Принцип Сэвиджа (максимина сожаления)

Для использования данного критерия платежная матрица {^)_ККш преобразуется в матрицу рисков или матрицу сожалений — {p,}_lРиском или сожалением при выборе альтернативы х из множества (области) вариантов X в состоянии Sj называется число рДх) = Р- - у?рс), где Р_; = = таxyix). В случае дискретного множества вариантов X получаем р. =.

.V с X ^J

= Р, — у₉ где р, = тах г/.

^{J J J} l^J

Таким образом, число рДх) (или р_{/) для каждого состояния среды Sj показывает отклонение полезности yfxy (или у~) от своего наилучшего (максимального) значения. Тогда наилучшей по критерию Сэвиджа полагают альтернативу, минимизирующую функцию С

В частном случае дискретного множества вариантов X это приводит к выражению

Таким образом, для критерия Сэвиджа оптимальной считается альтернатива, минимизирующая максимальный риск (иными словами, здесь используется минимаксный критерий для матрицы сожалений).

В рассмотренном выше примере использования платежной матрицы наилучшей альтернативой согласно критерию Сэвиджа окажется = х₅, так как ее показатель равен С (хЛ = шах р,_; = 8 и оказывается меньше всех ос;

^D к><4 ^э;

тальных показателей С (х_{) = 12, С (х₂) — 10, С (х_л) = 13, С (х_А) = 14 и С (х_е) = 11.

Обратите внимание!

Поскольку для матрицы сожалений в критерии Сэвиджа используется минимаксный принцип, данный критерий обладает всеми теми же недостатками, что и принцип Вальда, т. е. в некоторых случаях он также может приводить к нелогичным выводам, противоречащим здравому смыслу.

Пример выбора, но принципу Сэвиджа. Для платежной матрицы, приведенной в табл. 16.5, наилучшей альтернативой по принципу Сэвиджа оказывается вариант х₃ со значением показателя С (х₃) = 998. В то же время интуиция и здравый смысл подсказывают нам, что лучше выбрать любой из вариантов х_{ и х₂, хотя они имеют одинаково худший показатель С (хj) = С (х₂) = 999. Действительно, несмотря на минимальный показатель.

Таблица 165

Платежная матрица для примера, приводящего к нелогичным выводам

риска, равный 998, х₃ — это единственный вариант, в котором ЛИР гарантированно не выиграет, т. е. у него нет шанса в одном из «состояний природы» выиграть крупную величину 1000.

Главный недостаток критерия Сэвиджа, как и принципа Вальда, — потеря информации: из всех величин полезности, отвечающих альтернативе х, в формировании критерия участвует лишь одна — С (х.) = max р., информация.

1 ¹

обо всех остальных величинах p_v (а значит, и у~) теряется. В условиях полной неопределенности, когда информации и так недостаточно, дополнительная потеря информации может привести к принятию ошибочного решения.

Таким образом, принцип Сэвиджа, как и предыдущие, можно рекомендовать к использованию лишь с большой осторожностью.