Актуальность темы
Приборы измерения, диагностики и контроля параметров различных физических сред находят широкое применение в научных исследованиях, промышленности, сельском хозяйстве, медицине. При разработке таких приборов в большинстве случаев используются известные апробированные методы обработки измерительных сигналов или первичных экспериментальных данных. Однако любая процедура измерения физической величины должна включать в себя также оценку случайных и систематических погрешностей результата измерений, которые зависят не только от конструкции прибора, но и от разнообразных свойств исследуемых сред. Поэтому задачу оценки случайных и систематических погрешностей результатов измерений нередко приходиться решать в процессе или после проведения измерений параметров физической среды.
Оценка систематических погрешностей результатов измерений для конкретных датчиков требует анализа и идентификации физико-математической модели прибора на основе тех или иных методов обработки экспериментальных данных. Актуальность решения этой метрологической задачи для конкретных видов датчиков представляется очевидной.
Для оценки случайных погрешностей измерений в метрологии наиболее полно развиты статистические методы в случае нормального или гауссов-ского распределения случайных величин (СВ). Но экспериментальные исследования показывают, что отклонение от нормального закона распределения характерны для многих задач измерения параметров физических сред и иных физических величин. Для негауссовских распределений СВ возможности решения статистических задач в значительной мере сужаются, поскольку во многих случаях отсутствуют проверенные и эффективные методы аналитического или численного решения таких задач. Применительно к измерительным задачам можно выделить следующие основные проблемы:
• оптимальный выбор числа интервалов группирования данных при построении гистограмм в зависимости от закона распределения и объема выборки СВ;
• идентификация формы гистограммы для выборки достаточно большого объема N при наличии практически всегда имеющихся систематических отклонений эмпирической плотности вероятности от расчетной;
• определение доверительных интервалов для оценок статистических параметров по имеющейся выборке значений СВ при неизвестном законе распределения;
• генерирование нескольких коррелированных выборок случайных чисел с различными законами распределения;
• суммирование случайных погрешностей измерений и анализ случайных погрешностей результатов косвенных измерений при различных законах распределения погрешностей и корреляции между ними;
• оценка параметров тренда и шума при анализе временного процесса с неизвестными нелинейным трендом и законом распределения шума;
• оценка значений частоты по короткой реализации гармонического сигнала при наличии шумов с различными законами распределения.
Актуальность решения этих задач отмечается в монографиях Новицкого П. В. и Зограф И. А. [1], Грановского В. А. и Сирой Т. Н. [2], Земельмана М. А. [3], Тюрина Ю. Н. и Макарова A.A. [4], Губарева В. В. [5,6], Кулаичева А. П. [7], Фальковича С. Е. и Хомякова Э. Н. [8], Шелухина О. И. [9,10] по прикладной статистике и методам обработки результатов измерений. Решения некоторых задач с негауссовскими распределениями случайных величин рассматриваются в книгах и статьях Денисова В. И. и Лемешко Б. Ю. [11−15], в статьях Солопченко Г. Н. [16−22], Орлова А. И. [23−26], Кудлаева Э. М. и Лагутина М. Б. [27,28] и других, а также в книгах зарубежных авторов Андерсена Т. [29], Бокса Дж. и Дженкинса Г. [30], Бриллинджера Д. [31], Кенделла М. и Стьюарта А. [32,33], Крамера Г. [34], Бендата Дж. и Пирсола А. [35] и других, однако многие из таких задач до настоящего времени остаются нерешенными или они решены только для некоторых частных случаев негауссовских распределений.
К статистическим задачам традиционно относится также одна из задач регрессионного анализа — построение функциональных зависимостей по экспериментальным или расчетным данным.
В литературе регрессионный анализ рассматривается в основном для случая линейного вхождения параметров в математическую модель исследуемой зависимости. Если часть неизвестных параметров входит в модель нелинейным образом, то необходимо решать более сложную задачу нелинейной параметризации. Решения некоторых таких задач рассматриваются в монографиях Андриянова A.B. и Шпака И. И. [36], Крылова В. В. и Хер-маниса Э.Х. [37], Барда Й. [38], Виноградова В. Н., Гая Е. В. и Работнова Н. С. [39], Грешилова A.A. [40], Рабинера Л. и Гоулда Б. [41], Львовского.
