Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве и его высших аналогов
Диссертация
Научная новизна работы. Впервые найдены асимптотики и асимптотические разложения решений всех представителей иерархии второго уравнений Пенлеве. Предложен новый метод построения точных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод основан на использовании информации об асимптотическом поведении решений дифференциального уравнения. С помощью предложенного метода найдено… Читать ещё >
Содержание
- 1. Физико-математические модели, в которых встречаются уравнения Пенлеве и их высшие аналоги
- 1. 1. Свойство Пенлеве в теории специальных функций
- 1. 2. Уравнения Пенлеве и их свойства
- 1. 3. Обобщенная иерархия второго уравнения Пенлеве
- 1. 4. Второе уравнение Пенлеве в физике полупроводников и теории плазмы
- 1. 5. Результаты первого раздела
- 2. Анализ асимптотического поведения решений высших аналогов второго уравнения Пенлеве
- 2. 1. Применение Пенлеве анализа и степенной геометрии для построения асимптотических разложений решений нелинейных дифференциальных уравнений
- 2. 2. Асимптотики и асимптотические разложения решений уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве в окрестности нуля и бесконечности
- 2. 3. Асимптотики и асимптотические разложения решений уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве в окрестности точки z — zo
- 2. 4. Результаты второго раздела
- 3. Специальные решения уравнений Пенлеве, их высших аналогов и неинтегрируемых обобщений
- 3. 1. Методы поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений
- 3. 2. Метод многоугольников Ньютона для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений
- 3. 3. Автомодельные решения нсинтегрируемого аналога модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза
- 3. 4. Однопараметрические семейства решении третьего уравнения Пенлеве н его неинтегрируемого обобщения
- 3. 5. Специальные решения четвертого уравнения Пенлеве и его неинтегрируем ых обобщений
- 3. 6. Точные решения пятого уравнения Пенлеве
- 3. 7. Однопараметрические семейства решений шестого уравнения Пенлеве
- 3. 8. Специальные решения обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве
- 3. 9. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений
- 3. 10. Результаты третьего раздела
- 4. Рациональные решения второго уравнения Пенлеве и его высших аналогов
- 4. 1. Преобразования Бэклунда для решений уравнений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве
- 4. 2. Необходимые и достаточные условия существования рациональных решений
- 4. 3. Классификация рациональных решений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве
- 4. 4. Рациональные решения иерархии второго уравнения Пенлеве
- 4. 5. Результаты четвертого раздела
- 5. Обобщенные полиномы Яблонского — Воробьева и их свойства
- 5. 1. Рекуррентные формулы для обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева
- 5. 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения для обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева
- 5. 3. Свойства нулей обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева
- 5. 4. Полиномы Яблонского — Воробьева для первых представителей иерархии второго уравнения Пенлеве
- 5. 5. Результаты пятого раздела
Список литературы
- Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. — 360 с.
- Gromak V.I., Laine I. and Shimomura S. Painleve Differential Equations in the Complex Plane. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2002. — 304 p.
- Громак В.И., Лукашевич Н. А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. Минск: Университетское, 1990 — 160 с.
- The Painleve Property, One Century Later / Ed. by R. Conte. CRM series in Mathematical Physics. — Berlin, Springer-Verlag, 1999. — 810 p.
- Clarkson P.A., Painleve equations — non-linear Special Functions / Ed. by F. Marcellan and W. van Assche. Orthogonal Polynomials and Special Functions: Computation and Application. — Berlin, Springer-Verlag, 2006. — Vol. 1883. — P. 331−411.
- Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. -Москва: Гостехиздат, 1941 398 с.
- Fuchs L. Uber differcntialgleichungen deren integrate feste verzweigungspunkte besitzen // Sitz. Acad. Wiss, Berlin. 1884. — P. 669−720.
- Poincare H. Sur les integrates irregulieres des equations lineaires // Acta Math. -1886. Vol. 8. — P. 295—344.
