Корреляционный анализ при построении однофакторных прогнозных моделей

В реальной экономике практически не встречаются процессы, изолированные от других процессов, объектов и явлений. Любой прогнозируемый экономический показатель отражает некоторое состояние экономического объекта и является результатом сложной взаимосвязи прогнозируемого объекта и других объектов, факторов и условий. Еще Г. В. Лейбниц писал: «Аксиома, что ничего не бывает без основания, должна считаться одной из самых важных и плодотворных аксиом во всем человеческом познании; на ней основывается большая часть метафизики, физики и нравственного учения, и без нее нельзя ни доказать ни существования Бога из творений, ни построить доказательство от причин к следствиям или от следствий к причинам, ни сделать какие-либо выводы в делах гражданских»^[1]. Если попытаться выявить все факторы и условия, оказывающие воздействие на прогнозируемый социально-экономический объект, то таких факторов будет очень много, и учесть влияние каждого из них практически невозможно. Поэтому возникает задача абстрагирования — выбора факторов, оказывающих на прогнозируемый объект наибольшее влияние. Зачастую на практике эту задачу упрощают — необходимо найти главный фактор, изменения которого оказывают влияние на прогнозируемый объект, т. е. использовать для прогнозирования однофакторную зависимость изменения прогнозируемого показателя y_t от основного фактора x_t.

Поскольку в данной главе мы анализируем процессы, представляющие собой реализацию некоторых случайных причин, а имеющиеся в распоряжении прогнозиста статистические данные об этих процессах рассматриваем как выборочные значения из некоторой генеральной совокупности, то к ним в полном объеме применим инструментарий математической статистики. Из всего многообразия инструментария современной математической статистики к задачам социально-экономического прогнозирования чаще всего применяют аппарат корреляционно-регрессионного анализа, базирующийся на выборочном методе.

Под корреляционным анализом, как известно, понимается раздел математической статистики, нацеленный на выявление взаимосвязи между случайными факторами и оценки степени этой взаимосвязи.

Под регрессионным анализом понимается раздел математической статистики, посвященный выбору формы регрессионной зависимости, оценке ее коэффициентов и достоверности полученных результатов.

Сразу же уточним. Ученые часто имеют дело с функциональными зависимостями, когда одному х соответствует только одно у. При обработке эмпирических данных ученые сталкиваются с другого рода зависимостью, когда одна случайная величина зависит от другой случайной величины (когда одному значению х по вероятности соответствует другое значение у). Она называется корреляционной — «такая зависимость между двумя случайными переменными, при которой одна из них реагирует на изменения другой изменениями своего математического ожидания»^[2]. Математическое описание корреляционной зависимости представляет собой линию регрессии.

Рассмотрим вначале корреляционный анализ применительно к задаче социально-экономического прогнозирования, понимая, что все приводимые расчетные коэффициенты будут являться выборочными значениями. Основной задачей корреляционного анализа является выявление из множества случайных факторов, связанных с прогнозируемым показателем, тех из них, влияние которых оказывается наиболее значимым. В однофакторном случае из множества факторов необходимо выбрать один, чье влияние на прогнозируемый показатель оказывается решающим. В корреляционном анализе не предполагается определять направление этой взаимосвязи, т. е. искать ответ на вопрос: y_t влияет на x_t или наоборот x_t влияет на у₍. Необходимо выявить наличие взаимосвязи между двумя (в случае однофакторной зависимости) случайными величинами и оценить тесноту этой взаимосвязи.

Корреляционный анализ оперирует довольно обширным арсеналом различных коэффициентов и показателей, но о наличии взаимосвязи в итоге предлагается судить в основном по трем расчетным коэффициентам:

• • корреляционному отношению;
• • коэффициенту парной корреляции;
• • коэффициенту детерминации.

Корреляционное отношение используется в ситуации, когда рассматриваются зависимости нескольких групп одного фактора от нескольких групп других факторов. Например, когда рабочие разных разрядов получают зарплаты разного уровня и результаты их работы в зависимости от этого уровня изменяются. Для решения подобной задачи можно разбить рабочих на несколько групп в зависимости от уровня их зарплаты, соответствующего разряду квалификации рабочего, например:

• • крайне маленькая зарплата (2—5 денежных единиц);
• • низкий уровень (5,1—8 денежных единиц);
• • ниже среднего (8,1—11 денежных единиц);
• • средний уровень (11,1—14 денежных единиц);
• • чуть выше среднего (14,1 — 17 денежных единиц);
• • выше среднего (17,1—20 денежных единиц);
• • значительно выше среднего (20,1—23 денежных единиц);
• • очень высокий (от 23,1 денежных единиц и выше).

