Вынужденные колебания. 
Резонанс

Если колебательная система с собственной частотой соо находится под воздействием внешней периодической силы.

где со, — циклическая частота этой силы, то колебания называют вынужденными. Уравнение таких колебаний (разделы 6.1.2, 6.1.8) имеет вид.

В отличие от ранее изученных уравнений колебаний последнее является неоднородным. Согласно пункту 1.3.3, общее решение неоднородного уравнения — сумма общего решения однородного уравнения (зависящего от двух произвольных постоянных) и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения описывает затухающие колебания и приведено в предыдущем п. 6.1.8. Частое решение неоднородного уравнения можно искать в форме

Подстановка этой функции в уравнение дает значения постоянных.

В результате общее решение уравнения вынужденных колебаний имеет вид

причем первое слагаемое экспоненциально быстро убывает, и в асимптотике больших времён остается лишь второе. Оно описывает колебания с частотой вынуждающей силы со_н и амплитудой, зависящей от соотношения (c)о и со, отстающие по фазе от вынуждающей силы на <�р.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний А от частоты со, вынуждающей силы представлена на рисунке.

Резонансная кривая — зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силы Явление возрастания амплитуды при определенной частоте называют резонансом, а частоту «р, при которой А максимальна — резонансной. Она определятся из уравнения.

Сама резонансная амплитуда равна.

и растет с уменьшением затухания, поэтому на рисунке р, > р₂. Таким образом, резонанс четко прослеживается лишь тогда, когда затухание мало р —? 0; при этом со_р % (c)о, а <�р % л/2, что определяет работу автоколебательных систем.

Явление резонанса играет очень важную роль в технике. В ряде устройств, предназначенных для разрушения твердых тел (типа отбойных молотков) и для сейсморазведки механический резонанс полезен, но чаще с ним приходится бороться. Очень опасен резонанс при колебаниях мостовых опор, крыльев самолетов, гребных винтов судов и т. д. Во всех названных случаях для подавления резонанса приходится применять специальные устройства.

Автоколебания являются частным случаем вынужденных колебаний. Для того, чтобы энергия «наиболее эффективно усваивалась' колебательной системой, необходимо добавлять ее порциями в строго определенные моменты времени. Например, при раскачивании обычных качелей их легче всего подталкивать в самой нижней точке, при прохождении положения равновесия.

Именно такую своевременную подачу порций энергии обеспечивает автоколебательная система, схема которой показана на рисунке. Своевременность достигается тем, что сама колеблющаяся система открывает клапан, управляющий подачей энергии, с помощью устройства обратной связи. Обратная связь называется положительной, если необходимо поддерживать колебания, и отрицательной, если их необходимо подавить. В упомянутом примере с качелями это соответствует тому, что мы подталкиваем качели в нижней точке либо по, либо против направления их движения.