О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами

Во многих разделах математики важную роль играют задачи об аппроксимации более сложных объектов менее сложными. Для решения таких задач часто оказывается необходимым знание методов и результатов теории приближений, центральное место в которой занимают теории приближения функций посредством алгебраических и тригонометрических полиномов, рациональных дробей (соответственно полиномиальная и рациональная теория приближений). Бурное развитие математики в XX веке привело к возникновению новых задач, для решения которых оказалось необходимым изучение новых нетрадиционных методов приближения функций и множеств. Настоящая работа посвящена исследованию некоторых из этих методов, связанных с комплексными полиномами: приближению функций посредством наипростейших дробей и приближению жорда-новых кривых посредством лемнискат в хаусдорфовой метрике.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [2527]. Работа [26] написана в соавторстве с П. А. Бородиным. Доказательство теоремы 1 этой работы (в диссертации это теорема 1.4) получено ее авторами независимо друг от друга, теорема 2 этой работы (теорема 1.5 диссертации) принадлежит О. Н. Косухину. Остальные основные результаты диссертации получены и опубликованы ее автором без соавторства. Основные результаты диссертации также опубликованы в Трудах математического центра имени Н. И. Лобачевского (см. [28−30]).

Работа состоит из оглавления, введения, трех глав и списка цитированной литературы из 30 названий. В первой главе рассматриваются рациональные функции вида Rn (z) = j[z — aj), где aj (полюсы функции Rn (z)) — некоторые точки комплексной плоскости С — не обязательно различные. По предложению Е. П. Долженко такая функция названа наипростейшей дробью, число п — ее порядком. Класс всех наипростейших дробей порядка не выше п обозначим SRn. Очевидно, Rn (z) = (logP (z))' = P'(z)/P (z), где P (z) = C (z — a).(z — an) — полином степени п (С = const ф 0). Поэтому наипростейшую дробь также называют логарифмической производной многочлена.

Внимание к логарифмическим производным многочленов было обращено работами А.Дж.Макинтайра и У. Х. Дж.Фукса (1940 г.), А. А. Гончара (1955 г.) и Е. П. Долженко (1960 г.), посвященными рациональным аппроксимациям и решению некоторых экстремальных задач. Это направление исследований продолжает развиваться и внастоящее время.

Логарифмические производные многочленов имеют и простой физический смысл: Rn (z) представляет собой напряженность плоского электростатического поля в точке z, созданного положительными единичными зарядами, расположенными в точках a, j — при этом, если в некоторой точке, а находятся ровно к точек aj, то, соответственно, в этой точке расположен заряд величины к.

В работе [18] А.Дж.Макинтайру и У. Х. Дж.Фуксу, опираясь на известную лемму Картана, для любого натурального п удалось доказать ряд оценок сверху на максимум модуля логарифимической производной многочлена от z в плоскости С с выброшенным из нее набором из не более чем п «малых» в некотором смысле кругов. В частности, им удалось показать, что для любого набора комплексных чисел а, а, 2, ., ап и любого е > 0 существует такой набор из не более чем п кругов {Bf.}k с радиусами Vf. соответственно, что Ylk rk < 2е и z ~ аз? i- ^ j=i I «J I для всех г€С U f-Bk. Сами авторы предположили, что логарифм в пра.

TL —(1 + log п) может быть опущен, и? вой части неравенства н г —.

• t Z~a3 j = l J даже доказали это утверждение в частном случае когда все лежат на одной прямой. Вопрос о справедливости этого утверждения в случае произвольного расположения {aj} оставался открытым вплоть до недавнего времени. Его удалось решить в работе [1] Дж.М. Андерсону и В. Я. Эйдерману, показав, что в этом случае точной по порядку относительно ?? будет оценка п.

Е— — V/bg (^+T)) где С = const > 0. ?

Другим примером экстремальной задачи для логарифмической производной многочлена является задача, возникшая в теории дифференциальных уравнений и впервые поставленная Е. А. Гориным в 1962 году ([6]). Пусть d{L, Rn) — обычное (евклидово) расстояние между множеством {a, j} всех полюсов функции Rn G SRn и заданным множеством L С С, a dn (L) — infimum величин d (L, Rn) по всем Rn Е SRn, для которых Rn (z) < 1 при z € L. Задача состоит в том, чтобы отыскать как можно более точную оценку снизу на величины dn (L) с ростом п. В случае, когда L совпадает с действительной осью R отысканием таких оценок в разное время занимались Е. А. Горин (1962), Е. Г. Николаев (1965), А. О. Гельфонд (1966), В. Э. Кацнельсон (1967). Наибольших успехов в решении этой трудной задачи добился В. И. Данченко (1991, [7]), который не только впервые доказал стремление величин dn (L) к нулю с ростом п, но и нашел точный порядок такого стремления в случаях, когда г т? г ^ / I I 1 1 lQg lQg 71 ^ 1 s о 1оё 1оё 71 L = R и L = С := {z: z = 1): — • —-< dn® < 2 • —-,.

9 log n log n.

1 log Tl lc>S ^.

— —< dn© < 2 —для достаточно больших п. В случае других.

4 п п множеств L, отличных от прямых и окружностей комплексной плоскости, вопрос об оценке величины dn (L) остается открытым.

