Краткие сведения о теориях прочности

Одной из важнейших задач инженерного расчета является оценка прочности любого элемента конструкции по известному напряженному состоянию в наиболее опасной точке поперечного сечения.

Для простых видов деформаций эта задача решается достаточно просто: по известным расчетным формулам определяются максимальные напряжения, которые сравниваются затем с опасными (предельными), определяемыми для материала рассчитываемого элемента экспериментально. Прочность обеспечена, если максимальные напряжения не превышают предельных значений.

Для сложного напряженного состояния подобный метод оценки прочности непригоден. Как показывают опыты, для одного и того же материала опасное состояние может наступить при различных предельных значениях нормальных и касательных напряжений в зависимости от соотношений между ними. Количество таких комбинаций практически безгранично, как и обширна номенклатура применяемых материалов. Экспериментально исследовать каждую такую комбинацию в лабораторных условиях невозможно как по техническим причинам, гак и, но экономическим условиям.

Следовательно, необходимо, располагая ограниченными экспериментальными данными о свойствах материала конструкции, оценить его прочность в условиях любого напряженного состояния. Это становится возможным при применении различных теорий прочности.

Все существующие теории прочности основаны на гипотезах о преимущественном влиянии того или иного фактора на процесс перехода материала в предельное состояние. Основой всех этих гипотез является замена фактического напряженного состояния равноопасным (эквивалентным) ему линейным (одноосным) напряженным состоянием.

Рис. 6.6.

Значение напряжения а_экв, при котором материал в условиях одноосного напряженного состояния оказывается в равноопасном состоянии с рассматриваемым сложным напряженным состоянием в точке, называется эквивалентным напряжением (рис. 6.6).

Любое сложное напряженное состояние будем характеризовать главными напряжениями а_1? а₂ и а₃.

В соответствии с методом предельного равновесия условие прочности для сложного напряженного состояния в общем виде формулируется как.

где R — расчетное сопротивление материала; у_с — коэффициент условия работы (см. параграф 5.4), применяется, если этого требуют соответствующие главы СНиП и СП.

Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). Согласно этой теории главным критерием прочности являются нормальные напряжения. Опасное состояние наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает значения, соответствующего предельному состоянию данного материала при простом растяжении или сжатии.

Условие прочности (6.15) примет вид.

где а_П1ах = а, при растяжении и а_тах = |а₃| при сжатии.

Теория наибольших нормальных напряжений не получила экспериментальных подтверждений для пластичных материалов. Она даст удовлетворительные результаты лишь для хрупких материалов (камень, кирпич и т. п.) при условии, что наибольшее напряжение — растягивающее.

Теория наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности). Согласно этой теории основной причиной разрушения материала является наибольшая относительная линейная деформация. Условие наступления предельного состояния в этом случае с учетом (6.13) записывается в виде.

где Sj — наибольшее относительное удлинение, соответствующее рассматриваемому напряженному состоянию; е₀ — предельное значение относительного удлинения, определяемого экспериментально.

С учетом закона Гука (5.7) условие прочности (6.15) примет вид.

Вторая теория прочности также нс получила должного экспериментального подтверждения.

Примечание. Учитывая несоответствие между результатами экспериментов и теоретическими предпосылками приведенных выше теорий прочности, в настоящее время как самостоятельные теории в инженерных расчетах они не применяются.

Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности). В качестве основного критерия, определяющего прочность материала, принимается величина наибольшего касательного напряжения. Предполагается, что предельное состояние в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает опасного значения, соответствующего предельному состоянию данного материала при растяжении.

В этом случае на основании (6.11) т_шах = 0,5(0] - о₃), предельное значение касательного напряжения т₀ = О, 5о₀, где о₀ — опасное напряжение, определяемое из испытаний материала на растяжение или сжатие (о_;/ или о").

Тогда условие прочности (6.15) при расчете по методу предельного состояния примет вид.

Рис. 6.7.

В случае плоского напряженного состояния одно из главных напряжений равно нулю. Допустим, что в осях х и у действует только нормальное напряжение а_х = а и касательное напряжение т (ст_г/ = 0). Это часто встречающийся на практике случай плоского напряженного состояния (рис. 6.7). Тогда условие (6.18) с учетом (6.7) при ст, > 0, ст" = 0, < 0 примет вид.

Третья теория прочности хорошо подтверждается экспериментальными данными для пластичных материалов. Недостатком ее является то, что она не учитывает величины главного напряжения, которое также оказывает некоторое влияние на прочность материалов. Кроме того, третья теория прочности неприменима при расчете конструкций из хрупких материалов.

Энергетическая теория формоизменения (четвертая теория прочности). В качестве критерия прочности в данном случае используется количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформируемым элементом. Согласно этой теории переход материала в предельное состояние в общем случае напряженного состояния происходит тогда, когда величина удельной потенциальной энергии достигает значения, соответствующего предельному состоянию данного материала при растяжении.

Опуская выкладки, запишем условие прочности (6.15) для данной теории:

Для частного случая плоского напряженного состояния (см. рис. 6.7) условие (6.20) принимает вид.

Энергетическая теория прочности дает для пластичных материалов более точное, по сравнению с третьей теорией, совпадение теоретической гипотезы с экспериментальными данными, благодаря чему получила широкое распространение. Для расчета элементов конструкций из хрупких материалов данная теория прочности неприменима.

Теория прочности Мора — теория прочности предельных напряженных состояний (пятая теория прочности). Согласно этой теории единого критерия прочности, общего для всех видов напряженного состояния, не существует. В каждом случае прочность материала зависит от величины и знака наибольших а, и наименьших а₃ главных напряжений; напряжение а₂ на прочность материала влияет незначительно и им пренебрегают. Теория прочности предельных состояний основана на графическом методе исследования напряженного состояния (круги Мора). Поскольку в настоящем курсе этот метод не рассматривается, ограничимся приводимой без вывода формулой эквивалентного напряжения. По той же причине не представляется возможным изложить физические основы этой теории и дать формулировку условия эквивалентности.

Условие (6.15) для теории прочности Мора записывается в виде при.

где a_ut — предел прочности материала на растяжение; g_uc — предел прочности материала на сжатие.

Если коэффициенты надежности по материалу у_т (см. параграф 5.3) для сжатия и растяжения при определении расчетных сопротивлений одинаковы, то выражение (6.23) можно записать в виде.

где R_f и R_c — расчетные сопротивления материала на растяжение и сжатие соответственно.

В случае плоского напряженного состояния (см. рис. 6.7) при расчете по методу предельных состояний выражение (6.22) примет вид.

Если материал пластичный и имеет одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии, то, принимая вместо c_ut и <�з_ис предел текучести а_;/, получим k = 1, и условие (6.24) совпадет с условием (6.19) третьей теории прочности.

Для хрупких материалов величина k часто бывает довольно малой (например, для бетона). Тогда условие (6.24) примет вид.

Теория Мора хороню подтверждается экспериментальными данными, поэтому ее в настоящее время широко применяют при расчете на прочность элементов конструкций из хрупких материалов.

В заключение следует отметить, что в настоящее время в инженерных расчетах используют для пластичных материалов третью или четвертую теории, а для хрупких материалов — теорию прочности Мора.