Преобразование понятий в логике исчислений

С понятиями приходиться оперировать не только в рамках традиционной, но и математической логики. Формализация логических операций расширяет пределы наших знаний и возможностей в области построения и преобразования понятий с помощью исчислений на основе математических методов. Как отмечает видный отечественный математик, специалист по теории чисел и исчислению вероятностей А. А. Марков (1856—1922), в этом качестве логика стала пригодной для правильной постановки и решения математических проблем, связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений.

Большое значение для выполнения различных информационных, технических, электронно-вычислительных, проектных, программных и многих других задач имеют логические операции сложения, умножения и вычитания понятий. С одной стороны, они показывают, как из одного или нескольких понятий образуется новое понятие, а с другой — позволяют обнаружить скрытые механизмы ошибок, возникающих при соединении некоторых исходных понятий в более сложную конструкцию.

Логическое сложение — это образование логической суммы объемов понятий:

где союз или употребляется в неисключающем значении. В объем логической суммы понятий входят те объекты, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из исходных классов. Например: А — юрист, В — депутат Государственной Думы РФ. В результате сложения получаем множество, объединяющее: 1 — юристов-недепутатов, 2 -юристов-депутатов, 3 — депутатов-неюристов. Графически это выглядит так:

Логическое умножение — это образование произведения объемов понятий:

В объем понятия (А, а В) входят те объекты, каждый из которых принадлежит обоим исходным классам. Например, если умножить те же понятия, что и складывали, то получим новое множество юристов-депутатов (2). Графически запись логической операции умножения представлена следующим образом:

Из рассмотренных примеров видно, что сложение и умножение перекрещивающихся понятий приводит к разным информационным результатам. Операции сложения и умножения приводят к одному результату лишь в том случае, если мы имеем дело с равнообъемными. Например, «менеджер» (А) и «управляющий» (В). Графически это выглядит так:

Во всех других случаях данные операции приводят к получению различной информации. Например, при оперировании с подчиненными понятиями результат сложения родового и видового понятий объемов равен родовому понятию, а результат умножения — видовому понятию. Например: А — бизнес, В — туристический бизнес:

Если исходные понятия в неположенные, то их сложение образует класс, полностью включающий в себя оба множества, а логическое произведение тех же понятий ведет к образованию нулевого класса. Например: А — прокурор, В — адвокат:

С противоположными (контрарными) и противоречащими (контрадикторными) понятиями производится только операция сложения.

Суммарный объем контрарных понятий не исчерпывает некоего универсального класса, поскольку имеется по крайней мере одно состояние или свойство, занимающее среднюю позицию между ними. Например: А — горячий, В — холодный, С — теплый или прохладный:

Контрадикторные понятия исключают наличие неиспользованной части объема универсального класса. Поэтому сложение контрадикторных понятии составляет в сумме этот универсальный класс. Например: А — преуспевающий бизнесмен, неЛ — непреуспевающий бизнесмен. В результате сложения получаем заштрихованный универсальный класс «бизнесмен» или незаштрихованный прямоугольник.

Таким образом, сумма контрарных понятий может быть выражена формулой.

а сумма контрадикторных понятий выразится формулой.

В формульных записях универсальный класс обозначается цифрой 1, а на графических схемах изображается в виде круга или прямоугольника.

Логическое вычитание (дополнение, отрицание, исключение) — логическая операция, заключающаяся в том, что для класса А составляется новый класс из всех тех и только тех элементов универсального класса, которые не содержатся в классе А. Так, дополнением для класса А (всех наличных финансовых расчетов) будет класс А (множество безналичных финансовых расчетов). Графическая запись вычитания представлена следующим образом:

При осуществлении обратной операции сложения они образуют универсальный класс «финансовый расчет» .

С точки зрения информативности важно не терять из виду универсальный класс, так как отсутствие указания на него оставляет понятие дополнения неопределенным.

Как видим, сопоставление содержаний и объемов, соединение некоторых произвольных множеств в повое сложное множество имеет непосредственное отношение к организации текста, к извлечению из него нового или дополнительного смысла. Логика вооружает математику и информатику принципами преобразования понятийного аппарата, проясняет то, что на интуитивном уровне, па уровне здравого смысла и обыденно-бытовых представлений скрыто и неочевидно для «интеллектуального зрения». Оно становится зримым, ощутимым с помощью логической обработки исходного материала.