Детали, имеющие форму колец, широко распространены в машиностроении. Особую трудность представляет расчет напряженно-деформированного состояния деталей, размер меридионального сечения которых соизмерим с их диаметром. Это различные втулки, фланцы, ободы дисков и т. п.
Впервые задача деформации кольцевой детали была поставлена Р. Граммелем [1], как задача изгиба обода колеса паровой турбины.
Значительная часть кольцевых деталей работает под нагрузками, действие которых можно заменить системой радиальных сил и моментов, равномерно распределенных вдоль ее кольцевой линии. Кольцевой линией детали называется окружность, соединяющая центры тяжести ее меридиональных сечений. Деформацию при таком нагружении можно представить как растяжение кольца и осесимметричный изгиб, сопровождающийся поворотом меридиональных сечений в их плоскости (кольцо растягивается и выворачивается). Отсюда и название осесимметричная деформация кольцевых деталей.
Как мы уже отметили, теория осесимметричной деформации кольцевых деталей впервые дана Р. Граммелем [1] в 1923 году. На русском языке перевод работы Р. Граммеля представлен в первом томе «Технической динамики» Бицено К. Б и Р. Граммелем [2] в 1950 году. В основе теории Р. Граммеля лежит предположение о повороте меридионального сечения кольцевой детали как жесткого целого относительно некоторой неподвижной точки. Точка, относительно которой осуществляется поворот меридионального сечения, определяется его геометрией посредствам специальных геометрических характеристик.
Доработанная и изложенная современным языком теория осесимметричной деформации кольцевых деталей представлена в учебном пособии С. В. Бояршинова «Основа строительной механики машин» [3], вышедшем в 1973 году. Сразу отметим, что С. В. Бояршиновым авторство теории осесимметричной деформации кольцевых деталей ошибочно приписано К. Б. Бицено, а не Р.Граммелю.
На обложку учебного пособия С. В. Бояршинова вынесен рисунок, взятый из главы, как раз и посвященной расчету «напряжений и деформаций в кольцевых деталях при осесимметричной нагрузке, при плоском и пространственном изгибе». N рис. 1.
Этот рисунок, как и сам метод расчета Р. Граммеля, содержит принципиальную ошибку, так как не учитывает все внутренние силовые факторы, имеющие место в меридиональном сечении кольцевой детали при осесимметричной нагрузке. Из курса сопротивления материалов известно, например, что при произвольном нагружении кольцевая система шесть раз статически неопределима внутренним образом. Осесимметричность нагружения делает кольцевую систему три раза статически неопределимой внутренним образом. То есть, вообще говоря, отличны от нуля два момента и кольцевое усилие, приложенные в меридиональном сечении.
На рис. 1 мы воспроизводим рисунок из пособия [3], добавляя упущенный силовой фактор — момент Му.
Условия равновесия половины кольцевой детали позволяют отыскать лишь два силовых фактора: кольцевое усилие N и момент Мх, действующий в плоскости кольцевой детали.
Рис. 2.
Этим и ограничивается теория Р.Граммеля. Второй, самоуравновешенный при рассмотрении полукольца момент Му, вектора которого перпендикулярны плоскости детали и направлены I противоположено рис. 2, может быть найден лишь после раскрытия статической неопределимости. Теория Р. Граммеля на основе своих искусственных построений (о повороте меридионального сечения вокруг некоторой точки) учесть этот момент не в состоянии.
Основные результаты и выводы работы.
Используя апробированную гипотезу плоских сечений технической теории Бернулли-Эйлера, создана модель упругой деформации кольцевой детали произвольного сечения под действием осесимметричных радиальной и осевой нагрузок.
Для расчета окружных напряжений были найдены три внутренних силовых фактора, возникающие в сечении свободно опертой детали при ее деформировании (в отличии от существующих методов), два из которых находятся с помощью раскрытия статической неопределимости, а третийизгибающий момент Му — из принципа Кастильяно для линейных систем.
Получена формула для нахождения нормальных напряжений в сечении кольцевых деталей в зависимости от параметров внешних силовых факторов.
Разработан новый усовершенствованный метод расчета напряженно-деформированного состояния кольцевой детали при осесимметричной нагрузке при малой деформации (деформация считается малой, если угол поворота сечения в мал).
В работе, в качестве эксперимента, просчитан пример расчета напряжений кольцевой детали, приведенный в учебном пособии Бояршинова С. В., который доказывает правильность полученных расчетных формул метода.
По результатам этого эксперимента можно сделать вывод, что величины напряжений в сечении детали мало отличаются от напряжений, которые получаются если использовать современную методику расчета в тех случаях, когда геометрия сечения и наличие радиальной нагрузки делают влияние изгибающего момента Му незначительным. Поэтому большая часть работы посвящена применению метода расчета напряженно-деформированного состояния тарельчатых пружин.
Выведены формулы усовершенствованного метода, адаптированного к расчету пружин Бельвилля.
Получена линейная зависимость (2.50) между величиной осадки тарельчатой пружины и величиной внешней нагрузки.
Проведен численный эксперимент, в котором сравниваются расчетные значения напряжений с полученными экспериментально величинами таблицы ГОСТ. Исходя из результатов эксперимента, видны несовпадения расчетных данных и данных ГОСТа, а именно нелинейность в зависимости нагрузки от величины осадки пружин, представленных в таблице ГОСТ. Это объясняется наличием поля остаточных напряжений, которое возникает при изготовлении пружин (в процессе заневоливания). Ресурс пружины, в которой существуют зоны пластических изменений, трудно предсказуем как при циклическом, так и при статическом нагружении. Можно сделать вывод, что лучшими эксплуатационными свойствами будут обладать пружины, в которых не существует поле остаточных напряжений.
Расчитанные новым методом величины напряжений в сечении свободно опертой тарельчатой пружины меньше на 60%-80% значений получаемых по формулам Альмена и Лязло, что подтверждает искаженность существующих методик расчета нормальных напряжений в пружинах Бельвилля.
В параграфе 5 главы 2 показаны методы расчета геометрических параметров в зависимости от данной рабочей нагрузки, и наоборот, упруго деформируемых пружин.
Полученные формулы можно напрямую использовать в процессе проектирования пружин Бельвилля., что может существенно сэкономить время и средства при изготовлении, а главное ресурс этих пружин будет предсказуем, и напряжения на поверхности детали, возникающие в процессе эксплуатации, не будут превышать пределы текучести и прочности используемых материалов.
В ближайшей перспективе планируется вывод формул полученного метода для комплектов пружин (рис. 9). Такие конструкции используются для получения нужного осевого перемещения, а так же для восприятия больших усилий и используются, главным образом, как мощные буферные пружины во всякого рода амортизаторах. Для большего гашения энергии ударов, воспринимаемых пружинами, между тарелками, можно устанавливать шайбы (рис. 9а). В этом случае жесткость конструкции возрастает еще за счет сил трения, возникающих на внешних кромках тарелок при их скольжении по шайбам. При наличии особо больших нагрузок пружины можно устанавливать пакетами, вкладывая конус в конус так, чтобы верхняя тарелка своей внутренней поверхностью ложилась на наружную поверхность нижней тарелки. При этом рабочая нагрузка может быть увеличена примерно пропорционально числу пружин в пакете.
