Мультипликативная структура когомологий для алгебр Лю-Шульца

Когомологии алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящий момент теория (обычных) когомологий групп — уже сложившаяся ветвь современной алгебры. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области имеется множество результатов (см., например, [15]). Алгебра Йонеды является естественным аналогом кольца когомологий групп. Напомним понятие произведения Йонеды и его взаимосвязь с известным U-произведением в H*(G, К).

Пусть R — произвольная конечномерная if-алгебра. Для Д-модулей М, N любой элемент (р? Extд (М, iV), т > 1, может быть представлен точной последовательностью.

О -+N->Xm-)——-^ Xi М 0.

На последовательностях такого вида вводится отношение эквивалентности, а также согласованная с ним операция сложения (см., например, [14]). Если.

0? -> ——Ух —> iV —> 0 точная последовательность, представляющая элемент ф G Ext^(iV, L), n>l, то произведение Йонеды фо<�р определяется как элемент группы расширений Extд+п (М, L), представленный точной последовательностью.

0 -> L Yn ч——-Yi чХт ——уХгЧ'МчО.

Если же п = 0, то группа расширений Ext°R (N, L) = Нотr (N, L), и ф о ip определяется как элемент ф*((р) Е Extд (М, L), где ф*: Extr (M, N) ч> Ext^(M, L) — гомоморфизм, индуцированный ф аналогично определяется фо (р при m = 0. Очевидно, такое произведение ассоциативно.

Если М = N = L, то на множестве 6(М) = 0m^oExtд (М, М) с помощью описанного произведения Йонеды вводится структура /^-алгебры, и £(М) естественным образом превращается в градуированную /^-алгебру с единицей 1 s{M) =? Нотд (М, М) = Ext°R (M, M). Её называют Ext-алгеброй модуля М.

Если R — базисная if-алгебра с радикалом Джекобсона J®, то Ext-алгебра ?(R/J®) называется алгеброй Йонеды алгебры Rее будем обозначать через y®.

Пусть теперь R = KG — групповая алгебра. Если М, М', N и N' — KG-модули, то хорошо известно U-произведение.

U: Ext%G{M, М') х Ext^G (iV, N') -> Ext? jn (M ® N, M' ® N') и его взаимосвязь с произведением Йонеды: если ip 6 ExtxG (M, M'), ф € ExtnKG (N, N'), io р ®idN, G Ext%G (M N', M' ® N'), idM®i>e Ext nKG (M ®N, M®N'), и ip U ф = {tp ® id/v) о (idjif ф) e ExtксП{м N') см., например, [14, 16]). В частности, если М = М' = N = N' = К, где К — тривиальный KG-модупъ, то U-произведение в кольце когомологий H*(G, К) = 0m^oExtkG (K, К) совпадает с произведением Йонеды.

В работах Генералова А. И. были вычислены алгебры Йонеды для некоторых серий алгебр диэдрального или полудиэдрального типа из классификации К. Эрдманн [29]. В некоторых из этих работ (см. [4, 1, 2, 33]) используется диаграммный метод Бенсона-Карлсона [18] вместе с его техническими усовершенствованиями, развитыми в [4, 1]. В этом случае существенно используется возможность описания сизигий простых модулей с помощью так называемых диаграмм. Такая возможность имеется не всегда, и в связи с этим в [5] был предложен иной подход. Его существо составляет то, что на основе некоторых эмпирических наблюдений выдвигается гипотеза о строении минимальных проективных резольвент простых модулей, и после их обоснования «когомологическая информация» считывается с найденных резольвент, что приводит к описанию алгебр Йонеды рассматриваемых алгебр.

Теперь определим когомологии Хохшильда. Для Х-алгебры R рассмотрим обертывающую алгебру, А = Re = R®kR°pТогда n-ая группа когомоло-гий Хохшильда алгебры R с коэффициентами в Д-бимодуле М определяется следующим образом: ННП (Я, М) = ЕхЩЯ, М). Если М = R, то мы используем обозначение HH" (i2) = HHn (i2, R). На линейном пространстве.