E.H. [42], Носача B.B. [43], Попова Б. А. и Теслера Г. С. [44] и других авторов. Алгоритмы оценки параметров некоторых классов сигналов и зависимостей с нелинейно входящими параметрами могут быть получены, в частности, на основе предложенной Ланнэ A.A. теории расщепления сигналов [45−48]. Однако для многих видов квазидетерминированных сигналов и зависимостей разработка методов нелинейной оценки параметров и анализа статистических характеристик этих оценок остается актуальной задачей.
Другая задача связана с выбором функциональной зависимости (задача приближения функций) и еще 10 лет назад считалась неформализуемой. Однако появление быстродействующих компьютеров привело к существенному прогрессу в ее решении для сигналов и зависимостей, заданных на конечном интервале значений аргумента. На практике нередко требуется найти наилучшую аппроксимацию для монотонно возрастающих или убывающих ограниченных функций, заданных на полу бесконечном интервале значений аргумента и принимающих экстремальные значения на границах этого интервала. Решение этой задачи требует разработки соответствующих методов обработки результатов измерений.
Цель и задачи диссертационной работы. Целью работы является разработка и исследование методов обработки результатов измерений для решения следующих задач:
• оценки характеристик случайных погрешностей измерений при наличии негауссовских распределений случайных величин;
• нелинейного регрессионного анализа (приближения монотонных функций на полубесконечном интервале значений аргументаоценки параметров многокомпонентных сигналов и зависимостейанализа статистических характеристик оценок параметров) и анализа временных рядов с неизвестными нелинейным трендом и законом распределения шума;
• применения полученных результатов для оценки случайных погрешностей радиоволновых и ультразвуковых измерителей параметров физических сред и аппроксимации характеристик приборов и экспериментальных зависимостей между физическими величинами;
• оценки систематических погрешностей измерений некоторых радиоволновых и ультразвуковых датчиков;
Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы теории вероятностей, математической статистики, вычислительной математики, функционального анализа, статистического моделирования, теории дифференциальных уравнений в частных и обыкновенных производных, теорий распространения радиои ультразвуковых волн, метод средних потенциалов (метод Хоу) для расчета электрических полей.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:
1. Разработаны методы и алгоритмы решения следующих задач: генерирования выборок значений двух СВ с разными законами распределения и заданным коэффициентом корреляцииидентификации формы одно-модальных и двухмодальных гистограмм на классах распределенийоптимизации значений параметров при решении задач нелинейной аппроксимацииприближения монотонных ограниченных функций;
2. Для двух распределений (показательно-степенного и модифицированного Вейбулла) получены аппроксимационные выражения для функций распределений и обратных им функций для моделирования указанных распределений, предложены формулы для расчёта ширины доверительных интервалов, найдены зависимости оптимального числа интервалов группирования данных при построении гистограмм от объёма выборки. Аналогичные задачи решены для распределения Иордана на основе полученного в работе точного выражения для функции распределения.
3. Предложены и исследованы методы и алгоритмы решения статистических задач для негауссовских распределений СВ и процессов: интервального оценивания параметров распределения по выборке СВсуммирования случайных погрешностей измерений и анализа погрешностей косвенных измеренийопределения статистических характеристик нелинейных оценок параметров для сигналов и зависимостей известного видаанализа временного ряда с неизвестным нелинейным трендом и законом распределения шума. Методом статистического моделирования исследованы погрешности разностного метода оценки уровня шума во временном процессе при неизвестном нелинейном тренде и алгоритма интервального оценивания параметров распределения по выборке СВ.
4. Развита теория расщепления квазидетерминированных сигналов: сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие расщепления сигналовдля некоторых классов сигналов сформулированы требования к необходимому числу каналов задержки при расщеплении входного сигнала с помощью операций временной задержкипредложены формулы для оценки значений нелинейных параметров по минимальному числу дискретных значений сигнала, в том числе для многокомпонентных сигналов в виде суммы экспоненциальных, гауссовских или дробно-степенных функций. Методом статистического моделирования исследованы погрешности различных алгоритмов измерения частоты по короткой реализации гармонического сигнала и оценена погрешность корреляционного метода измерений доплеровской частоты в ультразвуковом доплеровском измерителе скорости и расхода двухфазных потоков.
