Непрерывно-стохастические модели (0-схемы)

Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания (англ, queueing system), которые будем называть (1-схемами. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания [6, 13, 33, 37, 51].

Основные соотношения.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например, потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования. Остановимся на основных понятиях массового обслуживания, необходимых для использования О-схем, как при аналитическом, так и при имитационном.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого 1-го прибора обслуживания /7, (рис. 2.6), состоящего из накопителя заявок Я" в котором может одновременно находиться /,=О, заявок, где 7,® — емкость /-го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) А,. На каждый элемент прибора обслуживания /7, поступают потоки событий: в накопитель Я/ — поток заявок на канал А/ — поток обслуживаний.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью {/"} = {0</<sub>1^/₂^где /_я— момент наступления л-го события — неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между л-м и (л—1)-м событиями {т_я}, которая однозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {/"}, где т_я ⁼ Л• ь л>1,^{о =} 0, т. е. Т| ⁼ /|.

Потоком неоднородных событий называется последовательность {/", /_я), где /_я — вызывающие моменты; г_я — набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок могут быть.

Рис. 2.6. Прибор обслуживания заявок.

заданы принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.

Рассмотрим поток, в котором события разделены интервалами времени Т|, т_2>… которые вообще являются случайными величинами. Пусть интервалы т, т₃, … независимы между собой. Тогда поток событий называется потоком с ограниченным последействием.

Пример потока событий приведен на рис. 2.7, где обозначено Т, — интервал между событиями (случайная величина); Т_п — время наблюдения, т_с — момент совершения события.

Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле.

где N — число событий, произошедших за время наблюдения Т_я. Если Гу" =соп51 или определено какой-либо формулой 2у" /(7}_|), то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным.

Случайные потоки бывают:

• — ординарными, когда вероятность одновременного появления 2-х и более событий равна нулю;
• — стационарными, когда частота появления событий постоянная;
• — без последействия, когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.

Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени А/, примыкающий к моменту времени I, попадает больше одного события Р_> | (/, А/), пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени Аг попадает ровно одно событие Р, (I, А/), т. е. Р_х (I, АО «Р>, (/, АО• Если для любого интервала А/ событие.

как сумма вероятностей событий, образующих полную группу и несовместных, то для ординарного потока событий.

где О (ДО — величина, порядок малости которой выше, чем А/, т. е.

Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени т зависит лишь от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0/ взят этот участок.

Рассмотрим на оси времени 0(ординарный поток событий и найдем среднее число событий, наступающих на интервале времени А/, примыкающем к моменту времени /. Получим.

Тогда среднее число событий, наступающих на участке времени Л ( в единицу времени, составит (Р, (/, А/)]/А Л Рассмотрим предел этого выражения при Д/-*0. Если этот предел существует, то она называется интенсивностью (плотностью) ординарного потока событий Шп [Р_г (г, Д/-*0.

Рис. 2.7. Графическое изображение П-схемы

Д/)/Д/]" Л (/). Интенсивность потока может быть любой неотрицательной функцией времени, имеющей размерность, обратную размерности времени. Для стационарного потока его интенсивность не зависит от времени и представляет собой постоянное значение, равное среднему числу событий, наступающих в единицу временя X (О «Я «const.