Изображение линейного дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

где х — выходная величина системы; / - входное воздействие; при этом п > т, т. е. п определяет порядок всего дифференциального уравнения.

Это же дифференциальное уравнение (1.46) в операторной форме запишется:

где.

Полиномы D (p) и К (р) называются операторами левой и правой частей дифференциального уравнения.

Обозначим Цх (7)] = -^(s), /-[/(/)] = F (s), найдем изображение от левой и правой части и приравняем их. При нулевых начальных условиях (для конкретности решения дифференциального уравнения), т. е. при хо = хо' = хо" =. .= О, /о = /о' = /о" =. .= О изображение дифференциального уравнения запишется:

Изображение выходной величины: и.

называется собственной передаточной функцией системы. В соответствии с этим можно дать два определения:

• 1) передаточная функция системы есть отношение оператора правой части дифференциального уравнения к оператору левой части дифференциального уравнения, если вместо оператора р в эти операторы подставить s;
• 2) передаточная функция системы сеть отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

В качестве примера рассмотрим передаточную функцию ЭМУ поперечного поля ^(s). В дифференциальном уравнении ЭМУ (1.41).

при заменер на s получим:

Собственная передаточная функция определяется только структурой системы. При s = О IV (0) = — - К, т. е. передаточная функция ста;

^ап

новится равной коэффициенту передачи системы.

Часто система находится под действием нескольких независимых возмущений, приложенных в различных местах, тогда уравнение ее приводится к виду:

Соответственно изображение х (/) при нулевых начальных условиях будет представлено:

В этом случае система характеризуется не одной, а несколькими собственными передаточными функциями: fV_t(s), fV₂(s) и т. д.

Полином D (s) всех передаточных функций постоянен. Этот полином степени п от переменной s называется характеристическим полиномом системы.

При D (s) = 0 имеем характеристическое уравнение системы: