Представление целого числа

Для представления целого числа используется форма с ФТ (рис. 3.1). Старший разряд отводится под знак числа, в остальных п — 1 = т разрядах размещается модуль числа. Фиксация точки подразумевается после нулевого разряда сетки, т. е. вне разрядной сетки.

Рис. 3.1. Представление целого числа в форме с фиксированной точкой в разрядной.

сетке Знаковый разряд (крайний левый) содержит 0, если число положительное, или 1, если число отрицательное. Учитывая знак числа, диапазон представления целых чисел со знаком в форме с ФТ определяется соотношением.

Следовательно, диапазон представления чисел в однобайтовой ячейке памяти следующий: —128… 127, т. е. при представлении целых чисел со знаком диапазон отрицательных чисел на одно значение больше диапазона положительных чисел. Для беззнакового числа 0 $ 5 Хф_Т ^ qⁿ — 1, что соответствует значениям 0… 255.

Пример 3.1. Несимметричность диапазона значений относительно нуля целых чисел со знаком в компьютерном представлении вызвана следующим. Пусть п = 4, тогда —8 ^ Хф_Т ^ 7. Все возможные значения таких четырехбитовых чисел приведены в табл. 3.1; для наглядности знаковый разряд выделен полужирным начертанием.

Возможные четырехбитовые числа как числа со знаком

Таблица 3.1

Для представления нуля во всех четырех разрядах должны стоять нули, т. е. представление числа 0 относится к положительным числам. Если же в знаковом разряде стоит единица, а во всех остальных разрядах нули, то это не есть представление минус ноль. Не существует два представления нуля: -0 и +0. Существует только один ноль, и он относится к положительными числам. Если в знаковом разряде стоит единица, а во всех остальных разрядах нули, то это представление соответствует отрицательному (как правило, наименьшему) числу. Поэтому количество отрицательных значений на единицу больше количества положительных значений. ?

Рассмотренный способ представления целых чисел называется прямым кодом.

Из арифметических операций проще всего в СВТ выполняется операция сложения. Другие арифметические операции сводят к сложению. При этом используют различные формы представления чисел со знаком. Наиболее употребительным является представление чисел в обратном и дополнительном кодах. Операции, выполняемые в этих кодах, дают результат в этих же кодах.

Для положительных целых чисел со знаком прямой, об}Х1гпный и дополнительный коды одинаковы.

Рассмотрим представление отрицательных чисел со знаком в обратном и дополнительном кодах.

Обратный код отрицательного числа получается инвертированием значений разрядов в двоичном представлении модуля числа, исключая знаковый разряд. Под инвертированием понимается замена 0 на 1 и наоборот.

ратному коду единицы.

Пример 3.2. Получить дополнительный код для числа —58 в 8-разрядной сетке.

Решение. Имеем п = 8. Модулем числа —58 будет число 58, которое в двоичном представлении записывается как 111 010.

Старший (крайний левый) разряд в 8-разрядной сетке равен 1 (исходное число отрицательное). В оставшихся п — 1 = 7 разрядах должен размещаться модуль числа. Число 57 в двоичном представлении содержит 6 цифр, следовательно, к к двоичной записи модуля добавляются лидирующие нули: 111 010.

Проинвертируем модуль числа 57: 1 000 101. С учетом знакового разряда получим обратный код числа: 11 000 101. Прибавляя к этому значению 1, получим дополнительный код: 11 000 110 Положение точки в компьютерном представлении приведено на рис. 3.2. ?

Рис. 3.2. Дополнительный код целого отрицательного числа —58ю.

Дополнительный код числа — это новое число, которое равно дополнению исходного числа до значения, следующего за самым большим числом разрядной сетки.

Пример 3.3. Рассмотрим суть использования дополнительного кода на примере десятичных чисел. Положим, имеются всего два разряда, тогда максимальным числом, которое можно записать, будет 99. Пусть требуется выполнить вычитание 70 — 40 = = 70 + (—40). Число, следующее за самым большим значением разрядной сетки, равно 99 + 1 = 100 (оно не помещается в отведенное количество разрядов). Дополнительным кодом для числа 40 (модуля числа —40) будет число 60, так как 40 -Ь 60 = 100. Если при выполнении сложения заменить отрицательное число его дополнительным кодом, то получим:

Старший разряд (1) не помещается в выделенную разрядную сетку, он отбрасывается, в результате чего в сетке остается результат выполнения вычитания (т.е. сложения положительного и отрицательного чисел). ?

Чтобы по дополнительному двоичному коду получить отрицательное десятичное целое число со знаком необходимо выполнить следующие операции:

• 1. Из дополнительного кода вычесть единицу (получим обратный код).
• 2. Проинвертировать код.
• 3. Перевести модуль в десятичное число и записать перед ним знак минус.

Пример 3.4. Получить отрицательное целое число по дополнительному коду 10 110 110.

Решение. Применим алгоритм:

• 1. Вычитаем единицу: 10 110 101.
• 2. Инвертируем (знаковый разряд оставляем): 11 001 010.
• 3. Переводим в десятичную систему счисления и дописываем знак минус: 10 010 102 = = 74ц). Результат — число — 74ю-
• ?

Достоинства представления чисел в форме с ФТ: простота, естественность представления чисел, простота алгоритмов реализации арифметических операций и выполняющих их устройств, а следовательно, высокая скорость выполнения операций. Но она имеет существенный недостаток: небольшой диапазон представления чисел, что не всегда приемлемо при вычислениях.