Игровая модель олигополии: антагонистическое поведение

Тот факт, что дуополии действуют на рынке независимо друг от друга, вовсе не означает, что отсутствует потенциальная возможность сговора между ними. Анализ матриц выигрышей дуополий часто позволяет определить согласованные стратегии, которые выгодны для обеих дуополий. Здесь рассмотрен случай, когда матрицы дуополий таковы, что сговор между ними в принципе невозможен.

Матрицы выигрышей дуополий называют антагонистическими, если при любой паре «ходов» дуополий выигрыш одной дуополии в точности равен проигрышу другой. Иными словами, соответствующие элементы матриц выигрышей противоположны друг другу, т. е. их сумма равна нулю. В этом случае матрицу выигрышей первой дуополии называют платежной матрицей. Элементы матрицы выигрышей второй дуополии противоположны соответствующим элементам платежной матрицы, поэтому при описании игровой модели из двух названных матриц указывают только платежную матрицу. Игровую модель олигополии с платежной матрицей называют антагонистической, или игрой с нулевой суммой. При этом элемент платежной матрицы трактуют как часть прибыли, которая переходит от одной дуополии к другой. Если этот элемент положителен, то вторая дуополия «платит» первой, если же он отрицателен, то, наоборот, «платит» первая дуополия. В игре с нулевой суммой сговор невозможен, поскольку увеличение прибыли для одной дуополии означает увеличение убытков для другой.

Пример 5. В табл. 9.7 представлена платежная матрица. Предположим, что первая дуополия выбрала первый вариант поведения, а вторая дуополия — третий вариант. Данному «ходу» дуополий отвечает элемент платежной матрицы, равный минус единице. Следовательно, прибыль первой дуополии сокращается на единицу, а прибыль второй дуополии — увеличивается на единицу.

Определим осторожные стратегии дуополий. Для первой дуополии осторожная стратегия определяется так же, как в общем случае. Поскольку максимальное значение из трех минимальных элементов в строках платежной матрицы равно единице, выбор второго варианта поведения служит осторожной стратегией для первой дуополии. Для установления осторожной стратегии второй дуополии определим.

Таблица 9.7

Платежная матрица и осторожные стратегии.

максимальный элемент в каждом столбце платежной матрицы и найдем минимальный из них, он равен 1. Это число называют минимаксом второй дуополии (минимакс — минимальное из максимальных значений). Очевидно, что выбор второго варианта поведения является осторожной стратегией для второй дуополии. Если обе дуополии стабильно реализуют свои осторожные стратегии, то выигрыш первой дуополии будет неизменно равен единице, а проигрыш второй дуополии — минус единице, т. е. вторая дуополия «передает» первой дуополии одну денежную единицу (например, 1 млн руб.).

Заметим, что в рассмотренном примере минимакс равен максимину (равен единице). Платежные матрицы, обладающие таким свойством, играют важную роль в игровых моделях антагонистического поведения олигополий. Введем некоторые определения.

Седловой элемент платежной матрицы — это элемент, который является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Седловой элемент называют также седловой точкой. Платежная матрица может иметь несколько седловых точек, а может и не иметь их вовсе.

Главное свойство седлового элемента платежной матрицы состоит в том, что он равен одновременно максимину и минимаксу. Игровая модель олигополии, в которой платежная матрица имеет одну седловую точку, характеризуется следующими свойствами:

• а) стратегии поведения дуополий, отвечающие седловой точке, являются одновременно осторожными и равновесными (оптимальными);
• б) если седловой элемент положителен, то ситуация на рынке изначально «настроена» в пользу первой дуополии (см. табл. 9.7), которая имеет положительную прибыль при любом поведении конкурента;
• в) если седловой элемент отрицателен, то ситуация на рынке изначально «настроена» в пользу второй дуополии, которая имеет положительную прибыль при любом поведении конкурента;
• г) если седловой элемент равен нулю, то ситуация на рынке считается «справедливой».

Пример 6 (Реклама товара). Рассматривается ситуация, когда на рынке некоторого товара конкурируют две фирмы: известная и неизвестная. Каждая фирма имеет два варианта поведения: рекламировать свой товар или не рекламировать его. Рынок товара насыщен, поэтому рекламирование приводит не к увеличению суммарной прибыли фирм, а к ее перераспределению между ними. Если обе фирмы рекламируют товар, их прибыли остаются на прежнем уровне, т. е. перераспределения прибылей не происходит. Если обе фирмы не рекламируют товар, то покупатели не получают никакой информации о неизвестной фирме и по привычке предпочитают товар известной фирмы, которая в итоге увеличивает свою прибыль на единицу. Если известная фирма не рекламирует товар, а неизвестная рекламирует, то последняя увеличивает число своих постоянных покупателей, а ее прибыль при этом увеличивается на единицу. И наконец, если известная фирма рекламирует товар, а неизвестная фирма не рекламирует, то известная фирма получает максимальный прирост прибыли, равный 2. Понятно, что при этом прибыль неизвестной фирмы уменьшается на ту же величину.

Платежная матрица игры представлена в табл. 9.8. Она имеет седловой элемент 0, расположенный на пересечении первой строки и первого столбца. Следовательно, равновесной (и осторожной) стратегией каждой фирмы является рекламирование товара. Поскольку седловой элемент равен 0, рыночная ситуация является «справедливой».

Таблица 9.8

Антагонистическое поведение: реклама товара.

Рассмотрим случай, когда платежная матрица не имеет седловой точки. Тогда, как правило, равновесные стратегии конкурентов являются не чистыми, а смешанными, т. е. конкурентам следует чередовать различные варианты поведения для получения максимального выигрыша. Если седловой точки нет, то средний выигрыш первого игрока меньше максимина, а не равен ему, как в случае с седловой точкой.

Цена игры — это математическое ожидание выигрыша первого игрока в случае, когда оба конкурента придерживаются равновесных стратегий. Цена игры больше максимина, но меньше минимакса. Если платежная матрица имеет седловой элемент, то он равен цене игры. Покажем на примере алгоритм расчета смешанных равновесных стратегий конкурентов.

Пример 7 (Проверка груза). На таможне производится проверка правильности оформления груза. Таможня может проверить груз, а может и не делать этого. Перевозчик также имеет два варианта поведения: оформить груз правильно или оформить его неправильно. При правильном оформлении сумма таможенных сборов больше, чем при неправильном (3 тыс. против 2 тыс. долл.). Если в ходе проверки таможня установила, что груз оформлен неправильно, то она взыскивает с перевозчика штраф в размере 4 тыс. долл. Если проверка груза показала, что он оформлен правильно, то таможня вынуждена выплатить перевозчику денежную компенсацию в размере 1 тыс. долл, за задержку транспортного средства и понесенные убытки.

Платежная матрица игры представлена в табл. 9.9. Из нее следует, что стратегия «Не проверить» является осторожной для таможни, она уберегает ее от возможной выплаты компенсации перевозчику. Максимин равен 2 тыс. долл. — гарантированный доход таможни. Стратегия «Правильно оформить» является осторожной для перевозчика, она уберегает его от возможного штрафа. Минимакс равен 3 тыс. долл. — максимально возможные потери перевозчика. В данном случае цена игры лежит в пределах между максимином и минимаксом, т. е. она больше 2 тыс. долл., но меньше 3 тыс. долл.

Определим цену игры и равновесные стратегии таможни и перевозчика. Цену игры обозначим через V. Обозначим через р равновесную вероятность (частоту) проверки груза таможней, тогда равновесная стратегия таможни выражается вектором (р, 1 — р). Обозначим через q равновесную вероятность (частоту) правильного оформления документов перевозчиком. Тогда его равновесная стратегия выражается вектором (<7, 1 — q). Запишем равновесные стратегии игроков в табл. 9.9.

Таблица 9.9

Антагонистическое повеление: проверка груза.

Рассчитаем количественные параметры равновесной стратегии таможни. В случае, когда перевозчик следует неравновесной чистой стратегии «Правильно оформить», а таможня следует своей равновесной стратегии, то ее средний выигрыш составит:

Если перевозчик следует неравновесной чистой стратегии «Неправильно оформить», а таможня следует своей равновесной стратегии, то ее средний выигрыш составит:

В случае, если перевозчик придерживается некоторой неравновесной стратегии, выражения (9.4) и (9.5) больше цены игры, т. е. он теряет больше, чем в ситуации равновесия. Если же перевозчик следует своей равновесной стратегии, то данные выражения равны цене игры. Приравнивая каждое из равенств (9.4) и (9.5) к цене игры, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Ее решение:

Таким образом, равновесная стратегия таможни состоит в том, чтобы проверять 17% грузов, или каждый шестой груз. Если оба игрока привержены своим равновесным стратегиям, то таможня получает в среднем 2,33 тыс. долл, с одного перевозчика (цена игры).

Рассчитаем параметры равновесной стратегии перевозчика. Если таможня проверяет все грузы, а перевозчик следует равновесной стратегии, то его ожидаемые потери составят:

Если таможня следует своей равновесной стратегии, то данное выражение равно цене игры. Приравнивая это выражение полученному ранее значению цены игры, получим уравнение, его решение: q = 0,33. Таким образом, равновесная стратегия перевозчика заключается в том, чтобы правильно оформлять груз лишь в 33% случаях.

В табл. 9.10 представлены возможные первые 12 ходов таможни и перевозчика. При реализации равновесных стратегий каждый игрок случайным образом чередует варианты поведения с частотой, задаваемой равновесной стратегией. Таможня проверила груз лишь два раза, т. е. в 16,6% случаев. Перевозчик, в свою очередь, правильно оформил документы 4 раза, т. е. в 33,3% случаев. Средний выигрыш таможни за 12 ходов составил 2,17 тыс. долл., что несколько меньше цены игры. Чем больше ходов будет сделано игроками, реализующими равновесные стратегии, тем ближе к цене игры будет величина среднего выигрыша таможни.

Таблица 9.10

Смешанные равновесные стратегии.