Математические модели и методы исследования

Ключевые термины и понятия

Моделирование • Математическая модель • Корреляционные связи • Модель межотраслевого баланса • Модель транспортной задачи • Модели территориальной близости и взаимодействия населенных пунктов (регионов).

Математические модели и методы исследования в региональной экономике, как и в большинстве других наук, являются определяющими в построении теорий и практическом использовании основных ее положений. «Наука, стремясь к ясности, — пишет американский географ В. Бунге, — в конце концов оказывается вынужденной облачаться в математическую форму… ибо эта форма гарантирует определенность и непротиворечивость»^[2].

Моделирование — это процесс построения, изучения и применения моделей.

Под математической моделью понимается мысленно (с помощью символов) представленный объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

По целевому назначению математические модели подразделяют на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях естественных процессов территориальной организации хозяйства (в первую очередь для выявления закономерностей), и прикладные, применяемые в решении конкретных практических задач.

В региональной экономике при общей характеристике социально-экономического развития региона часто возникает потребность определить средние величины (производительность труда, плотность населения, доходы на душу населения и др.), отразить территориальную дифференциацию показателей, смоделировать взаимосвязи, оценить тесноту этих связей и возможности использования их при прогнозировании территориальных социально-экономических процессов. Все эти и многие другие необходимые для комплексной характеристики регионов показатели могут быть получены на основе методов математической статистики.

При анализе статистических данных основными обобщающими показателями являются средние и относительные величины. Из средних величин наиболее часто встречаются средняя арифметическая простая.

и средняя арифметическая взвешенная.

где - отдельные значения признака, варианты; - веса каждого варианта.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда отдельные значения признаков повторяются.

Относительные величины представляют собой соотношения двух величин, выраженных в виде дроби. Из относительных величин наибольшего внимания заслуживают индексы — обобщающие показатели, характеризующие изменение величины явления простого или сложного по времени, пространстве или по сравнению с эталоном (нормативом, планом и т. п.).

Вариация (колеблемость) признака и характер распределения изучаются прежде всего с помощью характеристик вариационного ряда, из которых рассмотренная ранее средняя арифметическая является основной, характеризующей центр группирования.

Рассеяние признака определяется рядом показателей вариации, среди которых наиболее распространенным является среднее квадратическое отклонение:

• для несгруппированных данных.

• для вариационного ряда.

Среднее квадратическое отклонение в квадрате, т. е. ?2, называется дисперсией:

или.

Одна из задач статистического анализа структур, в том числе территориальных, заключается в определении степени концентрации (локализации) изучаемого признака по единицам совокупности (регионам) или в оценке неравномерности его распределения. Для этой цели может быть использован коэффициент Джини:

где - доля i-го района в общем объеме совокупности; - доля i-го района в общем объеме признака; - накопленная доля i-го района в общем объеме признака.

При анализе статистического материала часто причинная связь, существующая между двумя или несколькими показателями, затушевывается, усложняется наслоением действия других причин (факторов). Такие связи называются корреляционными, и их изучение осуществляется регрессионным методом, суть которого сводится к тому, что интересующий нас результативный показатель у рассматривается как функция определенного показателя х (при абстрагировании от действия всех других факторов).

Основными задачами при изучении корреляционной зависимости являются, во-первых, отыскание математической формулы (уравнения связи), которая бы выражала эту зависимость у от х, и, во-вторых, измерение тесноты такой зависимости. Определить форму связи — это значит выявить механизм получения зависимой случайной переменной.

Проблема состоит в том, чтобы подобрать вид (форму) функции и по эмпирическим данным определить ее параметры, при которых теоретические (выравненные) уровни минимально отличались бы от эмпирических.

Измерение тесноты зависимости в случае прямолинейной формы связи осуществляется с помощью линейного коэффициента корреляции.

где b — коэффициент регрессии в уравнении связи; среднее квадратическое отклонение соответственно в ряду х и в ряду у.

Большое значение в региональной экономике имеет изучение общественных явлений во времени (динамика ВРП, доходов населения и др.), определение тенденций их изменения. Одним из основных способов обработки рядов динамики, позволяющих сгладить случайные колебания уровней и выявить основную тенденцию изменений (тренд), является выравнивание по аналитическим формулам. Суть этого способа заключается в том, что фактические уровни ряда, изображаемые на графике ломаной линией, заменяются плавной линией теоретических уровней, близкой к эмпирическим (фактическим) уровням, но имеющей аналитическое выражение в виде уравнения прямой, параболы второго или иного порядка, гиперболы, показательной функции и др. Теоретические уровни рассматриваются как функция времени.

Выравнивание по аналитическим формулам может быть использовано при прогнозировании отдельных показателей путем экстраполяции временно? го ряда, продления на будущее тенденции, наблюдающейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по ним отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывается не с факторами, а с течением времени.

• [1] Более подробно вопросы применения математических методов и моделирования в региональной экономике изложены в кн.: Гринберг Л. Г. Основы региональной экономики: учебник. М.: ГУ ВШЭ, 2006; Курнышев В. В., Глушкова В. Г. Региональная экономика. Основы теории и методы исследования: учеб, пособие. 2-е изд. М.: КноРус, 2013.
• [2] Бунге В. Теоретическая география: пер. с англ. М.: Прогресс, 1967. С. 24.