НН*(Я) = ®">0 НН" (Д) = (c)n, o в*Ч№ Л) можно ввести U-произведение, относительно которого оно становится ассоциативной if-алгеброй [27, § 5], [12, Гл. XI], [35]- эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшильда.

Известно, что U-произведение на ER*® совпадает с произведением Йонеды на Ext-алгебре 0n^oExtJ (i2, R) А-модуля R (см., например, [36, стр. 120]). Кроме того, как доказано в [35], НН*(Я) — градуированно коммутативная алгебра.

Хотя когомологии Хохшильда теоретически вычислимы для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны. К настоящему моменту группы когомологий Хохшильда (по крайней мере для малых степеней) были вычислены для нескольких серий алгебр, например, для некоторых наследственных алгебр и алгебр с узким колчаном (with narrow quivers) [40, 21], внешних алгебр [38], алгебр с нулевым квадратом радикала (radical square zero algebras) [22], мономиальных алгебр [24], усеченных алгебр колчанов (truncated quiver algebras) [25, 54, 47, 45] и специальных бирядных алгебр [53, 39].

До последнего времени во многих работах изучалась только «аддитивная структура» когомологий алгебр или же вообще только первая или вторая группа когомологий Хохшильда (как имеющие конкретную интерпретацию с помощью дифференцирований и расширений). Лишь в последние годы ожиt вился интерес к изучению мультипликативной структуры когомологий Хохшильда.

Для коммутативной конечной группы G в работах [42], [26] доказано, что HH*(if[G]) ~ H*(G) ®-к В [51] была предложена некоторая формула, позволяющая редуцировать вычисление произведения в HH*(/^[G]) к вычислениям с обычными когомологиями групп, и с помощью этой техники было получено описание алгебры когомологий Хохшильда для симметрической группы 5з над полем F3, а также для знакопеременной группы А4 и для диэдральных 2-групп над полем F2. Кроме того, в [43] вычислена подалгебра когомологий четных степеней HHev (B) = 0п^оНН2п (Б) для групповых блоков, имеющих конечный тип представления. Отметим также, что для групповых блоков ручного типа представления, имеющих один или три простых модуля, в [44] описана аддитивная структура алгебры НН*(£). Имеются вычисления НН*(#) для алгебр других классов. В [30] алгебра НН*(Я) описана для случая, когда R — полуцепная Q-F-алгебра, а в [31] для так называемых алгебр Мёбиуса вычислена подалгебра ННГ*(Л), порожденная однородными элементами алгебры HH*(.R), степени которых кратны г (г — некоторый параметр, связанный с алгеброй Мёбиуса). В [23] вычислена мультипликативная структура для алгебр R с нулевым квадратом радикала (оказалось, что все произведения элементов из НН-^Я) нулевые). В [19] вычислены когомологии Хохшильда для серии алгебр из [49], при этом получено, что алгебра НН*® конечно порождена. Также в недавнем препринте [20] (с помощью техники отличной от используемой в данной работе) исследуется мультипликативная структура когомологий Хохшильда для алгебр, близких к алгебрам Лю-Шульца.

В [6] Генералов А. И. дал описание алгебры когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа из серии D (3JC) над алгебраически замкнутым пол ем характеристики 2. При этом была использована техника, аналогичная использованной для вычисления алгебр Йонеды алгебр диэдрального и по-лудиэдрального типов. Таким образом, уже первый опыт такого вычисления дал результат для гораздо более широкого класса алгебр, включающий в себя результат для А*. Аналогичной техникой в [7] получено описание алгебры когомологий Хохшильда для одной из серии локальных алгебр кватер-нионного типа. Отметим также что в [8] описана минимальная проективная бимодульная резольвента для алгебры Мёбиуса, как первый этап для вычисления структуры всего кольца когомологий Хохшильда для алгебры Мёбиуса.

