Устойчивость по линейному приближению
При неустойчивой линеаризованной системе исходная нелинейная система будет также неустойчива. С учетом соотношения (8.8) окончательно уравнение первого приближения системы (8.4) принимает вид. Рассмотрим этот подход для нелинейной автономной стационарной системы. Где R (x) — члены ряда разложения выше первой степени; матрица частных. Отбрасывая члены ряда разложения R (x), вместо разложения (8.5… Читать ещё >
Устойчивость по линейному приближению (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В некоторых случаях устойчивость состояния равновесия нелинейной системы можно исследовать по уравнениям первого приближения, полученным в результате линеаризации уравнений состояния в малой окрестности точки равновесия. Данный способ был предложен А. М. Ляпуновым.
Рассмотрим этот подход для нелинейной автономной стационарной системы.
aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">
Разложим правую часть уравнения из системы (8.4) в ряд Тейлора в малой окрестности состояния равновесия:
где R (x) — члены ряда разложения выше первой степени; матрица частных.
8f
производных —j- имеет вид.
Отбрасывая члены ряда разложения R (x), вместо разложения (8.5) получим.
Матрица частных производных (8.6) рассматривается в точке равновесия, поэтому представляет собой числовую матрицу коэффициентов, для которой введем обозначение.
С учетом соотношения (8.8) окончательно уравнение первого приближения системы (8.4) принимает вид.
т.е. соответствуют описанию линейной автономной системы.
Согласно теореме, доказанной А. М. Ляпуновым, устойчивость исходной системы (8.4) связана с устойчивостью линеаризованной системы (8.9).
Теорема 8.1. Если линеаризованная система устойчивау то исходная нелинейная система будет асимптотически устойчивой «в малом» относительно исследуемого состояния равновесия.
При неустойчивой линеаризованной системе исходная нелинейная система будет также неустойчива.
Если линеаризованная система находится на границе устойчивости (корни нулевые или мнимые), то об устойчивости нелинейной системы ничего нельзя сказать. Это критический случай, и нужны дополнительные исследования для окончательного суждения об устойчивости нелинейной системы (8.4), которую определяют члены высшего порядка ряда разложения R (x).
Пример 8.1. По линейному приближению оценить устойчивость относительно одного из положений равновесия системы, математическая модель которой имеет вид.
Решение.
Запишем уравнения равновесия системы:
откуда определим одну из точек равновесия: (х? = 0, х% = 0). В се малой окрестности линеаризуем исходную систему:
которая принимает вид.
Матрица линеаризованной системы следующая:
Как видим, линеаризованная система неустойчива, следовательно, исходная система также неустойчива.