Первая работа, касающаяся приближения непрерывных функций посредством наипростейших дробей, опубликована в 1999 году В. И. и Д. Я. Данченко [8]. Эта работа положила начало интенсивному изучению ап-проксимационных свойств наипростейших дробей в научной школе Е. П. Долженко.

При условии, что компакт К не разбивает плоскости С, В.И. и Д. Я. Данченко доказали возможность равномерного приближения посредством наипростейших дробей (с любой точностью) каждой функции / из класса СА (К) непрерывных на К и аналитических во внутренних точках К функций. Для каждой такой функции в [8] указан способ, с помощью которого можно построить последовательность Rn (z) наипростейших дробей, равномерно сходящуюся к / на К. При этом, начиная с достаточно больших п, все полюсы функции Rn (z) лежат вне произвольного фиксированного круга. Эта теорема является аналогом известной теоремы С.Н. Мер-геляна о полиномиальных приближениях и имеет качественный характер. Возникает естественный вопрос об оценке скорости наилучшего равномерного приближения посредством наипростейших дробей в зависимости от свойств компакта К и приближаемой функции /.

В первом параграфе главы исследуется связь между скоростью убывания к 0 величин /?п (/, К) при п —> со и свойствами приближаемой функции f (z) на компактах К специального вида, введенных в [8]. Обозначим через К (Ъ, d) класс всех компактов К С С со связным дополнением в С, для которых существует такая точка b? К и такое число d > 0, что любую точку z? К можно соединить с b некоторой спрямляемой кривой l (b, z) С К длины не более d.

Обозначим еще через А (К) семейство функций /, каждая из которых аналитична в некоторой окрестности U (f) компакта К, а через СЛ (К) — семейство всех функций f (z), непрерывных на К и аналитических во внутренних точках К. Для К Е K (b, d) и / Е СА (К) в [8] введена в рассмотрение функция a (z) = a (f-z) := ///© гДе интегрирование ведется по любому спрямляемому пути l (b, z) С К, ведущему из b в z. Очевидно, что интеграл в правой части последнего неравенства не зависит от выбора пути l (b, z), а функция a (z) принадлежит классу СА (К).

Для любого компакта К С С и функции / Е С (К) обозначим через u (f, К] 5) := sup {f (z + Az) — f (z): z, z + Az E К, |Az < равномерный модуль непрерывности функции / на этом компакте. Для любых чисел к = 0,1,2,. и /3 Е (0,1] определим Lipк+^(К) как класс всех функций / Е С (К), имеющих непрерывную k-ю производную на К (считаем = /), для которых найдется такая константа М = М (К, /, к, /3) > О, что неравенство cu (f^kK-S) < М выполнено для всех S > 0. При всех к = 0,1,2,. обозначим также через Zк (К) класс всех непрерывных б на К, имеющих непрерывную на нем к-ю производную для которой неравенство f^kz-bh) — 2f^kz)—f^(z—h) < Ch выполнено с некоторой положительной константой С = С (/, к) для всех h > 0 и z+h, z, z — h G К.

Для любого d > 0 положим Д^ := [—d, d] и Da '•= {z: |z| < d}.

Известные теоремы Д. Джексона ([12], [13]) дают оценку величин наименьших равномерных уклонений En (f, K) многочленов порядка не выше п от функции / 6 СА (К) в случае, когда К — отрезок Л,/ или замкнутый круг Da, через ее модуль непрерывности u (f, K-d). Эти теоремы относятся к так называемым прямым теоремам теории приближений. Н. П. Корнейчук (см. [17], Гл. 6, § 6.2) уточнил эти оценки, отыскав точные константы, входящие в них. Именно, для таких К он показал, что En (f, K) < а>(/, К- 7rd/(n + 1)) (п = 1,2,.). В случае аппроксимации наипростейшими дробями имеют место аналогичные оценки.

Теорема 1.1. Пусть d > 0- К = Ad или К = Dd, / G СА{К). Тогда find, к) < c (d\f\) (и (/, ff-^) + ll/ll2), где С (г) = 4(1 + г) е2г, п = 1,2,.

Замечание. Неравенство вида pn (f, K) < C (d,\f\)uj (f, K-7rd/n) не может быть справедливо для любой функции / € СА (К), так как уже для / = const ф 0 имеем u (f, K-itd/n) = 0 и в то же время р&bdquo-(/, К) ф 0. Поэтому появление в правой части неравенства слагаемого (nd/n)\f\2 естественно.

Знаменитая теорема П. Л. Чебышева утверждает для произвольной непрерывной на отрезке функции / существование и единственность алгебраического полинома заданной степени п наилучшего равномерного на этом отрезке приближения. В теории равномерного приближения посредством наипростейших дробей аналогичное утверждение неверно: даже в случае, когда компакт К представляет собой отрезок или круг, а / 6 СА{К), наипростейшая дробь порядка не выше п наилучшего равномерного приближения для функции / на К может быть нееднпственна для некоторых п. Соответствующие примеры функций / были впервые построены П. А. Бородиным — учеником Е. П. Долженко. Существование же наипростейшей дроби наилучшего равномерного приближения в случае пролзвольного компакта К С Си произвольной функции /? СЛ (К) легко следует из компактности в метрике п-мерной сферы Римана С" множества Rn{K, М) {(ai, a2,., a"): || Rn{z) = J2j=i l/(z ~ <*j)\c (K) < М} С С" полюсов всех наипростейших дробей, ограниченных по модулю на К константой М = 2 ||/|| > 0 и непрерывности уклонения ||/?n — f\c (K) как функции от полюсов (aj, ., ап) в этой метрике (считаем здесь l/(z — ос) = 0). Несмотря на серьезные различия, как показывает следующая теорема, аппроксимации наипростейшими дробями и аппроксимации полиномами на компактах из K (b, d) тесно связаны между собой.