Заметим, что за пределами класса групповых алгебр конечных групп в большинстве изученных случаев рассматривались алгебры, имеющие либо конечный, либо ручной тип представления. В данной работе с помощью техники, аналогичной [5], дается описание алгебры Йонеды и алгебры когомологий Хохшильда для некоторой серии симметрических локальных алгебр, открытых Лю и Шульцем, которые имеют дикий тип представлений.

Пусть К — произвольное поле. Для ненулевого р G К определим алгебру.

Rp = К (Хо, Xh X2)/({Xf, Xi+1Xi + рХ{Хм}щ0,1я). (0.0.1).

Мы всюду отождествляем Х$ = Хо, более того, всюду индексы, пробегающие множество {0,1,2}, мы считаем определенными в Z3 и допускаем для них соответствующую операцию сложения. Через Х{ обозначим классы вычетов Х{. Как легко видеть, Rp — 8-мерная локальная /С-алгебра:

Яр = к (1, Х2, X0Xh Х1Х2, Х2Х0, XQX1X2).

Алгебры Rp симметричны [46] и имеют дикий тип представления (см. например [29, 1.10.10(a)]). Отметим, что Rp можно рассматривать как своеобразную «квантификацию» групповой алгебры элементарной абелевой группы С2 х С2 х С2 над полем характеристики 2.

Алгебры Rp для случая, когда р G К* = К {0} не является корнем из 1, были впервые введены в работе Лю и Шульца [46] в форме, отличной от (0.0.1), и были использованы для построения примера неразложимого Rp-модуля М, чья DTr-орбита состоит из бесконечного числа модулей с размерностями, ограничеными в совокупности. В частности, модули сизигий Qn (M) (п > 0) такого модуля М 4-мерные и попарно не изоморфны. Такое поведение невозможно для некоторых других классов алгебр, например, для групповых алгебр конечных групп. Точнее, если М — неразложимый непроективный модуль над групповой алгеброй KG конечной группы G, то из ограниченности размерностей модулей 0, п (М) следует периодичность модуля М, то есть для некоторого t G N верно QM) а М [28]. Отметим, что ранее в [50] Шульц рассмотрел более простую серию алгебр как пример подобного «патологического» поведения модулей, и эти алгебры активно изучаются в последние годы [49, 19, 20, 52]. В работе [48] алгебры Лю-Шульца Rp были уже приведены к виду (0.0.1) и были обнаружены некоторые новые свойства алгебры Rp и ее модулей. ,.

Основной результат диссертации — теоремы 1.2.1 и 2.1.1, которые описывают для алгебр Лю-Шульца Rp алгебру Йонеды y{Rp) и алгебру когомологий Хохшильда HH*(^) в терминах образующих и определяющих соотношений. При этом для вычисления тех или иных групп когомологий предварительно строятся минимальные проективные резольвенты соответствующих модулей. В силу известной теоремы Голода-Венкова-Ивенса кольцо когомологий H*(G, К) конечной группы G является конечно порожденной if-алгеброй [11, 3, 32]- мы доказываем, что алгебра Йонеды y (Rp) конечно порождена и, таким образом, не ведет себя «патологически». Однако в более сложной когомологической структуре — алгебре когомологий Хохшильда, уже прослеживается интересные особенности. Оказывается, что если р имеет конечный порядок в К*, то HH*(i?/?) конечно порожденав случае же, когда р не является корнем из единицы, алгебра НН*(Л^,) бесконечно порождена, и для нее указано счетное множество образующих. Еще одна интересная особенность состоит в том, что даже когда HH*(i?/)) бесконечно порождена, размерности dim^HHn (i?p) в совокупности ограничены (б, если char .К" ф 2, и 9, если char К = 2).

Результаты, выносимые на защиту диссертации:

1. Для простого Rp-модуля К вычислена минимальная проективная резольвента и с помощью нее дано описание алгебр Йонеды для серии алгебр

Rp.