В каждой из этих i групп зарплата конкретных рабочих варьируется вокруг некоторой средней х₍, соответствующей каждому из разрядов, т. е. внутри каждой г-й группы есть некоторая внутригрупповая дисперсия о²_х Точно так же и производительность труда этих рабочих, измеренная в некоторых единицах, варьируется. Эту производительность разного уровня также можно сгруппировать. И вовсе не обязательно, что число j групп будет совпадать с числом i групп рабочих, разбитых по уровню их зарплаты. Внутри каждой группы, соответствующей разным уровням производительности труда, также есть некоторый средний уровень у и отклонения от него, т. е. имеется собственная внутригрупповая дисперсия <�т²_{(/ г} Такая ситуация типична для применения к ее анализу корреляционного отношения. В этом случае можно вычислить выборочное корреляционное отношение у к х. Оно будет рассчитываться так. Для всех значений у рассчитывается общая средняя арифметическая у и общее среднее квадратическое отклонение G_y. Затем для каждой группы j считаются внутригрупповые средние квадратические отклонения а_да— и их средняя по всем группам о_(/. Искомое корреляционное отношение г_1/х будет иметь вид ^V

Если в какой-либо j-й группе будет всего лишь одно наблюдение, или все наблюдения в группе будут равны одному и тому же значению, то очевидно, что внутригрупповая дисперсия в такой группе будет равна нулю. Если это наблюдается в каждой группе, т. е. одному х соответствует одно и только одно у, то числитель дроби (3.96) будет равен нулю и корреляционное отношение г_ух будет равно единице, характеризуя ситуацию, когда между у и х имеется функциональная зависимость. Другой крайний случай, когда переменные независимы друг от друга и вне зависимости от того, какие значения принимает один фактор, разброс точек в каждой группе другого фактора равномерный, а средние каждой группы одинаковы. Тогда средняя а_у будет равна общему среднему квадратическому отклонению а_/у, а это значит, что числитель дроби (3.96) равен ее знаменателю и что корреляционное отношение ч_ух будет равно нулю, характеризуя отсутствие какой-либо зависимости.

Точно так же можно рассчитать и корреляционное отношение X к у

Однако чаще всего на практике встречаются ситуации, когда имеются пары случайных значений y_t x_t, г. е. каждому y_t соответствует x_t и наоборот — каждому x_t соответствует y_t. Но поскольку каждая из переменных является случайной величиной, то переменной у одного уровня может соответствовать несколько переменных х, отличающихся друг от друга на случайную величину. Здесь нет групп и соответственно нет внутригрупповых дисперсий. Если формально применить к этой ситуации корреляционное отношение, то будет получена единица. Но это не говорит о том, что между переменными имеется строгая функциональная зависимость, ведь по п точкам можно построить функциональную зависимость — полином (п — 1)-й степени, а именно об этом в данном случае и сигнализирует корреляционное отношение. Просто для данного случая корреляционное отношение неприменимо. Надо использовать другой инструмент измерения случайной взаимосвязи между факторами, или, иначе говоря, корреляционной зависимости между ними.

Здесь основным инструментом выступает коэффициент парной корреляции. Рассмотрим его свойства.

Чаще всего в современной математической статистике коэффициент корреляции случайных величин у и х рассматривают как отношение корреляционного момента р_г/у к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Корреляционный момент случайных величин определяют как математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

Зная свойства математических ожиданий, а именно, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих сомножителей, получим.

Из этого делается вывод о том, что для двух независимых случайных величин коэффициент корреляции будет равен нулю, поскольку из (3.100) следует, что числитель формулы (3.98) равен нулю, а значит и сам коэффициент равен нулю. Поэтому если на практике прогнозист сталкивается с двумя независимыми случайными переменными, он может быть уверен, что коэффициент корреляции между ними будет равен нулю.

Необходимо обратить внимание на одностороннюю направленность этого утверждения, а именно на то, что истинным является только вывод о том, что для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Обратное утверждение о том, что при наличии коэффициента парной корреляции между двумя переменными, равным нулю, можно говорить о независимости этих переменных, истинным не является.