Теорема 1.2. Пусть К е K (b, d), f Е СА (К), a{z) = a{fz). Тогда Ci{d\f\)pn+i{f, К) < En{fea, K) < C2(d\f\)Pn+l (f, K), где C® = 1/(2(1 + r) er), C2® = (1 + 2rer) er, n = 0,1,2,.

Теорема 1.2 позволяет получить целый ряд прямых и обратных теорем теории аппроксимации наипростейшими дробями, аналогичных известным теоремам из теории полиномиальных аппроксимаций.

Теоремы Д. Джексона (см. [13]) для гладких на компакте К = Д,/ или К = Dd функций утверждают, что для любого натурального к, некоторой положительной константы С = C (d, k), произвольной функции / е.

СА (К). имеющей непрерывную на К производную порядка к, и люu (fW, K-d/(n-k)) бого п > к выполнено неравенство En (f, К) < С ¦ ——-. пк.

Следствие 1.2.1. Пусть d > О, К = Ad или К = Dd, /, f{k) G СА (К). Тогда гдеС = С (d, к, ||Л|, ||/<�"||,., ||/С>||) > 0, п > к + 2.

С.Н. Бернштейн и А. Зигмунд (см. [13]) соответственно доказали, что справедливость неравенства D^) < С/пк+Р (к = 0,1,2,-., 6.

0,1])при любом натуральном п с некоторой константой С = C (d, k,(3) > О является необходимым и достаточным условием для принадлежности функции / классу Lipпри /3 6 (0,1) и классу Zk (D.

Следствие 1.2.2. Функция / 6 CA (D, i) тогда и только тогда принадлежит классу Lpk+P (Dd) при (3 G (0,1), и классу Zk (Dd) при (3 = 1, когда условие pn (f, K) < C/nk+P выполнено при любом натуральном п с некоторой константой С = C (f, d, k,{3) > 0..

Следствие 1.2.3. Для того, чтобы для функции f Е С (Д,/) при каждом натуральном п имело место неравенство pn (f, K) < C/nk+lj с некоторой константой С = C (f, d, k,/3) > 0 необходимо и достаточно, чтобы функция f (t) := f (dcost) принадлежала классу при.

3 е (0,1) — и классу Zk (Ad) при (3 = 1..

В.К.Дзядык доказал (см. [13]), что для того, чтобы заданная функция f (x) при некотором целом неотрицательном к принадлеэюала классу Lip*+^(Ad) (классу Zk (Ad))> где 0 < (3 < 1, необходимо и достаточно, чтобы при каждом натуральном п > к нашелся такой алгебраический многочлен Pn (z) степени п, чтобы при всех х 6 Aj выполнялось неравенство |f (x) — Рп (х)| < А ¦ rk+P (x) (|f{x) — Рп (х)| < А ¦ rk+x)), где, А = A (f, d, k,(3) (А = A (f, d, k)) — постоянная, которая не зависит ни от х, ни от п, и rn (x) := Jd2 — х2/п 4−1 /п2..

Следствие 1.2.4. Для того, чтобы заданная функция f (x) при некотором ц2лом неотрицательном к принадлеэюала классу Lip*" +^(Af/) (классу Zk (Ad)), где 0 < /3 < 1, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого числа N > 0 при каоюдом натуральном п > N нашлась наипростейшая дробь Rn (z) порядка не выше п такая, чтобы при всех х 6 А,/ выполнялось неравенство.

I/O*) — < Arkn^(x) (I/O*) — Rn (х) <�АГь+1(х)), где, А = A (f, d, k,(3) > 0 (А = A (f, d, k) > 0) — постоянная, которая не зависит ни от х, ни от п, и rn (x) := y/d2 — х2/п + 1/п2..

Пусть К — произвольный континуум на С, функция.

< 1}, причем <�р (оо) = оо, lim^^oc Lp (z)/z > 0. При R > 1 обозначим через Гц прообраз окружности Cr {z: z = R} при этом отображении, а через Gr — внутренность кривой Гц. По теореме Уолша, для функции / е СЛ (К) справедливо неравенство limsupn⁰⁰ y/En (f, К) < 1 /R, если / аналитически продолжается с К на Gr (R > 1). Аналогичный результат верен и для аппроксимации наипростейшими дробями..

Теорема 1.3. Пусть К € K (b, d), функция f: К С определена на компакте К и мероморфна в его внутренних точках. При R > 1 неравенство limsup^oo y/pn{f, К) < 1/R имеет место тогда и только тогда, когда f (z) мероморфно продолэ/сается с К в Gr как логарифши-ческая производная Ff (z)/F (z) некоторой функции F{z), аналитической в Gr..