2. Вычислена бимодульная минимальная проективная резольвента модуля Rp.

3. Вычислены образующие n-ой группы когомологий Хохшильда для Rp.

4. Дано описание (в терминах образующих и соотношений) алгебр когомологий Хохшильда для алгебр Rp.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [10,13, 9] и в тезисах международной конференции [34]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем и вычисления, а соавтору — постановка задач и выбор методов решения.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Балашов О. И., Генералов А. И. Алгебры Йонеды для одного класса диэдральных алгебр // Вестник С.-Петерб. ун-та. — 1999. — Сер. 1, Вып. 3, № 15. — С. 3−10.

2. Балашов О. И., Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдралъного типа, II // Алгебра и анализ. 2001. — Т. 13, № 1. — С. 3−25.

3. Венков Б. Б. Об алгебрах когомологий некоторых классифицирующих пространств // Доклады Акад.'наук СССР. — 1959. — Т. 127, № 5. — С. 943−944.

4. Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдралъного типа, I // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1999. — Т. 265. — С. 139−162.

5. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа, I // Алгебра и анализ. 2001. — Т.13, № 4. — С. 54−85.

6. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдралъного типа, I: серия D (3)C) в характеристике 2 // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, № 6. С. 53−122.

7. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, I: обобщенные группы кватернионов I j Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18, № 1. С. 55−107.

8. Генералов А. И., Качалова М. А. Бимодулъная резольвента алгебры Мёбиуса // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. — Т. 321. — С. 36−66.

9. Генералов А. И., Косовская Н. Ю. Когомологии Хохшильда для алгебры Лю-Шулъца // Алгебра и анализ. 2006. — Т. 18, № 4. — С. 39−82.

10. Генералов А. И., Фёдорова Н. Ю. Алгебра Йонеды для «примера Лю-Шульца» // Алгебра и анализ. 2002. — Т. 14, М. — С. 19−35.И. Голод Б. С. О кольце когомологий конечной р-группы // Доклады Акад. наук СССР. 1959. — Т. 125, № 4. — С. 703−706.

11. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960. — 510 с.

12. Косовская Н. Ю. Бимодульная резольвента для алгебр Лю-Шульца // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. — Т. 321. — С. 213−223.

13. Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966. — 543 с.

14. Adem A., Milgram R. J. Cohomology of Finite Groups. — Springer-Verlag Grundlehren 309, 1st edition 1994, 2nd edition 2004.

15. Benson D.J. Representations and cohomology, I. — Cambridge Univ. Press, 1991.-224 p.

16. Benson D.J., Carlson J.F. Complexity and multiple complexes // Math. Zeit.- 1987. Vol. 195. — P. 221−238.

17. Benson D.J., Carlson J.F. Diagrammatic methods for modular representations and cohomology // Comm. in Algebra. — 1987. — Vol. 15, №½. P. 53−121.

18. Buchweitz R.-O., Green E. L., Madsen D., Solberg 0. Finite Hochschild cohomology without finite global dimension // Mathematical Research Letters- 2005. Vol. 12. — P. 805−816.

19. Buchweitz R.-O., Green E. L., Snashall N., Solberg 0. Multiplicative structures for Koszul algebras. arXiv: math. RA/508 177.

20. Cibils C. On the Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras // Comm. Algebra. 1988. — Vol. 16. — P. 645−649.

21. Cibils С. 2-nilpotent and rigid finite-dimensional algebras // J. London Math.Soc. 1987. — Vol. 36. — P. 211−218.

22. Cibils C. Hochschild cohomology algebra of radical square zero algebras // Algebras and modules II (Geiranger, 1996), 93−101, CMS Conf. Proc., 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998.

23. Cibils C. Rigid monomial algebras // Math. Ann. — 1991. — Vol. 289. — P. 95−109.

24. Cibils C. Rigidity of truncated quiver algebras // Adv. Math. — 1990. — Vol. 79. P. 18−42.

25. Cibils C., Solotar A. Hochschild cohomology algebra of abelian groups j j Arch. Math. 1997. — Vol. 68. — P. 17−21.

26. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups, I // Ann. Math. 1947. — Vol. 48. — P. 51−78.

