Необходимые условия дискретизации интерференционной картины

Интерференционные полосы образуются при разности оптического хода интерферирующих волновых фронтов на полную длину волны, т. е. при изменении разности фаз на 2п. Пространственная частота массива детекторов ограничивает максимально измеряемую частоту полос, которая равна частоте Найквиста для массива приемников. Если частота полос на интерферограмме превышает частоту Найквиста, приемник фиксирует ложные низкочастотные полосы. Это происходит, например, при интерференционных измерениях асферических волновых фронтов с большими различиями от эталонных. Для моделирования этого процесса представим на рис. 1.24 геометрию фотоприемника. Пусть фотоприемник представляет собой прямоугольный массив прямоугольных датчиков. Каждая точка фиксируется датчиком размером а на Ь.

Рис. 1.24. Геометрия фотоприемника.

Для простоты анализа все незначимые константы опущены и все выражения рассматриваются в плоскости приемника. Например, масштабный фактор, связывающий размеры объекта с размерами его изображения, игнорируется. В этом случае пространственную дискретизацию изображения можно описать следующим выражением:

где Цх, у) — поле интенсивностей одной из интерферограмм; символ ** обозначает двумерную свертку; функция comb () — массив 5- функций с таким же пространственным расположением, как и точки на дискретизированной интерферограмме.

Пространственные частоты дискретизированной интерферограммы можно получить фурье-преобразованием выражения.

где (е, т|) — координаты пространственных частот, /Д^.П) — спектр интерферограммы;

Природа возникновения ложных полос показана на рис. 1.25.

Для простоты графического представления предположим, что функция /(!;, r^sincCai;.^!) ограничена треугольной функцией (рис. 1.25, а). Границы ± 1 /а совпадают с первыми нулями функции sine. На рис. 1.25, 6 показан случай, когда границы спектра меньше частоты Найквиста приемника f" = p/xs, он соответствует условию теоремы о дискретизации: шаг дискретизации не должен превышать половину периода пространственной гармоники, соответствующей самым мелким деталям изображения.

В случае широкополосных волновых фронтов появляются полосы, границы частот которых ± 1 /а превышают частоту Найквиста (рис. 1.25, в). Повторяющиеся участки спектра перекрываются с основной частью спектра от нуля до частоты Найквиста. Образуются низкочастотные ложные полосы.

При дискретизации интерференционных картин к массиву детекторов предъявляются следующие требования: необходимо выбирать шаг дискретизации и размер элемента датчика, соответствующие спектру сигнала; размер активной области каждой точки.

Рис. 1.25. Образование ложных полос в частотной области:

а — границы спектра; б — спектр сигнала при частоте Найквиста, превышающей верхнюю границу спектра; в — спектр сигнала при частоте Найквиста ниже верхней границы спектра относительно шага между точками (см. рис. 1.24) должен соответствовать отклику в пространственно-частотной области амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) точки.

Если G = a/xs есть отношение ширины точки к расстоянию между точками, то АЧХ каждой точки будет функцией sine с первым нулем пространственных частот 1 /а или 1 /(Gxs). Для разрешения высокочастотных полос необходимо, чтобы частота отсечки превышала частоту Найквиста, т. е. G должно быть мало. Малая величина G достигается, когда точки детектора малы и широко разделены. Это похоже на разреженный массив. Наиболее традиционные датчики, используемые для ввода изображений, разработаны для улавливания максимально возможного количества освещения и имеют.

Рис. 1.26. Амплитудно-частотная характеристика точечной апертуры для стандартного датчика и разреженного массива датчиков.

величину G между ½ и 1. Сравнение АЧХ стандартного детектора и разреженного массива детекторов показано на рис. 1.26.

Таким образом, для восстановления полной фазы необходимо регистрировать интерференционную картину с помощью массива датчиков, позволяющего разрешать профиль волнового поля. При отражении от объектов с диффузной поверхностью образуется волновой фронт с широкополосным спектром, поэтому спектры при дискретизации перекрываются с недостаточной частотой. Для устранения этого эффекта необходимо уменьшать размер элементарной площадки датчика.