Второй параграф первой главы посвящен изучению аппроксимативных свойств наипростейших дробей на неограниченных замкнутых жор-дановых кривых L С С, то есть кривых, допускающих параметризацию <р: R I—> L инъективной функцией (р (х), определенной и непрерывной на действительной оси R, (р (х) —"• оо при х —> оо. Отметим, что для таких кривых построение содержательной теории равномерных полиномиальных аппроксимаций невозможно: любая функция, которую можно с любой точностью приблизить на этой кривой в равномерной норме полиномами, сама является полиномом. Как будет показано ниже, в отличае от теории равномерных полиномиальных аппроксимаций, теория равномерных аппроксимаций наипростейшими дробями на таких кривых весьма содержательна. Прежде всего интересен вопрос о полном описании класса SR{L) всех функций, допускающих на L равномерное приближение наипростейшими дробями с любой точностью. Обозначим через Cq (L) пространство всех таких комплекснозначных функций f (z), определенных и непрерывных на неограниченной жордановой кривой L С С, что f (z) —у 0 при z —> сю, z? L. Очевидно, все наипростейшие дроби, не имеющие полюсов на L, принадлежат этому пространству. В силу полноты пространства Co (L) относительно равномерной нормы, получаем включение SR (L) С Cq (L). Как показывает следующая теорема, в случае L — R имеет место и равенство SR® = Co®..

Теорема 1.4. Для любого и > 0 каждая функция из пространства Co® может быть с любой точностью равномерно па R приближена наипростейшими дробями с полюсами вне полосы IIW = {z: |Iin, z| < и}..

Следствие 1.4.1. Для любой прямой I € С каоюдая функция f{z), непрерывная на I и стремящаяся к нулю при z —> оо, z? I, может быть с любой точностью равномерно на I приближена наипростейшими дробями..

Следствие 1.4.2. Любая действительнозначная функция из Co® может быть с любой точностью равномерно на R приближена действительнозначными наипростейшими дробями..

Теорема 1.5. Для любого неразвернутого угла (то есть двух лучей с общей вершиной, не принадлежащих одной прямой) Л С С найдется функция f € C{h), f (z) —у 0 при z —> оо, z G Л, которая не моо/сет быть с любой точностью равномерно на Л приближена наипростейшими дробями..

Попутно из доказательства теоремы 1.5 следует невозможность сущеп 1 ствования таких наипростейших дробей rn (z) = ^^-, что ||г"||^'(д) = j=1 0 йп3 max{|rn (2:)|: ?? А} —> 0 при п —У оо и при каждом п хотя бы один из полюсов anj лежит внутри угла Л (0 < arg anj < а) и ограничен по модулю произвольным фиксированным числом М, не зависящим от п..

Третьй параграф первой главы посвящен аппроксимационным свойствам наипростейших дробей Паде..

В последние десятилетия возрос интерес к классическим аппроксимациям Падё («дробям Падё»), их обобщениям и приложениям. Изучение этих объектов было начато еще О. Коши, К. Якоби, П. Л. Чебышевым, Т. Стильтьесом, А. А. Марковым и другими в их работах по цепным дробям. Резкое повышение интереса к дробям Падё связано с развитием вычислительной математики, теоретической и экспериментальной физики, и в значительной степени — вообще с возрастанием потребности в обработке экспериментальных данных. Наиболее существенные теоретические результаты, касающиеся классических дробей Падё, в последние десятилетия получены А. А. Гончаром и его учениками, Е. Н. Никишиным и его учениками. В настоящей работе исследуются так называемые наипростейшие дроби Падё (или, что-то же, наипростейшие рациональные дифференциалы аналитических функций). Это направление теории дробей Падё в 1999 г. сформулировал Е. П. Долженко. Оказалось, что наипростейшие дроби Падё в сравнении с классическими дробями Падё обладают рядом замечательных особенностей..

Классические (одноточечные) аппроксимации Паде представляют собой естественное обобщение полиномов Тейлора. Именно, пусть / ~ со + cz + C2Z2 +. — некоторый формальный степенной ряд с вообще говоря комплексными коэффициентами. Напомним, что рациональная функция 7гтп (/, z) = p (z)/q (z) со степенью числителя не выше п и степенью знаменателя не выше т называется дробью Паде (аппроксимацией Паде) порядка (n, m) для этого степенного ряда, если в формальном разложении разности q (z)f (z) — p (z) в степенной ряд с центром в точке z = О коэффициенты с номерами от к = 0 до к = п + т равны 0. Такое определение рациональной функции тгпт (f, z) наилучшего локального приближения (которая существует всегда и при том только одна) связано с тем, что задача об отыскании рациональной функции Rn, m (z) степени не выше (n, m), при которой формальный степенной ряд для f (z) — Rn, m (z) имеет нулевыми коэффициенты с номерами от 0 до п + га, не всегда разрешима..

При п > 1 наипростейшим рациональным дифференциалом порядка п — 1 функции f (z) в точке Ь, в некоторой односвязной окрестности U которой f (z) однозначна и аналитична, или наипростейшей дробью Па-де n-ого порядка функции f (z) в точке 6, назовем наипростейшую дробь Rn{f, b- •) G SRn со свойством: f (z) — Лп (/, b-z) = 0((z — b) n) при z —b. Как показывает следующая теорема, в отличае от классических аппроксимаций Паде, такой подход к определению наипростейших дробей Паде всегда оправдан..

Как и ранее, для функции f (z) в окрестности точки b рассмотрим функцию a (z) = a (f]z) := /(С)^С> гДе интегрирование ведется по любому спрямляемому пути в некоторой односвязной окрестности точки Ь..

