза весом G = 30 кН, расположенного на конце консоли статически неопределимой рамы (рис. 1.7, а). Поперечные сечения всех стержней рамы одинаковы (EI = 9000 кНм²), собственный вес рамы не учитывается.

Рис. 1.7. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений.

Решение

При принятых допущениях (см. рис. Д. З) учитываются только вертикальные колебания. Следовательно, число степеней свободы равно единице.

В направлении возможных колебаний груза приложим единичную силу F = 1 и определим перемещение 8_П (рис. 1.7, б). С этой целью в заданной системе построим эпюру М_] от F = 1, используя метод перемещений, гак как в данном случае число неизвестных метода перемещений, или степень кинематической неопределимости, п_к = п_у + п_л = 1 + 0 = 1 меньше, чем степень статической неопределимости и_с= 3* 1 — 1 = 2.

Основная система метода перемещений показана на рис. 1.7, в. Каноническое уравнение метода перемещений r_uZ, + r_tF = 0.

Реакции в дополнительной связи г_и и r_lf определим по эпюрам М,° от Z, = 1 и M_F от F= 1 (рис. 1.7, г—е).

Путем составления уравнений равновесия для вырезанной дополнительной связи определяются коэффициент r_u = 2EI и свободный член r_lF= 2. В итоге имеем.

Эпюра изгибающих моментов от F = 1, построенная, но формуле М, = MJ’Z, + MJ¹, представлена на рис. 1.7, ж.

С целью упрощения вычисления 5_П построим эпюру М, в статически определимой системе от единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения (рис. 1.7, з):

Упражнение 1.1. Определите угловую частоту и период колебаний массы, изображенной на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Система с одной степенью свободы.