Методы расчета при произвольных нагрузках и функциях неоднородности

Рассматриваемые в настоящей главе задачи сводятся к решению неоднородных дифференциальных уравнений типа (2.18) с коэффициентами и правой частью, определяемыми соотношениями (2.19), (2.21) и (2.25) соответственно для плоского деформированного, плоского напряженного состояний и центральносимметричной задачи. Наличие в правой части функции R® соответствует задаче о вращающемся теле, когда R — сила инерции, постоянная или переменная (если плотность тела изменяется по радиусу). Вынужденные деформации е_п могут являться результатом действия температурного или радиационного ноля, усадки или набухания и т. д. В большинстве практических задач е_в также являются функциями радиуса. Если имеется аналитическое решение однородного уравнения (2.18), то решение неоднородного уравнения также получается в замкнутом виде. В противном случае следует использовать численный метод расчета. Ниже рассматриваются численный и аналитический методы решения неоднородного уравнения (2.18).

Уравнение (2.18) с граничными условиями, записанными в общем виде:

представляет собой двухточечную краевую задачу. Условия.

(2.44), например, при а₂ = Р₂ = О соответствуют первой краевой задаче (2.26), при этом а, = Р, = 1, а А = ± р_аи В = ± р_ь. Если же на одной или на обеих границах заданы перемещения и, коэффициенты а, р, А и В определяются с использованием соотношений Коши, закона Гука и уравнений равновесия. Для трех рассматриваемых задач эти коэффициенты имеют следующий вид.

Плоское напряженное состояние:

Плоское деформированное состояние:

Центральносимметричная задача:

Уравнение (2.18) с граничными условиями (2.44) обычно решается методом конечных разностей [10]. При решении задачи о бесконечном массиве с полостью или пластинке с малым отверстием дополнительная сложность обусловлена тем, что интервал, на котором ищется решение, полубесконечный. Несмотря на то что замена переменных типа х = 1/г переводит интервал [а, °°) на конечный интервал [1 /а, 0], принципиально это не облегчает решения задачи, так как при х —⁵? 0 в уравнении появляются особенности. Рассмотрим метод, применимый для задач, в которых решение асимптотически сходится при стремлении г к бесконечности, что имеет место в задачах о концентрации напряжений вблизи отверстий. Суть метода заключается в замене полубесконечного интервала конечным [а_у b], где b — достаточно большое число. Исследуя влияние числа Ь, а также числа шагов интегрирования Мна результаты расчета, можно выбрать значения этих величин в соответствии с желаемой точностью вычислений.

Переходя к конечно-разностной аппроксимации производных, входящих в уравнение (2.18), можно воспользоваться следующими формулами.

При постоянном шаге интегрирования.

При переменном шаге интегрирования.

где й_ч, h_a — соответственно шаги интегрирования слева и справа от г-й точки разбиения, i = 2, 3, N — 1.

Подставляя выражения (2.45) и (2.46) в уравнение (2.18), приходим к системе из N — 1 алгебраического уравнения, которая вместе с двумя граничными условиями (2.44) дает N+ 1 уравнение для N + 1 неизвестного. Существующие стандартные программы позволяют решать подобные системы достаточно высокого порядка практически с любой точностью, так что при использовании численных методов в одномерных задачах принят термин «решение, близкое к точному».

При наличии аналитического решения однородного уравнения (2.18) частное решение неоднородного уравнения может быть выражено в квадратурах [12]:

где (р, (р₂ — фундаментальная система решений однородного уравнения (2.18); W — определитель Вронского (вронскиан) этой системы:

/(г) — правая часть уравнения (2.18). Интегралы, входящие в решение (2.47), вычисляются либо аналитически, либо численно по формуле трапеций или Симпсона.

В большинстве реальных задач получить аналитическое решение не удается в силу сложности функций E®, v®, е_в(г), тем не менее решение (2.47) может быть использовано для оценки достоверности метода численного интегрирования при определенных упрощающих предположениях.

В следующей главе рассматриваются некоторые примеры решения практических задач с использованием приведенных методов расчета.