5. Исследованы градуировочные характеристики амплитудного СВЧ влагомера при измерениях влажности 21 вида песков и построена обобщенная градуировочная характеристика. При использовании этой характеристики плотность вероятности случайной погрешности измерений влажности предложено описывать распределением Иордана со среднеквадрати-ческим отклонением, линейно зависящем от влажности.
6. Исследована интегральная модель амплитудного СВЧ влагомера, которая учитывает неоднородность распределения влаги по глубине материала. Для этой модели с помощью программы приближения функций найдено оптимальное описание для экспериментальной функции пространственной чувствительности влагомера £,(х) во влажных материалах в виде экспоненциальной зависимости. Экспериментальным и расчетным путем исследована зависимость показателя степени экспоненты от параметров прибора и исследуемого материала. В сухих песках функция пространственной чувствительности прибора к неоднородностям материала описывается в виде суммы двух экспонент, начальные значения параметры которых уточнены с помощью программы оптимизации параметров. С использованием интегральной модели прибора предложены методы измерения среднего радиуса микрокапилляров в древесине и глубины залегания тонкого неоднородного слоя в диэлектрической пластине.
7. На основе метода Хоу разработаны метод и программа расчета влияния неоднородного распределения влаги по глубине материала на гра-дуировочную характеристику амплитудного СВЧ влагомера и выполнен расчет этих характеристик для случаев однородного и неоднородных распределений влаги в песке.
8. Исследованы метрологические характеристики резонаторной системы.
СВЧ измерений диэлектрической проницаемости 8 различных материалов и сред: влияние времени прогрева на измеряемое значение резонансной частоты и числа усреднений на погрешность измерения Предложен метод исследования разброса значений случайной погрешности измерений 8 на основе экспериментальных измерений погрешностей резонансной частоты и геометрических размеров образца, использования метода статистического моделирования и разработанных в диссертации программ генерирования случайных величин, идентификации формы гистограмм и анализа погрешностей косвенных измерений. С помощью этого метода выполнен статистический анализ разброса случайной погрешности измерения диэлектрической проницаемости стекла. Экспериментально исследованы значения е различных материалов при комнатной температуре, в том числе влажных песков и древесины, а также температурные зависимости е (7) для зерна и двух видов древесины. При аппроксимации зависимости 8 песка от влажности использована программа оптимизации параметров.
9. Методом статистического моделирования исследованы погрешности ультразвукового измерителя волновых параметров стекающих пленок жидкости и погрешности интегрального метода измерения параметров мелких пузырьков газа в акустозондовой системе диагностики двухфазных потоков. Для последней системы предложен новый метод оценки среднего размера крупных пузырьков и среднеквадратичного разброса этой величины по измеренным статистическим характеристикам распределения времени взаимодействия пузырьков с чувствительным элементов и на основе сравнения результатов расчета с данными фотографического метода оценена погрешность измерения этих параметров. С использованием предложенных в диссертации формул и программы оптимизации параметров найдены оценки параметров при описании экспериментальной зависимости относительной скорости стекания пленки жидкости в вертикальной трубе от пленочного числа Рейнольдса дробно-степенным полиномом.
10. Выполнена оценка систематической погрешности акустоимпеданс-ного измерителя газосодержания двухфазных потоков на основе анализа гидродинамической модели прибора и предложена формула для нелинейной коррекции результатов измерений газои паросодержания двухфазных потоков, которая в отличии от известной эмпирической формулы является более точной и учитывает возможные изменения температуры и вида исследуемой среды.
Практическая ценность диссертационной работы:
1. С использованием предложенных в диссертации методов и алгоритмов разработан ряд программных средств, которые позволяют решать широкий класс задач прикладной статистики при наличии негауссовских распределений случайных величин и, в частности, задачу оценки случайных погрешностей измерений различных измерительных приборов.
2. Получены оценки случайных погрешностей измерений резонаторной системы СВЧ измерений диэлектрической проницаемости твёрдых, сыпучих и жидких сред, ультразвукового спектрально-корреляционного измерителя волновых характеристик стекающих пленок жидкости, акустозондовой системы контроля газои паросодержания двухфазных потоков, амплитудного СВЧ измерителя влажности песков.