Теорема 1.6. Дробь RTl (f, b-z) существует, единственна и совпадает с логарифмической производной частичной суммы — b) k ряда Тейлора функции ea^z.

Замечание. Существование и единственность наипростейшей дроби Паде Rn (f, b z) была независимо доказана другими методами В.И. и Д. Я. Данченко в работе [9]..

Представляют естественный интерес вопросы о нахождении области G (f) сходимости последовательности дробей {Rn (f, bz)} к приближаемой функции / и об оценке скорости такой сходимости с ростом п. Как будет показано в теореме 1.7, область G (f) вообще говоря шире, чем круг сходимости ряда Тейлора для функции /, а последовательность {/?м (/, 6- z)} сходится к / в точках G (f) со скоростью геометрической прогрессии..

Отметим здесь, что круг сходимости ряда Тейлора функции сп совпадает с соответствующим кругом сходимости для функции fca — так как (еа)' = fen. Обозначим радиус этого круга сходимости через R. Внутрь круга В := {z: z — b < R} из окрестности точки b функция / аналитически (или мероморфно) продолжается как логарифмическая производная от функции еа..

Теорема 1.7. Пусть функция f аналитична в некоторой окрестности точки b G С, положительное число R таково, что ряд Тейлора функции еа^ с центром в точке b сходится на круге {z: jz — b < R}, г = const 6 (О, Л). Тогда для произвольного компакта Е С {z : — b < г}, не содержащего полюсов функции f, имеет место неравенство.

Hmsup d\Rn{f, Ь- •)-/(') Wc (E) < r/R..

11—too *.

Также в этом параграфе приводятся оценки сверху на улонения наипростейших дробей Паде от функций / из класса Харди Н в точках единичного круга D..

Вторая глава состоит из трех параграфов. В ней даются оценки сверху наименьших уклонений в метрике Хаусдорфа заданного замкнутого жор-данова контура Г в комплексной плоскости С от лемнискат, порожденных многочленами P (z) заданной степени п, в зависимости от метрических свойств этого контура. При этом предполагается, что приближающие лемнискаты являются замкнутыми жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя. Принципиальная возможность сколь угодно хорошего приближения жордановых контуров такими лемнискатами в этой метрике доказана Д. Гильбертом в 1897 г. (см. [4]). Естественно возникает вопрос о количественной оценке такого приближения. Этот вопрос неоднократно ставил Е. П. Долженко..

Отметим здесь, что теория приближений в хаусдорфовой метрике, порожденной метрикой Евклида, уже нашла свое приложение в математических методах обработки изображений (см., например, работу Б. Сендова [21]). Представляет интерес и теория приближений функций в метрике Хаусдорфа, порожденной метрикой Минковского. Многие важные теоремы этой теории получены Е. П. Долженко и Е. А. Севастьяновым (1975;1978 гг.), а также А. И. Ермаковым (1980 г.)..

В силу теорем Римана и Каратеодори существует единственное конформное и однолистное отображение w = ф (г) внешности Gy кривой Г на внешность Gc единичной окружности С := {w: |u-| = 1} со свойствами: ф (оо) = оо, ф'(оо) > 0, отображение w = продолжается до гомеоморфизма замыканий Gy и Gc областей Gt и GcПоложим (f (w) := w? Gc), f (9) ¦¦= v (eie) (в EH). Пусть, А и В — компакты на С, рн (А, В) — хаусдсрфово расстояние между ними: рн (А, В) := infje:}, где инфимум берется по всем таким г > 0, что множества, А и В находятся в евклидовых^{-окрестностях} друг друга. Через р (А, В) обозначим обычное (евклидово) расстояние между, А и В: р (А, В) := inf{|zi — zi|: z? A, z.

Пусть Pn (z) — многочлен степени п переменного z, г = const > О, L (Pn, r) := {z: = г} — r-ая лемниската, порожденная многочленом Рп (то есть его r-ая линия уровня), Нп (Т) := inf{/0//(F, L (Pn: г)): Pn, r}, где Рп пробегает все многочлены степени n, а г — положительные числа, причем учитываются только те Рп и г, для которых L (Pn, r) является замкнутой жордановой кривой, содержащей Г внутри себя..

Пусть g (z, ?) — функция Грина для области Gr с полюсом? ? GrКак известно, g (z, оо) = =: g (z). Ниже uj (F, E-, S) := sup{|F (z') —.

F (z"): z', z"? E, |z' — z" < — модуль непрерывности функции F (z) на множестве Е С С (5 > 0). Если множество Е есть вся область определения функции F (z), положим uj (F- <5) = oj (F, Е-5)..

Положим Мп (Г) inf{max{^(z): z? L (Pn, r)}: Рп, г}, где Pn и г пробегают те же множества, что и выше при определении Нп (Т). Как показывает следующая лемма, величины Нп (Т) и МП (Г) тесно связаны между собой..

Лемма 2.1. Для произвольной замкнутой жордановой кривой Г и любого натурального числа п выполнены неравенства.

Нп (Г) < и (ср- - 1), МП (Г) < ш (дЯ"(Г))..

