Из трех приведенных выше определений, касающихся отношений, интерес представляет также определение 4. Оно по содержанию очень близко к важному положению, которое принято называть аксиомой Архимеда или аксиомой измерения (Б. Л. ван дер Варден на страницах 242 и 256 книги [ 19] называет ее — вслед за Архимедом? — леммой). Как видно, она была известна уже Евдоксу; вполне возможно, что он и был ее автором.
Существуют различные формулировки этой аксиомы; приведем формулировку Архимеда по ван дер Вардену:
«Из неравных отрезков, площадей и тел большая таким образом превосходит меньшую, что разность, будучи прибавляема сама к себе, может превзойти любую заданную величину из класса величин, сравниваемых между собой».
У Д. Я. Стройка тот же текст (с той же ссылкой на сочинение Архимеда «О сфере и о цилиндре») звучит несколько иначе:
«Если два пространства не равны, то можно столько раз сложить с собою разность, на которую большее превосходит меньшее, чтобы она превзошла любое конечное пространство» [2, с. 63].
В дальнейшем будем иметь в виду более простую формулировку, которая применительно к отрезкам звучит так:
«Какие два отрезка ни взять, равными любому из них можно перерыть другой».
