Решения для случая v = const

Приведенное в подпараграфе 2.2.1 уравнение (2.31) при произвольной функции Е (г) не допускает решения в квадратурах в общем виде. Однако для некоторых частных случаев зависимости Е (г) удается получить аналитические решения. Ниже приводятся некоторые из них.

(г Y.

Степенная зависимость. Пусть Е (г) = Е_а —, тогда под;

)

становка этой функции в уравнение (2.31) приводит к уравнению.

где коэффициенты п и s даются формулами (2.32а)—(2.32в).

Уравнение (2.35) является уравнением Эйлера [12], решение которого имеет вид.

Здесь, а и [1 определяются равенством.

Анализ подкоренного выражения в равенстве (2.37) показывает, что оно всегда неотрицательно. Так, при у < О в центральносимметричной задаче (п = 4, s = 2, что соответствует v = 0) нетрудно убедиться, что (|у| + З)² > 8|у|, в связи с чем третий вид решения уравнения (2.35), соответствующий комплексным значениям, а и р, не рассматривается.

Кроме того, можно заметить, что, а = Р, лишь если у = п — 1 и s = 0, что соответствует v = 0,5 в задачах о плоской деформации и при наличии центральной симметрии, которые рассмотрены в подпараграфе 2.2.1. Таким образом, здесь следует рассмотреть только первое представление решения (2.36).

На рис. 2.8 приведены некоторые функции Е (г) при различных значениях у в толстостенной трубе с соотношением радиусов b/а = 2. Там же изображены эпюры напряжений ст₀ при действии внешнего давления р для двух величин у при крайних значениях коэффициента Пуассона v = 0 и v = 0,5.

Можно заметить, что, как и в примере, рассмотренном в подпарагарфе 2.2.1, увеличение модуля упругости при г—* а (у = -2) ведет к росту напряжений вблизи внутренней поверхности трубы и наоборот. При этом графики ст₆ могут настолько изменяться по сравнению с аналогичной задачей для однородного материала, что напряжения достигают наибольших значений вблизи внешней поверхности трубы.

Следует заметить, что влияние коэффициента Пуассона на напряжения неоднозначно. Как показывает расчет, при слабых степенях неоднородности (у = 0,5; -0,5) при изменении v от 0 до 0,5 максимальные напряжения действительно меняются незначительно, в то время как при силь.

Рис. 2.8. Изменение модуля упругости в толстостенной трубе и эпюры напряжений <�т_е:

сплошные линии — неоднородный материал; пунктирные линии — однородный материал ной неоднородности влияние v весьма существенно. Так, при у = -2 разница в напряжениях ст_е(г = Ь) при v = 0 и v = 0,5 превышает 40%. Естественно предположить, что с ростом абсолютного значения у это различие будет еще больше.

Па основании проведенного исследования можно сделать вывод, что влияние коэффициента Пуассона на напряженное состояние неоднородных тел существенно зависит от степени изменения модуля Юнга материала, и при практических расчетах следует учитывать этот факт.

Экспоненциальная зависимость. При изменении моду;

(V — Q А ля упругости по закону Е = ?" ехр ууравнение (2.31).

I а)'

принимает вид.

Ограничимся рассмотрением случая у > 0. Тогда заменой переменной х = yr/а уравнение (2.38) приводится к вырожденному гипергеометрическому уравнению [12].

где п и s определяются равенствами (2.32а—в).

При целом п > 2 и s ^ 0, а именно это имеет место в рассматриваемых задачах, решение уравнения (2.39) можно записать в виде.

Здесь F (x) — вырожденная гипергеометрическая функция Похгаммера (ряд Куммера):

a G (x) вычисляется по формуле.

Здесь — биномиальные коэффициенты, определяемые для действительных, а и целых р > 0 равенством [7].

Напряжения С7₀ находятся из уравнения (2.3) или (2.22).

Функция G{x), определяемая равенством (2.41), имеет особенность при 5 = 0, так как первый член ряда по / при этом значении s обращается в бесконечность. Таким образом, полученное решение может быть использовано для расчетов при всех значениях v, кроме v = 0,5. Для того чтобы получить значения напряжений при v = 0,5, можно воспользоваться соотношениями (2.27) и (2.28) для несжимаемого материала.

Ограничимся рассмотрением задачи о плоском деформированном состоянии. Входящий в соотношение (2.27) интеграл для экспоненциальной зависимости.

где р = г/а, вычисляется следующим образом:

Здесь ?•(ур) — интегральная показательная функция |7|, определяемая либо таблично, либо с помощью ряда.

где С — эйлерова постоянная (С ~ 0,577 216).

Таким образом, решение (2.27) с учетом формулы (2.42) позволяет дополнить интервал изменения v, а также дает возможность проверить точность получаемых по формуле (2.40) результатов при v —? 0,5. Ниже приводятся некоторые результаты расчетов.

На рис. 2.9, а приведены эпюры безразмерных напряжений а₀/р в трубе, нагруженной внешним давлением р, с отношением радиусов b/а = 2 как для однородного материала (напряжения не зависят от v), так и для неоднородного (у = 1,0986) при крайних значениях v, равных 0 и 0,5.

Из графиков следует, что, как и в рассмотренных выше примерах, увеличение модуля упругости от внутренней по;

Рис. 2.9. Эпюры напряжений ст₀ (а) и изменение напряжений о_ва и а_вь в толстостенной трубе:

сплошные линии — неоднородный материал; пунктирные линии — однородный материал;

1,4-г= 13 863; 2, 5 — у = 1,0986; 3, 6 — у = 0,3466.

верхности трубы к внешней приводит к уменьшению напряжений на внутреннем контуре и к росту на внешней поверхности. Кроме того, заметно существенное влияние на эпюру ст₀ величины коэффициента Пуассона. Так, при изменении v от 0 до 0,5 напряжения ст₀(г = b) уменьшаются примерно в 1,2 раза.

Более наглядно влияние v на значения напряжений можно проследить на рис. 2.9, б, где показаны графики изменения напряжений ст_0п = а"(г = а) и а_0/) = ст_в(г = Ь) для трех значений у во всем интервале изменения коэффициента Пуассона. Выбранные значения у соответствуют отношениям значений модуля Юнга на внешней и внутренней поверхностях трубы, приведенным в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Соответствие значений у отношениям значений модуля Юнга на внешней и внутренней поверхностях трубы.

Из рис. 2.9, б следует, что изменение коэффициента Пуассона по-разному влияет на напряженное состояние трубы при различных степенях неоднородности. Так, при у= 0,3466 напряжения ст_0п при изменении v от 0 до 0,5 возрастают на 7%, а ст_0/, уменьшаются на 9%. В то же время при у = 1,3863 эти изменения равны соответственно 21 и 17%.