Действительно, прямой вывод имеет схему классического дедуктивного вывода, и если нам известно, что две случайные переменные независимы друг от друга, то мы будем утверждать, что для них коэффициент парной корреляции равен нулю. Вот логическая схема этого вывода.

Все случайные переменные (все А), являющиеся независимыми (при условии В), имеют коэффициент парной корреляции, равный нулю (имеют г = 0). Поэтому если перед нами некоторые другие случайные переменные (D принадлежит к множеству А), которые являются независимыми (удовлетворяют условию В), то для них коэффициент парной корреляции равен нулю (имеют г = 0).

Или: для всех А, удовлетворяющих условию В, выполняется г = 0. D принадлежит к, А и удовлетворяет условию В, следовательно, для него выполняется г-0.

Вывод дедуктивный и является истинным.

А теперь рассмотрим структуру обратного вывода. Чаще всего рассуждают так: «две случайные переменные имеют коэффициент парной корреляции, равный нулю. Поскольку известно, что этот коэффициент равен нулю для независимых переменных, то это означает, что рассматриваемые переменные не зависят друг от друга». Кажется, что так оно и есть, но на самом деле полученный вывод носит не утвердительный, а предположительный характер. Для того чтобы понять это, рассмотрим логическую структуру данного вывода.

Для всех случайных переменных (для всего множества А), являющихся независимыми (которые удовлетворяют условию В), коэффициент парной корреляции равен пулю (обладают г = 0). Случайные переменные (некоторая часть D множества А) имеют коэффициент парной корреляции, равный нулю (имеет свойство г =0). Следовательно, они также являются независимыми (они удовлетворяют условию В).

Или: для всех А, удовлетворяющих условию В, выполняется r-O.D принадлежит к, А и имеет г-0. Значит, для D выполняется условие В.

Как видно из структуры этого вывода, он является не дедуктивным, а индуктивным. Действительно, рассматриваемую ситуацию можно расширить: для всех А, удовлетворяющих условию С, также может выполняться равенство г=0. Из чего следует, что если D принадлежит, А и для него г= О, то D может удовлетворять и условию С, и условию В.

Поясним сказанное на простом примере первого дедуктивного вывода и обратного ему индуктивного вывода.

Первый дедуктивный вывод: все члены партии «Единая Россия» являются гражданами России. Этот человек — член партии «Единая Россия», следовательно, он гражданин России. Это дедуктивный вывод, и он является истинным. А вот обратный вывод: все члены партии «Единая Россия» являются гражданами России. Авторы этих строк — граждане России, следовательно, они члены партии «Единая Россия». Он является индуктивным, носит предположительный характер, а потому не является истинным.

Точно так же и обратный индуктивный вывод о том, что равенство нулю коэффициента парной корреляции свидетельствует о независимости двух случайных переменных, не является истинным, он дает некоторую предположительную оценку, которая может оказаться и ложной. Надо всегда иметь это в виду.

В математической статистике доказывается, что корреляционный момент р_д;// лежит в пределах.

Это двойное неравенство, как легко заметить, может быть заменено на такое:

Если теперь обратиться к формуле коэффициента парной корреляции (3.98), то, воспользовавшись неравенством.

(3.102), получаем еще одно свойство этого коэффициента:

причем строгое равенство достигается в том случае, когда между исходными переменными имеется функциональная линейная зависимость.

Отсюда следует дедуктивный вывод о том, что для двух случайных переменных, между которыми имеется линейная зависимость, коэффициент парной корреляции по модулю будет равен единице. Обратный вывод о том, что если между двумя переменными коэффициент парной корреляции равен единице, то между ними существует линейная функциональная зависимость, является индуктивным, и поэтому не является истинным. Приведем подтверждающий это пример.

Пусть в некоторой больнице одному из пациентов поставлена капельница и количество влитых в его организм капель меняется строго линейно функционально относительно времени: x_t = at, а в некотором банке кассир, принимающий у клиента деньги на счет, получает их так, что сумма счета меняется линейно функционально относительно времени как y_t = bt.

Если кому-то придет в голову идея рассчитать выборочное значение коэффициента корреляции между этими двумя рядами x_t и y_t, то оно будет равно единице. Но коэффициент парной корреляции, равный единице для этого случая, очевидно, вовсе не означает, что между этими двумя рядами имеется строгая линейная функциональная зависимость. Никто из здравомыслящих людей не заявит о том, что чем больше капель лекарства получает пациент в больнице, тем больше денег появится на счете у клиента банка. Между этими двумя рядами, как это ясно из сути процессов, вообще взаимосвязи нет и быть не может.