- Poincare H. Remarques sur les integrales irregulieres des equations lineaires // Acta Math. 1887. — Vol. 10. — P. 310—312.
- Painleve P. Logons sur la theorie analytique des equations differentielles, professees a Stockholm. Paris. — 1897.
- Painleve P. Memoire sur les equations differentielles dont l’integrale generale est uniforme // Bull. Soc. Math. France. 1900. — Vol. 28. — P. 201−261.
- Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre et d’ordre superieur, dont l’integrale generale est uniforme // Acta Math. 1902. — Vol. 25. — P. 1−86.
- Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. М.: Мир, 1987. — 480 с.
- Ablovitz M.J., Ramani A., Segvr Н. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary diferential equations of Painleve type. II // J. Math. Phys. 1980. Vol. 21. — P. 1006−1015.
- Montgomery H.L. The pair correlation of zeros of the zeta function / Ed by H. G. Diamond. Analytic Number Theory. — Providence, RI: Amer. Math. Soc. — Proc. Sympos. Pure Math., 1973. — P. 181−193.
- Magnus A.P. Painleve-type differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials // J. Сотр. Appl. Math. 1995. — Vol. 57. -P. 215−237.
- Нъюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1991. — 328 с.
- Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scatterig. Cambridge University Press, 1991. — 358 p.
- De Boer P.C.T., Ludford L.S.S. Spherical electric probe in a continuum gas // Plasm. Phys. 1975. — Vol. 17. — P. 29−43.
- Kashevarov A. V. The Second Painleve Equation in the Electrostatic-Probe Theory: Numerical Solutions j j Сотр. Math, and Math. Phys. 1998. — Vol. 38, No. 6. — P. 950—958.
- Кашеваров А.В. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда. Численные решения в случае неполного поглощения заряженных частиц поверхностью // Ж. тех. физ. 2004. — Т. 74, вып. 1. — С. 1−9.
- Wu Т.Т., McCoy В.М., Tracy С.A. Barouch E. Spin-spin correlation functions of the two-dimentional Ising model: Exact theory in the scaling region // Phys. Rev. B.- 1976. Vol. 13. — P. 316−374.
- Brezin E., Kazakov V.A. Exactly solvable field theories of closed strings // Phys. Lett. B. 1990. — Vol. 236. — P. 144−150.
- Gross D.I., Migdal A.A. Nonperturbative two-dimentional quantum graviti // Phys. Rev. Lett. 1990. — Vol. 64. — P. 127−130.
- Picard E. Demonstration d’un theoreme generale sur les founctions uniformes liees par une relation algebrique // Acta Math. 1887. — Vol. 11. — P. 1−12.
- Urnemura H. Second proof of irreducibility of the first differential equation by Painleve j I Nagoya Math. J. 1990. — Vol. 117. — P. 125−171.
- Urnernura II. Galois theory of algebraic and differential equations // Nagoya Math. J. 1996. — Vol. 144. — P. 1−58.
- Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИУ, 1939. — 717 с.
- Airault Н. Rational solutions of Painleve equations // Studies in Appl. Math. 1979.- Vol. 61, No. 1. P. 31−53.
- Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Uniformization and transcendence of solutions for the first and second Painleve hierarchies // Phys. Lett. A. 1998. — Vol. 237. — P. 206−216.
- Kowalevski S. Sur le probleme de la rotation d’un corp solid autour d’un point fixe 11 Acta Mathematica. 1889. — Vol. 12. — P. 177−232.
- Kowalevski S. Sur une propriete du systeme d’equations differentielles qui definit la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe // Acta Mathematica. 1890. — Vol. 14. — P. 81−93.
- Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953. — 287 с.
- Okamoto К. Studies on the Painleve equations III // Math. Ann. 1986. — Vol. 275. — P. 221−255.
