Условия существования полигауссовых моделей

В начале рассмотрим полигауссовы представления одномерных плотностей вероятности, а также энергетических спектров случайных сигналов и помех. Условия точных и приближенных представлений следуют из условий плоноты систем гаусовских характеристических функций.

в пространстве L₂[-°°, оо], интегрируемых с квадратом модуля функцийДх). При выполнении этих условий гауссовские плотности образуют линейно-независимый базис^[1]. Условия точного представления функции fix) конечным числом слагаемых типа (1.41) получены методом моментов, условия аппроксимации функции f (x) конечномерного аргумента х конечным числом гауссовских компонент той же размерности — на основе теорем Винера.

Известно, что для того, чтобы некоторая вещественная случайная величина с начальными моментами }, к = 0, 1,.была эквивалентна пол и гауссовой величине (чтоб выполнялось (1.41)), с параметрами.

необходимо и достаточно, чтобы разности.

являлись элементами бесконечной ганкелевой матрицы ранга JV, для которой выполняются известные детерминантные неравенства.

В отличие от условий точного представления, достаточные условия полигауссовой аппроксимации слабее и формулируются проще. Так, например, для всякого конечного числа отсчетов.

щ ~^u[tи_к =n (f_A) случайного сигнала u (t) с плотностью м (м" и_к) при любом г > 0 найдется конечное число N гауссовоких плотностей и"[и₁₉.м_к] с одинаковыми, заранее заданными корреляционными матрацами, такими, что.

Если) непрерывна по всем переменным в замкнутой области, за исключением, быть может, конечного числа точек, то при любом? > 0 найдется такое /V, что.

Корреляционные матрицы могут быть и единичными, так что в качестве гауссовоких компонент сигналов и помех можно использовать стационарные белые шумы, добавляя к ним необходимые средние значения.

Доказано, что любые интегрируемые с квадратом модуля функции, например, частотные или импульсные переходные характеристики реальных цепей, многомерные характеристические функции или плотности вероятности случайных величин и векгоров, конечномерные корреляционные функции или энергетические спектры стационарных случайных процессов и нолей с конечной мощностью и т. п. допускают сколь угодно точные полигауссовы представления с конечным числом компонент. Практически все встречающиеся в технике явления, имея ограниченное время существования, энергию, эффективную полосу частот и т. п., должны описываться интегрируемыми функциями и, следовательно, допускать полигауссову аппроксимацию.

Обращаясь к сигналам и помехам, представляемым случайными процессами с непрерывным временем, получим из литературы, что существует возможность точных или сколь угодно точных полигауссовых представлений случайных сигналов, нсгаусовских помех и их комплексов на конечном интервале времени. Условия точного представления довольно ограничительны и, вероятно, не всякое реальное колебание им удовлетворит. Условия аппроксимации, напротив, относительно слабы. Полученные условия означают ограниченность мощности, эффективной полосы частот и времени существования процессов без детерминированных составляющих. Таким образом, реальные сигналы и помехи практически эквивалентны соответствующим полигауссовым процессам самое большее со счетным множеством гауссовских компонент (см. выражение (1.41) с определенными вероятностями, средними и ковариациями.

Существование полигауссовых моделей реальных сигналов и помех приводит к своеобразному операционному исчислению их вероятностных характеристик, удобному для многих, задач статистической теории радиосвязи.

• [1] Корректное использование смесей стандартных распределений связано с неортогональным базисом, так как за исключением практически неинтересного случая финитных плотностей, другие плотности, будучи положительными, нс могутбыть ортогональными.