Сущность имитационного моделирования

Сущность имитационного моделирования рассмотрим на примере.

Пример 3.1.

По объекту наносится одиночный ракетный удар. Радиус поражения —R. Попадание ракеты в цель характеризуется рассеиванием, распределенным по нормальному закону со среднеми квадратическими отклонениями:

• • по дальности а_х;
• • по направлению о_у.

Цель будет уничтожена, если расстояние г от нее (т.е. от точки прицеливания) до центра взрыва ракеты будет меньше или равно К (г < R). Так как радиус К много больше размеров объекта, то цель можно считать точечной.

Наличие рассеивания исключает однозначный ответ: «цель поражена — цель не поражена». Задача носит вероятностный характер, поэтому в результате моделирования может быть получен ответ: цель будет поражена с вероятностью Р.

Цель моделирования: определить вероятность Р = P (r < R) поражения объекта одиночным ракетным ударом.

Решение

Построим декартову систему координат так, чтобы точечный объект находился в начале координат, а направление пуска ракеты совпадало с осью х (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Иллюстрация к нанесению удара.

Первая последовательность соответствует распределению М (х) = 0, а_х = а, вторая — М (у) = 0, а_у=Ь. Математические ожидания М (х), М (у) взяты равными нулю, так как объект поражения (точка прицеливания) находится в начале координат, т. е. имеет координаты х = 0 и у = 0.

Возьмем две последовательности нормально распределенных случайных чисел:

Закон и характеристики случайных чисел х и у соответствуют закону рассеивания пуска ракет.

Осуществляем моделирование.

• 1. Имитируем удар, т. е. мысленно нанесем удар по объекту путем определения координат взрыва. В силу идентичности закона рассеивания и его характеристик с законами распределения случайных чисел такими координатами могут быть х! иу_1; взятые из последовательностей случайных чисел.
• 2. Вычислим расстояние Г] от места взрыва ракеты до цели: г, = ^jx'f + у^ .
• 3. Оценим результаты имитации удара, т. е. установим факт поражения или непоражения объекта:
  • • если г, < R, то объект поражен;
  • • если г, > R, то объект не поражен.
• 4. Если объект поражен, запомним этот факт увеличением М на единицу, т. е. М :=М+ 1 (вначале М = 0).
• 5. Для нахождения вероятности поражения объекта повторим имитацию нанесения удара N раз.
• 6. Оценим вероятность через частость поражения объекта:

Возможность оценки вероятности частостью свершения события доказывается теоремой Я. Бернулли: при неограниченном числе однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте (Бернулли Якоб 1 — самый старший из восьми представителей этой швейцарской семьи, выдающихся ученых).

Чем больше число N (число реализаций, число испытаний, число прогонов модели), тем точнее будет оценка вероятности Р.

Для числовых данных примера R = 2 км, о_х = 1,5 км, а_у = 0,8 км оценки вероятностей Р поражения цели при различном числе реализаций модели показаны в табл. 3.1.

Оценки вероятностей поражения цели

Таблица 3.1

При N = 10 000, тех же характеристиках рассеивания и других радиусах поражения R получим: R = 1 км => Р = 0,3; R = 1,5 км => Р = 0,576; R = 2,5 км => =>Р = 0,8823.

В параграфе 4.7 мы установим количественную связь между числом реализаций модели N, требуемой точностью и доверительной вероятностью результата моделирования, в данном случае оценки вероятности Р.

Данный пример иллюстрирует сущность метода имитационного моделирования, которая заключается в следующем.

• 1. Создается модель, поведение которой подчиняется тем же вероятностным законам, что и интересующий нас процесс.
• 2. По известным законам распределения для отдельных характеристик процесса выбираются их случайные значения.
• 3. Вычисляются параметры исхода процесса при случайных значениях характеристик, полученных на этапе 2, и запоминаются (этапы 2 и 3 соответствуют одному статистическому испытанию).
• 4. В результате N статистических испытаний (повторений этапов 2 и 3) получают N значений параметров исхода процесса. Вероятностные характеристики параметров исхода процесса получают в результате статистической обработки полученных случайных величин.

