Сюжет «Петька vs Вербена»

Применим графический метод решения биматричных игр к анализу еще одной сюжетной линии, а именно к конфликту между Петькой и Вербеной. В конечном счете фундаментальной причиной его оказалась «степень ответственности» выполнения своих служебных обязанностей. Упрощенно мы можем считать, что как тот, так и другой игрок осуществляют свой выбор между двумя возможными стратегиями:

• • О — ответственное отношение;
• • Ф — формальное отношение.

Опираясь на логику наших представлений о характерах героев, мы можем (не сильно согрешив против истины!) задать их полезности для всех возможных четырех исходов с помощью табл. 3.4.

Таблица 3.4

Игра «Петька У5 Вербена», базовая версия.

Если оба игрока относятся к очередному служебному делу ответственно (играют «О»), то оно более или менее успешно завершается в ситуации (О, О) с результатом (+1) для Петьки и 0 для Вербены (она, безусловно, выше повседневной офисной суеты). Разумеется, каждому из них было бы лучше, если бы другой вел себя более старательно и аккуратно, а он сам при этом мог бы «схалявить». В то же время крайне обидно, когда ты стараешься (играешь стратегию «О»), а этот (эта) паразитирует на твоем служебном рвении, играя «Ф», т. е. тогда, когда возникают ситуации (Ф, О) и (О. Ф). Однако если формальное отношение проявляется и с той и с другой стороны, происходит то, что и произошло в анализируемом сюжете.

Разные значения полезностей отражают асимметрию положения игроков в системе внутренних взаимоотношений компании «Лантикрик»: Петька более заинтересован в успешном завершении служебных мероприятий и может сильнее пострадать в случае их провала по сравнению с индифферентной Вербеной — обладательницей прямых связей с космосом.

По данным из табл. 3.4 в соответствии с системами неравенств (3.19) и (3.20) получаем.

откуда следует.

Графическое решение игры представлено на рис. 3.6.

Как очевидно из рис. 3.6, решаемая биматричная игра имеет достаточно «нетривиальную» систему равновесий:

• • равновесие в чистых стратегиях (О, Ф), в котором Петька должен проявлять ответственность, а Вербена может относиться к работе формально. В случае отклонения Петька рискует радикально ухудшить свою профессиональную полезность с 0 до (-3). Вербена также не имеет стимулов повышать степень своей старательности, так как это уменьшит ее полезность с 1 до 0;
• • континуум равновесий, в которых Петька может играть чистую стратегию «Ф», при условии что Вербена с вероятностью, не меньшей чем ¾, ведет себя ответственно.

Рис. 3.6. Графическое решение игры «Петька vs Вербена» .

Судя по всему, наш герой положился именно на это, что его и подвело.

Дополнительно заметим, что в случае игр «Выбор подарка Маргарите» и «семейный спор» графическое решение носило скорее иллюстративный характер. Оно отображало те равновесия, которые ранее достаточно просто были найдены аналитически. В игре «Петька vs Вербена» мы также путем визуального анализа табл. 3.4 можем обнаружить равновесия в чистых стратегиях (Ф. О) и (О, Ф). Однако факт существования континуума ситуаций равновесия вида (Ф. (q, 1 — q)), где q I [¾, 1], куда менее очевиден!

Сюжет конфликта Петьки и Вербены в первую очередь отражает ранее отмеченную принципиальную проблему, связанную с концепцией равновесия, но Нэшу: если равновесий несколько (а в данном случае их бесконечно много!), то игроки при выборе своих стратегий могут действовать несогласованно и ориентироваться на разные равновесия.

Дальнейшие действия Петра Сармузова, пообещавшего госпоже Катарине Амурской, более известной под внутренним ником Вербена, нечто ужасное в следующих семи реинкарнациях, могут быть интерпретированы как модификация исходной биматричной игры. Содержание данной модификации сводится к изменению функции полезности Вербены. Предположим, что «Петькина мантра» способна снизить полезность Вербены в ситуации (О, Ф), когда она проявляет формализм, а он ответственность, с 1 до (-3). Побочным эффектом от мантры будем считать и увеличение степени недовольства Вербены с (-1) до (-2) в ситуации (Ф, О), когда она добросовестно исполняет служебные обязанности, а Петька.

Таблица 3.5

Игра «Петька vs Вербена», модифицированная версия.

ими манкирует. Матрица, учитывающая перечисленные изменения в полезностях Вербены, представлена в табл. 3.5.

По данным из табл. 3.5 в соответствии с условиями (3.19) и (3.20) получаем.

откуда следует.

Графическое решение игры представлено на рис. 3.7. Как можно заметить, внесенные изменения радикально поменяли конфигурацию равновесий. Теперь мы имеем игру с единственным равновесием в смешанных стратегиях.

В этом равновесии Петьке нужно в четверти случаев играть стратегию «ответственность», что будет вознаграждено возможностью проявлять «формализм» в оставшихся ситуациях. Равновесная смешанная стратегия Вербены — зеркально противоположна. Можно или нет «испортить карму мантрой» — остается на усмотрение читателя. Вполне вероятно, что если бы столь духовно продвинутая особа, каковой является госпожа Катарина Амурская, увидела конфигурацию графиков на рис. 3.7, то она бы без труда узнала в них буддистский символ совершенства мандзи. Она бы обязательно отметила, что направленность коротких черточек влево олицетворяет движение, мягкость, любовь, сострадание… Мы же не будем уходить столь глубоко в эзотерическую символику и ограничимся исключительно подчеркиванием того обстоятельства, что данные линии «олицетворяют» наилучшие ответы игроков на действия друг друга, а их пересечение определяет ситуацию равновесия по Нэшу в биматричной игре 2×2.

Рис. 3.7. Графическое решение модифицированной игры «Петька vs Вербена» .

Завершая рассмотрение графического метода решения биматричиых игр, обратим внимание на два существенных момента.

За исключением специальных ситуаций, в которых С = 0 и D = 0, равновесные стратегии игроков определяются матрицами полезностей их оппонентов: пороговое значение a/С для линии наилучшего ответа игрока 2 рассчитывается по элементам матрицы А, пороговое значение b/D для линии наилучшего ответа игрока 1 рассчитывается по элементам матрицы В. В связи с этим принято говорить, что в биматричиых играх (в отличие от матричных) имеет место не антагонизм интересов, а антагонизм поведения.

Анализируя взаимное расположение линий наилучших ответов, можно прийти к заключению, что в случае нечетного числа равновесий мы имеем устойчивую конфигурацию решений игры (по отношению к вариациям параметров матриц полезностей игроков), а в случае четного числа равновесий, наоборот, — неустойчивую.

* * *.

Достаточно важное и интересное направление в теории игр связано с исследованиями дополнительных свойств, которыми могут обладать ситуации равновесия. Рассмотрим класс равновесий по Нэшу, получивший название равновесий дрожащей руки. Данный термин был предложен Райнхардом Зелтеном (Reinhard Selten) [43].

Под равновесием дрожащей руки понимают такую ситуацию s* = () в игре Г = (I, { }_iII, { (s)}_iII), для которой существует последовательность ситуаций во вполне смешанных стратегиях {s^{e}}, сходящаяся к ситуации s*, и при этом «i I I стратегии являются наилучшими ответами для любых подситуаций { }.

Смешанную стратегию s' = ( называют вполне смешанной, если «i I 1,…, n > 0, т. е. использование смешанной стратегии s' предполагает, что все чистые стратегии играются с некоторыми ненулевыми вероятностями. Заметим также, что данное определение, вообще говоря, допускает возможность существования равновесия дрожащей руки в форме ситуации в чистых стратегиях (в том смысле, что любую чистую стратегию всегда можно рассматривать как частный случай смешанной).

Фактически, в рамках данной концепции осуществляется попытка выделения класса равновесий, обладающих устойчивостью по отношению к «не очень большим возмущающим воздействиям», например к отклонениям, вызванным ошибками участников в отдельных актах разыгрывания статистически повторяемой игры, или, образно говоря, к отклонениям из-за неверных действий, совершенных «дрожащей рукой» .