Итак, по значениям коэффициента парной корреляции нельзя однозначно судить о степени корреляционной взаимосвязи между факторами, поскольку такой вывод является индуктивным и носит предположительный характер.

Для корректного применения этого коэффициента необходимо предварительно обосновать гипотезу о наличии корреляции между двумя случайными переменными, и только после этого подтвердить или опровергнуть эту гипотезу с помощью коэффициента корреляции.

Поскольку экономисты работают не с генеральными совокупностями, а только с выборочными значениями из них, то непосредственное применение формулы (3.98) для расчета коэффициента парной корреляции невозможно. Необходимо использовать выборочное значение корреляционного момента и выборочные значения средних квадратических.

Центральный выборочный корреляционный момент рассчитывается по формуле.

Выборочные значения среднеквадратических отклонений рассчитываются гак:

Заменив показатели в формуле (3.98) па их выборочные значения (3.104) — (3.106), получим выборочное значение коэффициента парной корреляции:

Понятно, что значения этого коэффициента лежат в пределах от минус единицы до плюс единицы, по какую им дать интерпретацию? Ведь любой коэффициент тем и хорош, что с его помощью можно с той или иной степенью успешности диагностировать некоторую анализируемую ситуацию.

Коэффициент парной корреляции имеет четкую статистическую интерпретацию, но на практике приходится сталкиваться с тем, что его смысл существенно искажается, особенно в экономической практике. Вот, например, как рекомендуется понимать его значения при проведении маркетинговых исследований: «Абсолютная величина коэффициента корреляции характеризует тесноту связи, а знак указывает на ее направление»^[3]. И далее рекомендуется так интерпретировать абсолютные значения коэффициента парной корреляции: если он лежит в пределах от 1 до 0,81, — считать, что связь сильная; если от 0,61 до 0,80, — что сила связи умеренная; от 0,41 до 0,60, — слабая; от 0,21 до 0,40 — очень слабая; от 0,00 до 0,19 — считать, что связь между переменными отсутствует. На эту ошибочную интерпретацию результатов ориентируются очень многие экономисты, а не только те, кто занимается маркетинговыми исследованиями. Поэтому остановимся более подробно на свойствах коэффициента парной корреляции с тем, чтобы прогнозист не допустил ошибки на этом важном этапе прогнозирования.

Прежде всего, следует заметить, что изначально при обосновании коэффициента парной корреляции, использовалась прямолинейная регрессия, поскольку, как отмечал еще в 1912 г. в монографии «Теория корреляции и элементы учения о кривых распределения» Е. Е. Слуцкий: «Теория криволинейной регрессии до сих пор разработана недостаточно, и мы в дальнейшем будем иметь дела главным образом с первым типом {линейной регрессией), к счастью, по крайней мере, в известном приближении, преобладающим в ряде случаев, с которыми имеет дело статистическая практика»^[4]. Далее, имея в виду исключительно линейную регрессию, исследователь писал: «Корреляционная зависимость между явлениями может быть, … и более, и менее тесной. Начиная от полной независимости и переходя через ряд градаций, она в пределе превращается в строго функциональную связь двух величин»^[5]. При этом он предупреждал, что «равенство коэффициента корреляции нулю может свидетельствовать об отсутствии корреляции только лишь при условии линейности»^[6]. Если коэффициент парной корреляции равен нулю, это вовсе не означает отсутствие корреляции между случайными переменными вообще, это свидетельствует только об отсутствии линейной корреляции.

Чтобы понять суть этих предупреждений, рассмотрим другой способ получения формулы (3.104)^[7], тем более что именно так этот коэффициент и был выведен Пирсоном в конце XIX в.

Запишем уравнение линейной регрессии:

Коэффициенты данной модели можно найти с помощью МЫК. Но для упрощения процесса нахождения выборочных значений этих коэффициентов произведем центрирование исходных переменных относительно их средних:

Тогда легко найти значение коэффициента регрессии:

Значение свободного члена при этом будет равно нулю. Вспомним, что коэффициент а_х характеризует тангенс угла, а наклона линии регрессии к оси Ох (рис. 3.8).

