Аналитика нелинейного программирования

Большой класс задач нелинейного программирования находит широкое применение в СППР. В общем случае под задачей нелинейного программирования понимается задача, в которой целевая функция или хотя бы одно из ограничений задачи являются нелинейными и обладают свойствами непрерывности, дифференцируемости, выпуклости. Для решения задач нелинейного программирования разработано большое количество методов, среди которых наиболее распространенными являются:

• • метод множителей Лагранжа;
• • градиентные методы;
• • методы детерминированного поиска;
• • методы случайного поиска.

Обратите внимание!

Вопрос о применимости того или иного метода оптимизации решается после проведения некоторого аналитического исследования проблемной ситуации, сводящейся к задаче нелинейного программирования. В данном случае аналитическая модель — это формализованное представление некоторого объекта предметной области с целью анализа его поведения при изменении внешних воздействий и внутренней структуры, определения оптимальных стратегий поведения изучаемого объекта и выработки рекомендаций для принятия решений в системе управления этим объектом.

Характерные аспекты аналитического моделирования можно определить как некоторую последовательность действий:

• 1) установление формульных математических зависимостей между параметрами объекта (алгебраические и дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными, интегральное исчисление и др.);
• 2) выявление существенных факторов, принятие некоторых допущений и упрощений при описании реального объекта и представление его в виде формальной математической модели;
• 3) алгоритмизация формального описания модели с использованием имеющихся инструментальных средств общего назначения и прикладного программного обеспечения;
• 4) проверка адекватности аналитической модели реальному объекту.

Изложенную технологию детализируем применительно к задаче управления запасами. В бизнесе, в производстве и в повседневной хозяйственной деятельности принято поддерживать разумный запас материальных ресурсов для успешного предпринимательства, обеспечения эффективного производственного цикла, полного удовлетворения жизненных потребностей человека. Для содержательного описания задачи управления запасами рассмотрим представленную на рис. 11.2.1 общую схему функционирования некоторой экономической системы.

Рис. 11.2.1. Схема изменения и пополнения ресурсов.

Следует заметить, что через некоторые промежутки времени система пополняется до единичного уровня предметами запасов. После чего эти запасы расходуются до полного их исчерпания и даже с заходом в отрицательную область, что может интерпретироваться как возникновение дефицита товаров, который на практике может рассматриваться как упущенная выгода. Для формализации задачи введем условные обозначения: t — текущее время, Т_{__х < t < 7);

Т- — продолжительность /-го периода времени, / = 1,2,…; х — уровень предметов запаса в момент времени t, D > х > d

D — допустимый уровень предметов запаса, определяемый возможностями по их размещению и хранению;

d — уровень дефицита предметов запаса (необеспеченный спрос);

V — объем поставки предметов запаса;

ц — интенсивность поставок (единиц предметов запаса в единицу времени); X — интенсивность спроса (единиц предметов запаса в единицу времени). Предварительно рассмотрим наиболее характерные стратегии управления запасами, имеющие реальное место в экономической практике.

Стратегия управления запасами U (T, V) — периодическая с равными промежутками времени Т и постоянным объемом заказа предметов запаса V показана на рис. 11.2.2. Здесь при постоянной периодичности Т= 5 ед. времени производятся поставки предметов запаса постоянного объема V. Следует отметить, что в конце каждого периода наблюдается разная картина по наличию предметов запаса, а в начале периода количество предметов запаса может либо быть меньше единичного уровня, либо превосходить его. На практике это может приводить к некоторым дополнительным издержкам.

Рис. 11.2.2. Ресурсно-временной график стратегии U (T, V).

Стратегия управления запасами U (T, D) — периодическая с равными промежутками времени Т и пополнением до наибольшего уровня запаса D показана на рис. 11.2.3. Здесь при постоянной периодичности Т= 7 ед. времени производятся поставки предметов запаса переменного объема V с пополнением до единичного уровня. Однако в конце каждого периода наблюдается картина, аналогичная предыдущему случаю.

Рис. 11.23. Ресурсно-временной график стратегии U (T, D).

Стратегия управления запасами U (S, V) — апериодическая с пополнением при снижении уровня предметов запаса ниже критического уровня S и с постоянным объемом заказа Vпоказана на рис. 11.2.4. Характерной особенностью такой стратегии является наличие режима слежения за остающимся объемом предметов запаса. При достижении критического уровня S = 0,4 делается заявка на поставку предметов запаса объемом V. С учетом некоторого запаздывания в поставке предметов запаса возможны некоторые отклонения от единичного уровня предметов запаса в начале каждого периода.

Стратегии управления запасами U (S, D) — апериодическая с пополнением до наибольшего уровня предметов запаса D в момент снижения его до критического уровня 5 (стратегия двух уровней) показана на рис. 11.2.5. На этой схеме видно, что в разные промежутки времени осуществляется поставка предметов запаса объемом D при критическом уровне 5 = 0.

Рис. 11.2.5. Ресурсно-временной график стратегии (7(5, D).

