Отображения множеств. 
Теория систем и системный анализ для электроэнергетиков

Как средство исследования, отображение дает возможность заменять изучение соотношений между элементами множества А изучением соотношений между элементами множества В, что в ряде случаев оказывается существенно проще и нагляднее.

Отображением множества А в множество В называется такое соответствие, которое любому х, € А сопоставляет по крайней мере один у е В. Если каждому элементу х, е А сопоставляется единственный элемент у е В, отображение является однозначным. Если между элементами двух множеств возможно установить взаимно однозначное соответствие, они называются эквивалентными. Элемент у, сопоставляемый х, называется образом х. Множество всех элементов х" которым соответствует у, называется прообразом х в А и обозначается как Множест во А называется областью определения отображения, а В — областью значений отображения (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Отображения множеств

Отображение А в В называется сюръективным, если любой элемент у е В. имеет хотя бы один прообраз: xppyj; х?$У хуруу, Х4ф (у2Уз) (рис. 4.5, а). Другими словами — в каждый элемент у е В входит, по крайней мере, одна дуга.

Отображение А в В называется инъективным, если для любого у е В его прообраз содержит не более одного элемента, либо вообще не имеет прообраза, т. е. в каждый элемент у е В входит, самое большее, одна дуга: х<�р (уУ2)', Х2ФУ3; Х3ФУ4'; 9‘¹У5 = 0 (Рис. 4.5, б).

Отображение называется биективным, если оно одновременно сюръективно Уу е В: |ф^_| (у)| > 1 и инъективно Vy € В :|ф" ‘ (у)| s I. Биективность отображения Ф означает, что Vy е В : |ф^_| (у)| = 1, т.с. в каждый элемент у € В входит одна и только одна дуга, что однозначно определяет единственное значение х € А и однозначно устанавливает соответствие между множествами А и /?: xjtpyi; Х2ФУ2; *ЗФ.Кз; Х4Ф0ЧУ5) (Рис. 4.5, в).

Если элементы множества хе X представляют собой состояния динамической системы, то отображение ф (х) рассматривается как множество состояний, в которые система может перейти из данного состояния. В этом случае используется термин преобразование состояния.

При отображении <�р соответствие между X и У записывается как у = ф (х), а самому отображению соответствует запись ф :А -> В.

Элемент х называют аргументом (переменной), а у — значением функции ф. Если для каждого элемента х имеется один элемент у вида (х, у) € ф (взаимно однозначное соответствие между А и В), то функция называется биективной или полностью (всюду) определенной, в противном случае — частично определенной (недоопределенной) .

Arc. 4.6. Подмножество декартова произведения множеств, А ж В: а — не являющееся функцией; б — являющееся полностью определенной функцией; в — частично определенной функцией

Пример. Сопоставим с декартовым произведением двух множеств — A ={xj, *2″ *з> *4} ^и В = {уь У2, Уз) ^_ прямоугольную решетку, узлы которой однозначно соответствуют элементам декартова произведения. На рис. 4.6 подмножеству декартова произведения Аж В соответствуют помеченные элементы. На рис. 4.6, а одному значению аргумента Х4 соответствует более одного значения у. (уьУг); на рис. 4.6, в значение Х3 не определено.