Поскольку на этом этапе исследования нам неизвестно направление зависимости, а мы изучаем сам факт ее существования, то вполне возможно существование и обратного направления зависимости — зависимости х от у:

Для центрированных значений исходных переменных относительно их средних арифметических легко найти значение коэффициента регрессии этой зависимости с помощью МНК. Формула вычисления коэффициента регрессии для этого случая будет записана так:

Этот коэффициент, как известно, характеризует угол (3 наклона прямой линии к оси 0у, он равен тангенсу этого угла (рис. 3.8). Из рисунка легко заметить, что сумма углов, а и (3 меньше л / 2:

Откуда со всей очевидностью имеем:

Причем строгое равенство достигается только в том случае, когда сумма углов будет равна л / 2, т. е., когда две линии регрессии совпадают. Чем дальше эти две линии регрессии друг от друга, тем дальше сумма углов от л / 2 и дальше от единицы произведение тангенсов этих углов (3.113).

Значит, по величине (3.113) можно судить, насколько линии регрессии близки друг к другу и насколько, в конечном итоге, зависимость между двумя случайными величинами приближается к линейной.

Рис. 3.8. Графическое изображение линий регрессии х на у.

и у на х

Подставив в (3.113) вместо тангенсов углов их числовые выражения (а_х и Ь_х), найденные ранее по формулам (3.109) и (3.111), и исчислив квадратный корень из этого произведения, получим:

Сравнив с (3.107), можно сделать вывод о том, что мы получили формулу выборочного значения коэффициента парной корреляции. Поэтому можно рассматривать выборочное значение коэффициента парной корреляции как среднегеометрическое из коэффициентов регрессии, оцененных с помощью М11К.

Что же характеризует выборочное значение коэффициента парной корреляции? Оно показывает, насколько зависимость между случайными переменными, если она есть, приближается к линейной. И только! Как было показано выше, из тех или иных значений коэффициента парной корреляции вовсе не следует вывод о наличии или отсутствии зависимости между случайными переменными. Первична гипотеза о наличии такой взаимосвязи, затем следует ее инструментальное подтверждение с помощью коэффициента парной корреляции.

Если поступать наоборот, то можно столкнуться с явлением ложной корреляции, когда два совершенно независимых случайных показателя имеют высокое значение коэффициента парной корреляции. Если два независимых показателя имеют монотонную тенденцию своего изменения, например, оба возрастают, то, нанеся эти точки на график рис. 3.8, можно убедиться в том, что они лягут на линию, с той или иной степенью приближающуюся к прямой. Коэффициент парной корреляции в этом случае будет показывать степень приближения этих точек к прямой линии и не будет как-то свидетельствовать о наличии или отсутствии корреляционной взаимосвязи между переменными. Если, например, рассчитать коэффициент парной корреляции между доходами на душу населения в Ненецком автономном округе с 1998 г. по настоящее время и численностью населения Индии за этот же промежуток времени, то можно убедиться в том, что этот коэффициент будет близок к единице. Но это высокое значение коэффициента парной корреляции, очевидно, совсем не говорит о наличии взаимозависимости между этими двумя переменными. Корреляция между ними будет ложной.

Таким образом, для того, чтобы избежать явления ложной корреляции, следует вначале исследования с помощью экономического анализа обосновать наличие зависимости между случайными переменными, а затем с помощью корреляционного анализа подтвердить приближение этой зависимости к линейной форме.

Если коэффициент парной корреляции по модулю близок к единице, то это подтверждает гипотезу о том, что между переменными может существовать линейная взаимосвязь.

Если коэффициент парной корреляции по модулю меньше, чем 0,8, но выше, чем 0,6, то можно говорить о том, что зависимость между переменными может быть представлена как линейная, но с очень большой погрешностью.

Если модуль коэффициента парной корреляции меньше, чем 0,6, то следует искать другую нелинейную форму зависимости.

Низкое значение коэффициента корреляции ни в коем случае не свидетельствует об отсутствии взаимосвязи вообще. Оно свидетельствует только об отсутствии линейной взаимосвязи. Например, для нелинейной функциональной зависимости у₍ =sinx, коэффициент парной корреляции между х и у будет почти равен нулю. Но равенство нулю коэффициента парной корреляции в этом случае, очевидно, не говорит об отсутствии взаимосвязи между y_t и x_t вообще, а свидетельствует именно об отсутствии линейной взаимосвязи между ними, поскольку функциональная нелинейная взаимосвязь очевидна.