27. Eisenbud D. Homological algebra on a complete intersection, with an application to group representations j j Trans. Amer. Math. Soc. — 1980. — Vol. 260. P. 35−64.

28. Erdmann K. Blocks of tame representation type and related algebras. — Lect. Notes Math. Vol. 1428. Berlin et al., Springer Verlag, 1990.

29. Erdmann K., Holm Th. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An // Forum Math. 1999. — Vol. 11. -P. 177−201.

30. Erdmann K., Holm Th., Snashall N. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An, II // Algebras and Repr.Theory. 2002. — Vol. 5. — P. 457−482.

31. Evens L. The cohomology ring of a finite group// Trans. Amer. Math. Soc. 1961. — Vol. 101. — P. 224−239.

32. Generalov A. I., Kosmatov N. V. Computation of the Yoneda algebras of dihedral type // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. — Т. 305. — С. 101 120.

33. Generalov A. I., Kossovskaya N. Yu. Yoneda algebra of the Liu-Schulz example // тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича. — СПб, 2002. — С. 95−96.

34. Gerstenhaber М. The cohomology structure of an associative ring // Ann. Math. 1963. — Vol. 78. — P. 267−288.

35. Han Y. Hochschild (co)homology dimension. arXiv: math. RA/408 402.

36. Han Y., Xu Y. Hochschild (co)homology of exterior algebras // Preprint.

37. Han Y., Xu Y. Hochschild cohomology of special biserial algebras // Preprint.

38. Happel D. Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras // Springer Lecture Notes in Math. 1989. — Vol. 1404. — P. 108−126.

39. Holm Th. Hochschild cohomology rings of algebras kX]/(f) // Beitrage Algebra Geom. 2000. — Vol. 41, M. — P. 291−301.

40. Holm Th. The Hochschild cohomology ring of a modular group algebra: the commutative case / j Commun. Algebra. — 1996. — Vol. 24. — P. 1957;1969.

41. Holm Th. The even Hochschild cohomology ring of a block with cyclic defect group // J. Algebra. 1995. — Vol. 178. — P. 317−341.

42. Holm Th. Hochschild cohomology of tame blocks // J. Algebra. — 2004. — Vol. 271. P. 798−826.

43. Jiang W., Han Y., Xu Y. Hochschild cohomology of truncated quiver algebras // Preprint.

44. Liu Sh., Schulz R., The existence of bounded infinite DTr-orbits // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. — Vol. 122, № 4. — P. 1003−1005.

45. Locateli C.M. Hochschild cohomology of truncated quiver algebras j j Comm. Algebra 1999. — Vol. 27. — P. 645−664.

46. Ringel C.M., The Liu-Schulz example j j in: Representation theory of algebras, CMS Conf. Proc., AMS. 1996. — Vol. 18. — P. 587−600.

47. Schulz R. A nonprojective module without self-extensions // Arch. Math., Basel 1994. — Vol. 62, M. — P. 497−500.

48. Schulz R. Boundedness and periodicity of modules over QF rings // J. Algebra. 1986. — Vol. 101, № 2. — P. 450−469.

49. Siegel S. F., Witherspoon S. J. The Hochschild cohomology ring of a group algebra // Proc. London Math. Soc. 1999. — Vol. 79. — P. 131−157.

50. Smal0 S.O. Local limitations of the Ext functor do not exist // Bull. London Math. Soc. 2006. — № 1. — P. 97−98.

51. Xu Y. On the first Hochschild cohomology of trivial extensions of special biserial algebras // Sci. China (Ser. A). 2004. — Vol. 47. — P. 578−592.

52. Zhang P. Hochschild cohomology of truncated basic cycle // Sci. China (Ser. A). 1997. — Vol. 40. — P. 1272−1278.