Алгебраическая зависимость системы функций

Система функций ф = {/,(.г,…, х_п),…, f_m(x_b …, х,)} называется алгебраически зависимой, если найдется b е X и отличная от константы функция ф (г/1,…, У_т) е F_{ для которых.

В противном случае систему ф называют алгебраически независимой.

При поле X алгебраическая зависимость есть обобщение понятия линейной зависимости функций (как элементов векторного пространства).

Теорема 7.4. Функция ф е F_{m п} сюръективна о система ф алгебраически независима.

А Если система ф алгебраически зависима, то существует отличная от константы функция |f (y_v …, у_т) е _m такая, что для некоторого b е X выполнено равенство (7.5). Поскольку j/(y _1? …, у_т) Ф const, то найдется набор (cq,…, а_т) е Х^т такой, что |/(oq,…, а_т) Ф Ь. Если функция ф сюръективна, то для (cq,…, а_т) в Х^п имеется прообраз — набор (Р_1?…, (ЗД для которого.

Имеем противоречие с равенством (7.5), т. е. функция ф не сюръективна.

Пусть функция ф не сюръективна. Тогда некоторый набор (oq, …, а_т) е Х^т не имеет прообразов в Х^п относительно ф. Рассмотрим функцию |f (y_u …, у_т) е Е_1ш, которая равна а на наборе (oq,…, а_т) и равна b на остальных наборах из Х^т, а Ф Ь. По построению функция |f (y_u …, у_т) не константа, и V (/₁(P₁, Р"), …,/_w(Pi, Р_/7" = V (oq', О = b для любого (Р_1?…, Р") е Х^п, так как (oq',…, а,') Ф (cq,…, а_т). Отсюда система ф алгебраически зависима. ?

Следствие. Преобразованиеgмножества X" биективно алгебраически независима система координатных функций преобразования g. >

Приведенные в главе теоремы показывают, что распознавание биективности преобразования в общем случае трудоемко. В частности, обратимость функции ф можно установить, показав, что ф принадлежит известному классу обратимых функций. Покажем, что для некоторых классов преобразований имеются удобные критерии бисктивности.