Но что делать исследователю, если он убежден в наличии взаимосвязи между случайными факторами, а коэффициент парной корреляции по модулю близок к нулю? Как подтвердить наличие или отсутствие взаимосвязи вообще? Для этого можно использовать графический анализ взаимосвязи. Возможно, что точки на графике лягут так, что исследователь сможет предполагать наличие, например, экспоненциальной зависимости: y_t=a₀e^a{X‘.

Тогда для подтверждения этой гипотезы следует прологарифмировать левую и правую части равенства. Получим In y_t = a₀+a_lx_t.

Коэффициент парной корреляции необходимо находить между Iny_t и x_t. Близость его к единице по модулю будет подтверждать высказанную гипотезу о наличии корреляции между случайными факторами, корреляции, описываемой экспоненциальной зависимостью.

Так же можно поступать и при выдвижении гипотез о наличии нелинейных зависимостей других видов (показательной, степенной, квадратичной, логарифмической зависимости и т.н.).

Расчет и смысл коэффициента детерминации мы рассмотрели в параграфе 2.4. В случае с парной линейной регрессионной моделью он представляет собой квадрат коэффициента парной корреляции. Покажем это. Как мы помним, коэффициент детерминации рассчитывается по формуле.

Подставим в числитель (3.115) вместо одного расчетного значения значение из (3.108) и заменим второе расчетное значение фактическим с ошибкой:

Учитывая, что в регрессионных моделях, оцененных МНК, сумма ошибок и сумма произведений ошибок на независимую переменную равны нулю, вторую часть в числителе в (3.116) мы можем безболезненно отбросить. Одновременно с этим, так как регрессионная линия проходит через среднюю точку, мы можем заменить у на среднее расчетное значение: у = аъ+а_лх.

В итоге получим:

Теперь вместо а_х подставим в (3.117) формулу (3.109) для того, чтобы получить окончательный результат:

Коэффициент детерминации в этом случае имеет простой смысл — его значения показывают, на сколько процентов линейная динамика одного показателя соответствует линейной динамике другого показателя. Например, если коэффициент парной корреляции равен 0,9, то коэффициент детерминации в соответствии с (3.118) будет равен квадрату коэффициента парной корреляции, т. е. 0,81. Это говорит о том, что изменение каждого из показателей на 81% может быть объяснено линейным влиянием другого показателя, a 19% этого изменения может быть отнесено к влиянию иных факторов.

Данный вывод носит предположительный характер, поскольку является индуктивным. Для того чтобы оценить, насколько можно доверять подобному высказыванию, необходимо оценить доверительные границы для расчетных выборочных значений как коэффициента парной корреляции, так и коэффициента детерминации.

Для расчета доверительного интервала для коэффициента корреляции существует формальная процедура проверки статистической гипотезы. Нулевая гипотеза в данном случае заключается в том, что коэффициент корреляции равен нулю, а альтернативная обычно — в том, что не равен:

Проверяется эта гипотеза путем расчета^{-статистики} по формуле.

Процедура проверки гипотезы стандартна: расчетное значение сравнивается с табличным Если расчетное значение оказалось по модулю меньше табличного, делается вывод о том, что нет оснований отклонить нулевую гипотезу. Этот результат может либо сигнализировать о недостаточности данных, либо об отсутствии линейной связи между исследуемыми показателями.

Основной вывод, который следует из материалов данного параграфа, заключается в том, что корреляционный анализ так и не дает ответа на главный вопрос о наличии или отсутствии взаимосвязи между случайными факторами. Его основные коэффициенты (парной корреляции и коэффициент детерминации) позволяют лишь оценить степень приближения случайной зависимости к линейной, если эта зависимость предварительно обоснована аналитически.

• [1] Лейбниц Г. В. Соч.: в 4 т. Т. 3. М., 1984. С. 141.
• [2] Дунин-Барковский И. ВСмирнов II. В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1955. С. 370.
• [3] Голубков Е. П. Маркетинговые исследования: теория, методологияи практика. М.: Финпресс, 1998. С. 244—245.
• [4] Слуцкий Е. Е. Экономические и статистические произведения: избранное. М.: Эксмо, 2010. С. 691.
• [5] Там же. С. 695.
• [6] Там же. С. 731.
• [7] Венецкий И. Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистическиепонятия и формулы в экономическом анализе: справочник. М.: Статистика, 1979.