3. Разработаны методы и программное обеспечение для решения задач приближения монотонных ограниченных функций, нелинейного оценивания параметров, анализа статистических характеристик получаемых оценок параметров и предложены формулы для начальной оценки параметров некоторых многокомпонентных и иных функций известного вида.
4. Предложен новый метод разделения во временном процессе неизвестного нелинейного тренда и шума с неизвестным законом распределения с оптимальным выбором величины интервала сглаживания. Для этого метода разработано программное обеспечение и на тестовом примере исследованы погрешности выделения тренда из шума и оценок параметров шума.
5. Для интегральной модели влагомера найдена оптимальная аппроксимация для функции пространственной чувствительности прибора. Экспериментальным и расчетным путем исследованы параметры этой функции. На основе интегральной модели предложены методы измерения среднего радиуса микрокапилляров в древесине и глубины залегания тонкого неоднородного слоя в диэлектрической пластине.
6. Предложен метод и разработано программное обеспечение для расчета влияния неоднородного распределения влаги по глубине материала на градуировочные характеристики амплитудного СВЧ влагомера. В основе расчета лежит разработанная в диссертации на основе метода Хоу электродинамическая модель влагомера.
7. Предложена формула для нелинейной коррекции результатов измерений газои паросодержания двухфазных потоков акустоимпедансным измерителем, которая в отличии от известной эмпирической формулы является более точной и учитывает возможные изменения температуры и вида исследуемой среды.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечена применением классических методов теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики и подтверждена компьютерным моделированием предлагаемых методов обработки результатов измерений и результатами практического использования разработанных методов и программ.
Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнялась в соответствии с тематикой важнейших научно-исследовательских работ по линии Минвуза СССР (научно-техническая проблема № 0.70.03 на 1980;85 гг. «Исследование электромагнитных явлений в диэлектрических волноводах, резонаторах и интегральных схемах и создание на их основе широкого класса радиоэлектронных элементов, узлов и систем СВЧ и оптического диапазона волн»), Минвуза РСФСР (комплексная целевая программа «Датчики»), госбюджетной научно-исследовательской работы на 1986;91 гг. «Автоматизация проектирования элементов и устройств функциональной и интегральной электроники ВЧ и СВЧ диапазонов (идентификация, расчет, измерение и контроль)» (номер госрегистрации 01.86.35 605), а также в соответствии с планом Нижегородского учебно-научного центра «Физические технологии в машиноведении» в рамках Федеральной целевой программы «Интеграция» (1997;2001 гг.).
Теоретические и практические результаты, изложенные в диссертации, использованы при выполнении научно-исследовательской работы «Нелинейное оценивание параметров и приближение сигналов, функций, экспериментальных и расчетных зависимостей (разработка методов, программного обеспечения и приложения)», проводимой автором по заказ-наряду Министерства образования Российской Федерации в 1998;2002 гг.
Разработанные методы оценки случайных погрешностей измерительных приборов использованы в ЦНТУ «Нуклид» (г. Н. Новгород) для оценки погрешностей ультразвуковых приборов контроля параметров двухфазных потоков (спектрально-корреляционного измерителя волновых характеристик стекающих пленок жидкости, акустозондового и акустоимпедансного измерителей паросодержания и доплеровского измерителя скорости и расхода двухфазных потоков), в СКБ радиоизмерительной аппаратуры (г. Н. Новгород) для оценки погрешностей приборов контроля радиоволновых параметров и в ОАО АНПП «ТЕМП-АВИА» (г. Арзамас Нижегородской области) для оценки погрешностей датчиков линейных и угловых ускорений и гироинклинометров.
