Примеры задач. 
Математическая статистика для социологов

• 1. Придумайте пример, демонстрирующий, что при разных разбиениях диапазона изменения непрерывного признака на интервалы можно получить качественноразные полигоны распределения — выборочные представлений функции плотности (разнокачественность распределений связать с пониманием описания данных как одной из задач науки). Примеры разнокачественных распределений: одновершинное и двухвершинное, одновершинное и равномерное, равномерное и с «ямой* и т. д.
• 2. Задана следующая частотная таблица:

Необходимо простроить соответствующую гистограмму (заметим, что представленное в таблице разбиение диапазона изменения возраста на интервалы не лишено смысла; например, такое разбиение может явиться следствием особого внимания исследователя к тем периодам жизни человека, когда тот вступает в трудовую жизнь (15—20 лет) и постепенно выходит из нее, готовясь к пенсии (50—55 лет для женщин).

• 3. Опишите модели, стоящие за стандартными формулами расчета моды и медианы.
• 4. Вспомните геометрические правила расчета медианы с помощью выборочной функции распределения — кумуляты (в виде полигона). Покажите, что эти правила приводят к тому же результату, что и соответствующая формула из п. 5 (см. раздел «Повторение отдельных фрагментов курса по теории вероятностей»).
• 5. Разработайте геометрический способ расчета моды с помощью выборочной функции плотности распределения (в виде гистограммы), который отвечал бы соответствующей формуле из п. 5 выше.
• 6. Составьте формулы (аналогичные формуле для расчета медианы), позволяющие рассчитывать квартили, децили, процентили и другие возможные квантили. Покажите, как эти формулы можно заменить геометрическими построениями на основе кумуляты.
• 7. Предположим, что исследователя в первую очередь интересуют те возрастные категории, которые отвечают вхождению человека в работоспособный возраст (15—10 лет) и выходу из него (50—55 лет для женщин). Тогда естественным представляется разбиение диапазона изменения возраста на интервалы, представленные в следующей таблице:

Постройте гистограмму, отвечающую данным таблицы. Обоснуйте теоретически выбранный способ построения.

8. Рассчитайте средние и дисперсию для доли явившихся на голосование жителей некоторого региона, если известны аналогичные доли для каждого из находящихся на территории региона участков. Данные приведены в таблице:

9. Рассчитайте коэффициент корреляции между стажем работника и его зарплатой на основе следующей частотной таблицы.

10. У 12 школьников изучались две характеристики: оценки /(^определенные с помощью шкалы интеллекта Стенфорда—Бине в шестом классе (X) и успеваемость по химии в средней школе, оцененная на основе теста, состоящего из 35 вопросов (Y). Полученные данные сведены в таблицу:

Рассчитать коэффициент корреляции между Xи К.

• 11. Покажите, каким образом связаны выборочные формулы для расчета статистик: среднего арифметического, дисперсии, коэффициента корреляции для непрерывного признака — и известные формулы для расчета (с помошью интегралов) отвечающих этим статистикам генеральных параметров: математического ожидания, дисперсии, коэффициента корреляции.
• 12. Как выглядит функция плотности равномерного распределения и каким образом из нее с помошью интегрирования можно получить соответствующую функцию распределения. Как последняя выглядит?
• 13. Осуществите с помошью таблицы случайных чисел выбор 5 студентов из группы.