Статистическая обработка и оценка точности результатов моделирования основываются на предельных теоремах теории вероятностей: теореме Чебышева и теореме Бернулли.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3.2.

Транспорт 1 с грузом отправился из пункта, А в пункт С через пункт В. Одновременно из пункта D в пункт Е через пункт В отправился транспорт 2. Скорости движения транспортов распределены по нормальному закону с математическими ожиданиями и V₂ и стандартными отклонениями <�т_х и о₂.

Требуется построить алгоритм имитационной модели с целью определения вероятности встречи транспортов 1 и 2 в пункте В. Расстояние от пункта А до пункта В S_x, а от пункта D до пункта В — S₂. Событие встречи считать состоявшимся, если их времена прибытия в пункт В либо равны, либо отличаются на величину, не превышающую At.

Решение

Построим схему движения транспортов 1 и 2 (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Схема движения транспортов.

Возьмем две последовательности нормально распределенных случайных чисел.

характеристики которых соответствуют математическим ожиданиям и стандартным отклонениям скоростей движения транспортов 1 и 2.

1. Имитируем движение транспортов 1 и 2 до пункта В со скоростями У_1Х и У₂1 соответственно, взятыми из последовательностей нормально распределенных случайных чисел.

• 3. Оценим результат имитации движения транспортов 1 и 2, т. е. установим факт наличия или отсутствия их встречи:
  • • если | tjt₂1 < At, встреча состоялась;
  • • если | tjt₂1 > At, встреча не состоялась.
• 4. Если встреча состоялась, зафиксируем этот факт увеличением значения М на 1, т. е. М := М + 1 (вначале М = 0).
• 5. Для нахождения вероятности встречи транспортов 1 и 2 повторим имитацию их движения и встречи N раз.

Рассчитаем вероятность встречи:

Результаты моделирования при Vj = V₂ = 25 км/ч, = ст₂ = 3 км/ч, S_l=S₂ = = 3 км hN= 10 000:

Очевидно, что изложенный процесс имитации легко может быть реализован на компьютере. Представим алгоритмы моделей примеров 3.1 и 3.2 схемами, изображенными на рис. 3.3 и 3.4 соответственно.

Рис. 3.3. Алгоритм модели из примера 3.1.

Рис. 3.4. Алгоритм модели из примера 3.2.

В рассмотренных примерах исследуются различные процессы. Но алгоритмы моделей этих процессов имеют общую, практически идентичную часть (блоки 1, 5—9, на рис. 3.3 и 3.4 они выделены) и часть, которая непосредственно имитирует исследуемый процесс (блоки 2—4).

Подобное сходство и различие еще раз подтверждают сформулированную нами ранее сущность имитационного моделирования.

Пример 3.3.

По объекту наносится не одиночный удар, а три последовательных ракетных удара. При поражении объекта любой из трех ракет пуски прекращаются. Остальные условия те же, что и в примере 3.1.

Алгоритм ИМ приведен на рис. 3.5. На нем выделены блоки 1, 8—11, выполняющие те же функции, что и блоки 1, 5—9 в алгоритмах ИМ на рис. 3.3 и 3.4. Блоки 2—7 непосредственно имитируют нанесение удара по объекту, т. е. выполняют одну реализацию (один прогон модели).

В блоке 2 переменной к присваивается начальное число пусков ракет. Далее эта переменная используется для организации внутреннего цикла по числу пусков.

После каждого пуска значение к уменьшается на единицу (блок 7). При к = = 0 (блок 3) реализация завершается. Завершается она также и при поражении объекта (блок 6). Но при этом предварительно значение переменной М увеличивается на единицу. По завершении N0 реализаций рассчитывается оценка математического ожидания вероятности поражения объекта тремя последовательными пусками ракет.

Рис. 3.5. Алгоритм модели нанесения удара тремя ракетами.