Для кривой Г и любого натурального п введем в рассмотрение многочлены Qn (z) и Фn (z). Положим Qn (z) := c~n (z — a)(z — «2). (z — an), где с = с (Г) — гармоническая емкость кривой Г (см. [5], Гл. VII, § 3), ctk '¦= У1ехР{(2k+ l) iri/n}). Через Фп (%) обозначим многочлен Фабера пой степени, то есть такой полином, что Фп (г) — ip1l (z) = 0(1/z) при 2 —> оо (см., например, [19], T. II, Гл. 5, § 4, п. 4.5)..

Первый параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин Мп (Г) в случае произвольных замкнутых жордановых кривых Г с С. Основным его результатом является.

Теорема 2.1. Пусть Г — замкнутая эюорданова кривая, g (z) = g (z, оо) — функция Грина с полюсом на бесконечности для внешности кривой Г. Тогда для любого натурального п найдутся такие полоэюи-телъные числа г = г{п) и Г2 = гг (п), что лемнискаты L (Qn, r) и £(Фп> г2) являются замкнутыми аналитическими жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя, и неравенство max{g (z): * G L (Qn, n)} < u{gd) + 2a- (p, CjH тт{ш^'Л2У ^ справедливо для любого d > cj (cp, C', ir/n), а неравенство max{g{z): г € L (ФП1 r2)} < u (gd) + W CJ™ millM²> ^ справедливо для таких d > lj ( , Сir/n), что второе слагаемое справа в этом неравенстве не превосходит первого. Отсюда при таких лее d имеем /&bdquo-ч / / ^ тг min{td (t/>-0>2}, M^n^wfejdJ+w^C—) у -1 ^ f.

Замечание. Указанные в теореме 2.1 условия справедливости неравенств не существенны при их практическом применении, поскольку наилучшие по порядку величин оценки получаются при d, определяемых из условия равенства между собой двух слагаемых справа в этих неравенствах — так как при d 0 первое слагаемое справа убывает к нулю, второе возрастает к +оо..

Следствие 2.1.1. Для любой замкнутой жордановой кривой Г имеет место равенство.

Мп{Г) = О (^(^CjTr/n)) (п оо-..

Замечание. Из следствия 2.1.1 вытекает, что для любой замкнутой жордановой кривой Г имеем МП (Г) —> 0 при п оо. По лемме получаем, что Нп (Г) —> 0 при п —^ оо. В этом и состоит упомянутый выше результат Д. Гильберта..

Следствие 2.1.2. Пусть Г — замкнутая жорданова кривая, функция ф удовлетворяет в Gr условию Lip, а (0 < а < I): ф (г') — ф (г") < Mz' — z" a для любых z', z" из Gr, М = const > 0. Тогда при 0 < а < 1 выполнено соотношение.

Мп (Г) = 0(с/(у>, Стг/п)) (п оо), где (3 = шах{а, 1/(3 — 2а)}, а при, а — 1.

Мп{Г) = О С- 7r/n)log (l/w (p, Стг/n))) (п оо)..

Второй параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин Мп (Г) в случае гладких и аналитических замкнутых жордановых кривых Г с С..

Теорзма 2.2. Пусть Г — гладкая замкнутая жорданова кривая, причем функции ф (г) и tp (w) непрерывно дифференцируемы в Gr и Gc соответственно, кроме того, для 5 > 0 arg /', RS) = О «U (f, R-d) = О при S — 0..

Тогда существуют такие числа Г = г (п) > 0 и г2 = r2(ii) > 0, что при п —У оо г: меют место равенства: max{g (z): z G L (Qn, ri)} = 0(l/n), max{g (z): z e Ь (Фп, г2)} = 0{l/n), так что (см. лемму 2.1).

Нп (Т) = 0{1/п), МП (Г) = 0(1/гг) (п оо). Следствие 2.2.1. Пусть Г — гладкая замкнутая э/сорданова кривая, угол наклона касательной 6(s) к которой как функция длины дуги s имеет модуль непрерывности u)(t), удовлетворяющий условию к t Js V Vbg (l/5)y при 5 —> 0 (5 > 0). Тогда при п —> оо имеют место равенства:.

Я"(Г) = 0(1/п), М"(Г) = 0(1/п)..

Теорема 2.3. Пусть Г — линия уровня функции Грина (jk (z) для оператора Лапласа во внешности некоторого континуума К С С со связным дополнением: Г = {z: дк (%) = А}- Л > 0. Тогда limsup у/Нп (Г) = limsup у/Мп (Т) < е~х..

71—ЮО П-> ОО.

Следствие 2.3.1. Для любой замкнутой аналитической жордановой кривой Г справедливо неравенство limsupn^oo у/Нп (Г) = Нтзири^оо у/Мп (Т) < 1..

В третьем параграфе второй главы доказана оценка снизу для величины М"(Г)..

Третья глава диссертации состоит из двух параграфов. В первом параграфе найдены достаточные в определенном смысле неулучшаемые условия на компакт комплексной плоскости для существования на нем почти всюду относительно произвольно заданной </>меры Хаусдорфа оценок типа Маркова-Бернштейна для производных заданного натурального порядка s от произвольных рациональных функций, не имеющих полюсов на этом компакте..

Для любого натурального п обозначим через Ип (К) класс всех рациональных функций R (z) степени не выше п, полюсы которых не лежат на компакте К комплексной плоскости С. Если при заданном натуральном s, некоторой точке zq Е К и любом натуральном п справедливо неравенство вида.