Методы статистического анализа измерительных данных при наличии негауссовских распределений СВ и нелинейной аппроксимации экспериментальных зависимостей использованы аспирантами и сотрудниками радиофизического факультета Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского в научных исследованиях в рамках Федеральной целевой программы «Интеграция» (учебно-научный центр «Фундаментальная радиофизика» — проект 0570), грантов РФФИ «Ведущие научные школы» №№ 96−15−96 718, 96−15−96 722, 00−15−96 619, 00−15−96 620, гранта РФФИ № 01−02−16 666, программы НАТО «Наука для мира» (проект S? P-973 799 «Semiconductors»), а также сотрудниками и аспирантами факультета прикладной математики и информатики и факультета радиотехники, электроники и физики Новосибирского государственного технического университета, факультета автоматики и информационной техники Пензенского государственного университета, кафедры физики Ковровской государственной технологической академии.
Результаты диссертационной работы обобщены в трех монографиях и учебном пособии и используются в учебном процессе на радиофизическом факультете Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, на кафедре «Информационно-измерительная техника» Пензенского государственного университета, на факультете радиотехники, электроники и физики и на факультете прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета, на кафедре «Компьютерные технологии в проектировании и производстве» Нижегородского государственного технического университета (НГТУ), а также в лекционных курсах и лабораторном практикуме по дисциплинам «Диагностика и мониторинг физико-технических систем» и «Методы научных исследований» на физико-техническом факультете НГТУ.
Некоторые полученные результаты по теории расщепления сигналов вошли в учебное пособие [46] и использовались автором пособия в учебном процессе в Ленинградской Академии связи им. С. М. Буденного.
Результаты внедрения подтверждены соответствующими документами.
На защиту выносятся:
1. Метод генерирования выборок СВ с разными законами распределения и заданным коэффициентом корреляции.
2. Алгоритмы и программы для решения задач идентификации формы гистограмм, суммирования аддитивных погрешностей измерений и анализа погрешностей косвенных измерений.
3. Метод интервального оценивания параметров распределения по выборке значений СВ и результаты его исследования.
4. Метод и программа определения статистических характеристик нелинейных оценок параметров квазидетерминированных сигналов или зависимостей.
5. Результаты исследования погрешности разностного метода оценки среднего квадратического отклонения белого шума во временном процессе при наличии неизвестного нелинейного тренда;
6. Метод разделения составляющих временного ряда (тренда и шума) с оптимальным выбором величины интервала сглаживания, программа для решения этой задачи и результаты исследования погрешностей выделения тренда и оценок параметров шума.
7. Приближённые аналитические формулы для функции распределения в случае показательно-степенного распределения и модифицированного распределения Вейбулла и результаты решения на основе этих формул ряда статистических задач.
8. Аналитические формулы для расчета статистических параметров и доверительных интервалов в случае распределения Иордана.
9. Формулы для расчёта оптимального числа интервалов группирования данных при построении гистограмм для различных распределений СВ.
10. Программы приближения монотонных ограниченных функций и оптимизации параметров, формулы для начальной оценки параметров некоторых многокомпонентных сигналов и результаты применения этих программ и формул для аппроксимации некоторых экспериментальных зависимостей между физическими величинами и характеристик измерительных приборов.
11. Метод оценки параметров распределения размеров крупных пузырьков в двухфазном потоке для акустозондовой системы контроля газосодержания.
12. Метод, программа и результаты оценки случайной погрешности измерений диэлектрической проницаемости среды при использовании резо-наторного СВЧ измерителя.
13. Результаты оценки случайных погрешностей измерений амплитудного СВЧ влагомера при измерении влажности песков, спектрально-корреляционного ультразвукового измерителя волновых характеристик стекающих пленок жидкости, акустозондового измерителя параметров мелких пузырьков в двухфазном потоке.
14. Результаты исследования погрешностей шести методов оценки частоты по короткой реализации гармонических сигналов, в том числе погрешности корреляционного метода оценки частоты в доплеровском ультразвуковом измерителе скорости и расхода двухфазных потоков.
15. Метод, программа и результаты расчета влияния неоднородного распределения влаги в конкретном материале (песке) на градуировочную характеристику амплитудного СВЧ влагомера.
16. Нелинейный алгоритм коррекции результатов измерений газои па-росодержания двухфазных потоков акустоимпедансным измерителем.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы и приложений. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы её цель, практическая значимость, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.
Основные результаты диссертации опубликованы в 132 работах, в том числе в трех научных монографиях [126,264,298], одном учебном пособии [125], 55 статьях и 73 тезисах докладов на конференциях.