Обратите внимание!

Природа задач управления запасами определяется неоднократным размещением и получением заказов заданных объемов продукции в определенные моменты времени. Традиционно понятие запаса связано с неизбежными издержками, когда слишком низкий уровень запасов приводит к дорогостоящим остановкам производства, а слишком высокий — к омертвлению капитала, вложенного в хранимые запасы. Постановка задачи по оптимизации системы управления запасами заключается в нахождении «золотой середины», т. е. в определении уровня запаса, который уравновешивает эти два крайних случая.

Воспользуемся графической интерпретацией задачи, показанной на рис. 11.2.6. Здесь для случая мгновенных поставок и равномерно-распределенного спроса на предметы запаса в момент времени (, = 9 уровень предметов запаса становится равным нулю. Этому отрезку времени соответствует треугольник с вершинами 0Dt._v площадь которого может быть выражена через затраты на хранение предметов запаса. Что касается второго треугольника Tdt_v то его площадь определяет упущенную выгоду или штрафные издержки. В итоге с учетом стоимости рейса на поставку предметов запаса составляющие функции затрат выражаются формулой

где г — затраты на поставку предметов запаса (стоимость рейса); а — стоимость хранения единицы товара в единицу времени; b — штрафные издержки за отсутствие единицы товара в единицу времени.

Определение уровня запаса в общем случае определяется характером спроса, который в различных прикладных ситуациях может быть разным. Наиболее распространенными являются равномерное, экспоненциальное и нормальное ранределение случайных величин спроса на предметы запасов. Плотности распределения для перечисленных законов случайных величин показаны на рис. 11.2.7.

Рис. 11.2.7. Плотности распределения случайных величин.

Динамика изменения уровня предметов запаса для различных законов распределения случайных величин показана на рис. 11.2.8. В частности, при равномерно-распределенном спросе уровень предметов запаса определяется выражением.

где X — интенсивность спроса (единиц предметов запаса в единицу времени).

При экспоненциально-распределенном спросе уровень предметов запаса равен.

где е — основание натурального логарифма.

При нормально-распределенном спросе уровень предметов запаса выражается формулой.

где Ф (?) — функция Лапласа.

Для случая пополнения запасов с заданной интенсивностью стоимость затрат на систему управления запасами за период может быть определена в соответствии с выражением.

где р — интенсивность поставок предметов запаса (единиц предметов запаса в единицу времени).

В том случае, когда р — интенсивность поставок предметов запаса и А. — интенсивность спроса являются константами, динамика уровня предметов запаса за период иллюстрируется схемой, показанной на рис. 11.2.9.

Рис. 11.2.9. Динамика уровня предметов запаса при X, р = const.

В этом случае стоимость затрат на систему управления запасами за период при X, р = const определяется выражением.

Наша задача заключается в минимизации издержек системой управления запасами в единицу времени:

где Z— функция затрат в единицу времени.

Введенную функцию затрат как целевую функцию мы должны минимизировать:

Таким образом, минимальные удельные затраты представляются следующей целевой функцией задачи нелинейного программирования:

Естественными ограничениями, накладываемыми на искомые переменные Т и Д здесь являются

Оптимальные параметры в системе управления запасами впервые выведены Р. Уилсоном (R. Н. Wilson)¹, а здесь могут быть получены аналитически на основе приравнивания к нулю частных производных целевой функции к искомым переменным и решения системы этих уравнений:

Эффективным инструментальным средством решения задач нелинейного программирования является «Поиск решения» MS Excel В частности, на рис. 11.2.10 показано решение тестового примера. В ячейках А2, В2, С2, D2, Е2 содержатся значения входных переменных задачи г, а, й, X, р. Ячейки G2 иН2 отведены для искомых переменных Ти D в целочисленном формате. В ячейку 12 внесено формульное представление целевой функции Z (расчет производится с точностью до копеек). В ячейках В9, В К) и В11 расчеты произведены по формулам Уилсона для соответствующих оптимальных значений в формате действительных чисел для Т*, D*, Z*.

Неоспоримым достоинством «Поиска решения» в данном случае является возможность получения оптимальных целочисленных значений искомых переменных, ячейки G2 и Н2. В реальной действительности невозможно, например, осуществить поставку холодильников объемом в 26,35 231 штук (ячейка В10) с периодичностью поставки — 9,486 833 дней (ячейка В9). В свою очередь, минимальное значение Z, полученное «Поиском решения».

Рис. 11.2.10. Решение тестового примера.

Wilson R. Н. A Scientific Routine for Stock Control // Harvard Business Review, 13. P. 116— 128(1934).

на 15 коп. оказывается большим, чем минимальное значение Z рассчитанное по соответствующей формуле Уилсона.

Аналитика рассмотренной ситуации показывает, что эффективное функционирование системы управления запасами экономического объекта в определенной степени определяется оптимальной стратегией управления запасами. Широкие возможности современных инструментальных средств позволяют реализовать оптимальные стратегии управления запасами в информационных системах предприятий.