R{s)(zq)<.\R\c{k) какова бы ни была функция R Е Rn (if), где Л = Л (К, п, s, z{)) > 0, то будем говорить, что в точке zq выполняется неравенство типа Маркова-Бернштейна для s-ых производных рациональных функций. Легко видеть, что у любого компакта К с С найдутся точки zq € К, в которых не существует сценок такого вида ни при каких фиксированных п и s. Заметим, что в случае произвольного континуума К, не вырожденного в одну точку, любого натурального п и любого полинома Pn (z) степени не выше п неравенство указанного вида с R = Рп справедливо в каждой точке zq Е К с, А — А (К, n, s) < оо, уже не зависящим от zq — то есть в этом случае всегда имеется равномерая на К оценка для производной любого порядка s от каждого полинома (см. добавление С. Н. Мергеляна в [23], Раздел 1, п. 5)..

В работе [14, Гл. IV] Е. П. Долженко указал условие на строение континуума к вблизи точки zq Е к, достаточное для справедливости (уже не зависящей от п) оценки |.R (, s)(zo)| < (K, s, zq) • ||Я||с (ат) для любой рациональной функции R (z) с полюсами вне К. В частности, это условие выполняется для почти каждой (относительно плоской меры Лебега) точки zq Е К UjTj, если Ylj < оо, где через Го обозначена граница диаметра := сНатГо неограниченной компоненты связности Go дополнения к К в С, а через {Gj}j>i, {rj}j>i и {dj}j> 1 — конечные или бесконечные последовательности всех ограниченных компонент этого дополнения, их границ и диаметров соответственно. Отсюда следует (см. [15]), что для таких zq неравенство f^(zo) < (K, s, zq) • Н/Нс^) справедливо для любой функции /, принадлежащей банахову пространству R (К) всех функций, непрерывных на К и допускающих на нем сколь угодно точное равномерное приближение рациональными функциями..

В работе [10] В. И. Данченко нашел достаточно простой геометрический критерий на строение компакта К вблизи произвольной заданной его точки zq для того, чтобы в этой точке при заданном s существовала оценка типа Маркова-Бернштейна. Чтобы сформулировать этот критерий, наномним следующее определение..

При? Е С обозначим через /?(?, К) обычное евклидово расстояние от (до К. Следуя В. И. Данченко, для любой точки z € К введем в рассмотрение величину ал, (/Г, := sup{p (?, К) • — z~s~l: С, Е С/С}, называемую s-пористостыо компакта К в точке z (понятие s-пористости обобщает понятие обычной пористости множества в точке, введенное Е. П. Долженко в 1964 г.)..

Теорема, А (В.И.Данченко, [10]). Пусть К — произвольный компакт на С, zq Е К, s — натуральное число, s > 1. Тогда для существования в точке zq неравенства вида (1) для любой функции R Е Rn (/T), необходима и достаточна конечность величины us{K, Zq). При этом неравенство s)(^o)| < 50s! we (tf, 2b)(n + 1) • \R\C (K) выполнено для любой функции R Е Ип (К)..

В работе [10] для s = 1 и, а 6 (1,2] в случае, когда К представляет собой замкнутый единичный круг с выброшенной из него последовательностью попарно не пересекающихся открытых кругов Dj радиусов rj соответственно, также доказано, что условие г² < оо является достаточным для равенства нулю так называемой а-меры Хаусдорфа множества Е = Е (К, s) С К всех точек zq Е К несуществования оценок вида (1): mesa. E = 0. В случае плоской лебеговой меры mes2 (как известно, mes2 = (4/7r)mes2) Д. Я. Данченко [11] установила более общий результат: если континуум К имеет конечный периметр или, что-то же, конечный обхват по Пенлеве (это означает, что Y2j>o mesi Г/ < оо, rnesi — линейная мера Лебега), то при s = 1 оценки типа Маркова-Бернштейна имеют место почти в каждой точке К относительно плоской меры, то есть mes2Е = 0..

Пусть F — произвольное борелевское множество на С. Конечное или счетное семейство {Bj} открытых кругов Bj будем называть^{-покрытием} множества F, если F С UjBj и для каждого j диаметр diam Bj круга Bj не превосходит 6. Для заданного борелевского множества F и произвольной функции ip®, определенной и возрастающей при г > 0, с с/?(0) = <^(0+) = 0 величину mesF := lim inf ^(diam.Bj): F С UjBj, diamBj < j < сю, называют хаусдорфовой </?-мерой этого множества. В случае ip® = га с некоторым, а > 0 величину mesaF := ((p)mesF называют а-мерой Хау-сдорфа этого множества и обозначают mesaF..

Пусть G — ограниченная область на С, 0G — ее граница. Внутренним радиусом области G назовем величину г = r (G) := snp{/o (C, OG): С? G}. Пусть также N (dG, S) — наименьшее возможное количество кругов в <5-покрытии множества 3G..

Как и ранее, для любого компакта К С С обозначим через Gq неограниченную компоненту связности его дополнения С К, а через {Gj}j> — конечную или бесконечную последовательность всех ограниченных компонент этого дополнения, расположенных в порядке невозрастания их внутренних радиусов гj := r (Gj). Положим dj := diamSGj (j > 0). Множество E = E (K, s) всех таких точек zq G К, для которых не существует оценок указанного вида, назовем исключительным множеством, а множество Е° = E°(K, s) := Е (Uj>odGj) — внутренним исключительным множеством. Для каждого j > 1 положим Nj := N (dGj,.

