Интерполяция и аппроксимация экспериментальных данных

Интерполяция и аппроксимация, эмпирические функции. Функциональную зависимость, оформленную в виде таблицы, часто необходимо представить в аналитической форме. Подбор приближенной эмпирической функции, представленной аналитически и проходящей через все таблично заданные точки, приближенно отражает поведение исходной функции. С помощью полученной аналитической формулы можно найти значения этой функции в тех точках (внутри данного интервала), где она не задана таблично, такой процесс называется интерполяцией.

Процесс аппроксимации заключается в построении приближенной (аппроксимирующей) функции, проходящей через все точки исходных данных и наиболее близко к заданной непрерывной функции. Подбор эмпирической функции осуществляется выбором из всех функций на основе вычисленных параметров, входящих в эти функции, наиболее близко описывающих функциональную зависимость между изучаемыми величинами.

Эмпирические функции в зависимости от характера экспериментальных данных могут быть следующие:

• • линейная (y = ах + b) — применяется в тех случаях, когда экспериментальные данные изменяются относительно постоянно;
• • полиномиальная (у = а0 + а1х + а2х + … + аnх) — описывает попеременно возрастающие и убывающие экспериментальные данные;
• • логарифмическая (у = a ln (х) + b, где а и b — константы) — описывает экспериментальные данные, когда они первоначально стремительно возрастают или убывают, а затем постепенно стабилизируются;
• • степенная (у = bхa, где a и b — константы) — применяется, когда скорость изменения экспериментальных данных постоянно увеличивается или уменьшается;
• • экспоненциальная (у = bеах, где а и b — константы) — используется для описания экспериментальных данных, скорость возрастания или убывания которых непрерывно растет.

Вывод аналитической функции по ее табличным данным. Для подбора интерполирующей формулы в MS Excel 2010 необходимо выполнить следующие действия:

• • построить по имеющимся экспериментальным данным график зависимости функции от аргумента;
• • вывести контекстное меню с помощью мыши на линии графика;
• • из списка команд контекстного меню выбрать команду Добавить линию тренда;
• • в диалоговом окне Формат линии тренда на вкладке Параметры линии тренда определить характер изменения функции на графике и выбрать вид аппроксимирующей функции. Далее установить флажки в полях Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R²).

Чем выше величина достоверности аппроксимации — К², тем точнее аппроксимирующая функция описывает исходную зависимость экспериментальных данных.

После выполнения последовательности операций на диаграмме будут отображены линия тренда (графическое отображение интерполирующей функции), а также интерполирующая функция в аналитическом виде, со значением величины достоверности аппроксимации R².

Процесс подбора интерполяционной функции рассмотрим на следующем примере.

Пример 9.10. Имеются сведения о величинах страховых выплат по годам, представленные на рис. 9.27.

Рис. 9.27. Величины страховых выплат для примера 9.10.

Требуется подобрать интерполяционную функцию и определить характер изменения величин страховых выплат.

Решение

Выполним следующие действия.

• • По табличным данным построим график.
• • Выведем диалоговое окно Формат линии тренда с помощью контекстного меню линии графика.
• • Исходя из характера изменения экспериментальных данных, в параметрах линии тренда выберем значение «Полиномиальная» со степенью 2. Установим флажки в полях Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2).

После нажатия кнопки Закрыть на диаграмме появятся линия тренда, аппроксимирующая функция и величина достоверности аппроксимации — R² (рис. 9.28).

Рис. 9.28. Подбор линии тренда по страховым выплатам.