- Okamoto K. The Hamiltonians associated to the Painleve equations // The Painleve Property, One Century Later / Ed. by R. Conte. CRM series in Mathematical Physics. — Berlin: Springer-Verlag, 1999. — P. 735−787.
- Flaschka H., Newell A.C. Monodromy and spectrum preserving deformations. I j j Comrnun. Math. Phys. 1980. — Vol. 76. — P. 65−116.
- Итс Л.P., Капаев А. А., Новокшенов В. Ю., Фокас A.C. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2005. 728 с.
- Jimbo М., Miwa Т. Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients. Ill // Physica D 1981. — Vol. 4. — P. 26−46.
- Gromak V.I., Lukashevich N.A. Special classes of solutions of Painleve’s equations // Diff. Eqns. 1982. — Vol. 18. — P. 317−326.
- Jimbo M., Miwa T. Solitons and Infinite Dimentional Lie Algebras // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1983. — Vol. 19, No. 3. — P. 943−1001.
- Lax P.O. Almost periodic solutions of the KdV equation // SIAM Rev. 1976. — Vol. 18. — P. 351−375.
- Kudi^yashov N.A. The second Painleve equation as a model for the electric field in a semiconductor // Phys. Lett. A. 1997. — Vol. 233. — P. 387−400.
- Физика твердого тела / Сост. В. Н. Егоров. Электронная библиотека ИГЭУ. -http://elib.ispu.ru/library/lessons/.
- Gambier В. Sur les equations differentielles du second order et du premier degree dont l’integrale generale est a points critiques fixes // Acta Mathematica. 1910. — Vol. 33. — P. 1−55.
- Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations // J. Math. Phys. 1983. — Vol. 24. — P. 522−526.
- Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, Физматлит, 1998. — 288 с.
- Брюно А. Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН. 2004. — Т. 59, вып. 3. — С. 31−80.
- Puiseux V. Recherches sur les fonctionns algebriques // J. de Math. Pures at Appl.- 1850. Vol. 15. — P. 365−480.
- Брюно А. Д., Горючкина И. В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве // Докл. РАН. 2004. — Т. 395, выи. 6. — С. 733−737.
- Брюно А. Д., Завгородняя Ю. В. Степенные ряды и нестепенные ассимптотики решений второго уравнения Пенлеве: Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша No. 48, 2003. 32 с.
- Гориэли А. Интегрируемость и сингулярность. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика" — Институт компьютерных исследований, 2006. — 316 с.
- Conte R., Fordy А.P., Pickering A. A perturbative Painleve approach to nonlinear differential equations j j Physica D. 1993. — Vol. 69. — P. 33−58.
- Демина M.B., Кудряшов H.A. Иерархия второго уравнения Пенлеве: локальный анализ, построение рациональных решений // Науч. сессия МИФИ-2007: Сб. науч. тр. в 17 т. Т. 7. — М.: МИФИ, 2007. — С. 114−115.
- Mazzocco М., Mo М. Y. The Hamiltonian sructure of the second Painleve hierarchy // Nonlinearitv. 2007. — Vol. 20. — P. 2845−2882.
- Hirota R. Exact solution of the Korteweg de Vries equation for multiple collisions of solutions // Phys. Rev. Lett. — 1971. — Vol. 27. — P. 1192−1194.
- Hirota R. Direct methods in soliton theory // Topics of Modern Physics / Ed. by R.K. Bullough, P.J. Caudrey. New York: Springer-Verlag, 1980.
- Кудряшов H.A. Методы нелинейной математической физики. М: МИФИ, 2008.- 352 с.
- Овсянников JI.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М: Наука, 1978. — 400 с.
- Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М: Наука, 1983. — 281 с.
- Полянин А.Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики. М: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 256 с.
- Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation // Phys. Rev. Lett. — 1967. — Vol. 19. — P. 1095−1097.
- Lax P.D. Inyegrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves j j Comm. on Pure and Appl. Math. 1968. — Vol. 21. — P. 467−490.