Теорема 3.1. Пусть задана произвольная функция <�р (г), определенная и возрастающая при г > 0, с (0) = ^(0+) = 0. Если Ylj>i Nj • ip < oo, то внутреннее исключительное множество E° =.

E (К, s) С К имеет нулевую (р-меру Хаусдорфа: (ip)mesE° = 0..

Следствие 3.1.1. Если границы dGj (j > 0) всех связных компонент дополнения компакта К имеют нулевую (р-меру Хаусдорфа и Ylj>i Nj • Lp (4rJ/(e+1)) < oo, mo ( )mes E = 0..

Следствие 3.1.2. Пусть a G (1,2]. Если граница dGj (j > 0) каждой связной компоненты дополнения компакта К представляет собой объединение из kj замкнутых жордановых спрямляемых кривых, cj = dGj := mes1 dGj, причем ]Г) ¦>l kj • < oo, mo mesaE = 0..

Следствие 3.1.3. Если Y, j>i (l + d? rj2/(e+1)) • v? (4rJ/(e+1)) < oomo (cp)mes E° = 0..

В случае а-меры Хаусдорфа теорема 3.1 является в определенном смысле неулу ннаемой. Это показывает следующая.

Теорема 3.2. Пусть, а Е (0,2], s > 1. Тогда существует такой континуум К = K (s, а), что для любого г > 0 ряд ' сходится, а внутреннее исключительное множество E°(K, s) uAteem ненулевую а-меру Хаусдорфа..

Во втором параграфе третьей главы исследуется вопрос о влиянии малых изменений компакта К на исключительное множество E°(K, s)..

Теорема 3.3. Пусть К — произвольный компакт в С, ц — произвольная конечная счетно-аддитивная борелевская мера на К. Тогда для любого е > 0 существует такой компакт F = F (K, /1, е) С К, что ц (К F) < е и E (F, s) = F Vs > 1..

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Евгению Прокофьевичу Долженко за постановки интересных задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе над их решением, а также" доценту П. А. Бородину за ряд ценных указаний и пристальное внимание к работе..

1. Андерсон Дж. М., ЭйдерманВ.Я. Оценки преобразования Коши точечных масс (логарифмической производной многочлена) // ДАН. — 2005. -Т.401. — No 5. — С. 1−4..

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации М.: «Наука», 1965..

3. Warschawski S.E. On differentiability at the boundary in conforrnal mapping 11 Proc.Amer.Math.Soc. 1961. V.12, N4. P.614−620..

4. Hilbert D. Uber die Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion einer Variabeln in eine unendliche nach ganzen rationalen Funktionen fortschreitende Reihe // Nachr. Konigl. Gesell. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Klasse 1897. S.63−70..

5. ГолузинГ.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: «Наука». 1966..

6. Горин Е. А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Сиб. матем. журнал, 1962. N 4. С.506−508..

7. Данченко В. И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матем.сб. 1994. 185, N 8. 63−80..

8. ДанчечкоВ.И., ДанченкоД.Я. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Тезисы докл. школы-конференции: Изд-во Казанского университета, 1999. 74−77..

9. Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. 2001. 70, вып. 4. 553−559..

10. Данченко В. И. Один критерий существования оценки производной рациональной функции // Матем. заметки, Москва. 2005. 78, вып. 4. 493−502..

11. Данченко Д. Я. Некоторые вопросы аппроксимации и интерполяции рациональными функциями. Приложение к уравнениям эллиптического типа. Дисс., Владимир, ВГПУ, 2001..

12. Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials//Trans.Amer.Math.Soc., 1912, N 14, P.491−515..

13. ДзядыкВ.К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами// М.: «Наука», 1977..

14. Долженко Е. П. Дифференциальные свойства функций и некоторые вопросы теории приближений // Канд. дисс., Москва, МГУ, 1960..

15. Долженко Е. П. О приближении на замкнутых областях и о нульмножествах // ДАН СССР. 1962. Т. 143, № 4, С.771−774..

16. Долженко Е. П. О конформных отображениях жордановых областей //Вестник МГУ. 1999. Сер.1 Матем. Мех. № 4, С.66−68..

17. КорнейчукН.П. Точные константы в теории приблиэ! сения. М.: «Наука». 1987..

18. Macintyre A.J., Fuchs W.H.J. Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomal // J. London Math. Soc, 1940, v.15, N 3, p.162−168..

19. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М.: «Наука». 1968..

20. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: «Наука». 1974..

21. СендовБ. Хаусдорфово расстояние и обработка изобралсепий// Успехи метематических наук 2004, Т. 59, вып. 2, С. 127−136..

22. ТамразовП.М. Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т.32, вып.5. С.1033−1043..

23. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: Издательство иностранной литературы. 1961..

24. Falconer К. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Wiley, University of St. Andrews, UK. 2003..

25. О. Н. Косухин Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 2001, N 4. С. 54−59..

26. П. А. Бородин, О. Н. Косухин О приближении наипростейшими дробями па действительной оси // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 2005, N1, С.3−8..

27. О. Н. Косухин О скорости приближении замкнутых жордановых кривых лемнискатами // Матем. заметки, 2005, Т.77, Вып. G, С. 861−876..