- Захаров B.E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелиненых средах // Ж. эксп. и теор. физ. 1971. — Т. 61. — С. 118−134.
- Захаров В.Е., Шабат А. Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде j j Ж. эксп. и теор. физ. 1973. — Т. 64. — С. 1627−1639.
- Захаров В.Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функ. анализ и его прил. 1974. — Т. 8, вып. 3. — С. 43−53.
- Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur Н. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Stud, in Appl. Math. 1974. — Vol. 53. -P. 249−315.
- Кудряшов H.A. Точные решения нелинейных волновых уравнени, встречающихся в механике // Прикл. мат. и мех. 1990. — Т. 54. — С. 450−453.
- Kudryashov N.A. On types of nonlinear nonintegrable equations with exact solutions 11 Phys. Lett. A. 1991. Vol. 155. — P. 269−275.
- Pickering A. A new truncation in the Painleve analysis // J. of Phys. A: Math, and Gen. 1993. — Vol. 26. — P. 4395−4405.
- Kudryashov N.A., Demina M. V. Polygons of differential equations for finding exact solutions j I Chaos, Solitons and Fractals. 2007. — Vol. 33, No. 5. — P. 1480−1496.
- Kudryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations // Chaos, Solitons and Fractals. 2005. — Vol. 24. P. 1217—1231.
- Kudryashov N.A. Exact solutions of generalized Kuramoto-Sivashinsky equation // Phys. Lett. A. 1990. — Vol. 147, No. 5−6. — P. 287−291.
- Демина M.B., Кудряшов H.A., Синелъщиков Д. И. Метод многоугольников для построения точных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений для описания волн на воде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. — Т. 48, вып. 12. — С. 2151−2162.
- Kudryashov N.A., Demina М. V. Traveling wave solutions of the generalized nonlinear evolution equations // Appl. Math, and Сотр. 2009. — Vol. 210. P. 551−557.
- Лаврентьев M.A., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. — 716 с.
- Eremenko A. Meromorphic traveling wave solutions of the Kuramoto-Sivashinsky equation // J. Math. Phys., Anal., Geom. 2006. — Vol. 2, No. 3. — P. 278−286.
- Nevanlinna R. Eindeutige analytische Funktionen. Berlin: Springer, 1936. — 353 p.
- Сикорский Ю. С. Элементы теории эллиптических функций: С приложениями к механике. М.: КомКнига, 2006. — 368 с.
- Kudryashov N.A. Amalgamations of the Painleve equations // J. Math. Phys. 2003.- Vol. 44, No. 12. P. 6160−6178.
- Kudryashov N.A. The first and the second Painleve equations of higher order and some relations between them 11 Phys. Lett. A. 1997. — Vol. 224. — P. 353−360.
- Clarkson P.A., Joshi N., Pickering A. Backlund transformations for the second Painleve hierarchy: a modified truncation approach // Inverse Problems. 1999. -Vol. 15. — P. 175−187.
- Clarkson P.A. Remarks on the Yablonskii — Vorob’ev Polynomials // Phys. Lett. A.- 2003. Vol. 319. — P. 137−144.
- Clarkson P.A., Mansfield E.L. The second Painleve equation, its hierarchy and associated special polynomials // Nonlinearity. -2003. Vol. 16. — P. R1-R26.
- Clarkson P.A. Special polynomials associated with rational solutions of the Painleve equations and applications to soliton equations j I Computational Methods and Function Theory. 2006. — Vol. 6. — P. 329−401.
- Demina M.V., Kudryashov N.A. The Yablonskii — Vorob’ev polynomials for the second Painleve hierarchy // Chaos, Solitons and Fractals. 2007. — Vol. 32, No. 2. — P. 526−537.
- Kudryashov N.A., Demina M. V. Special polynomials associated with the fourth order analogue to the Painleve equations // Phys. Lett. A. 2007. — Vol. 363, No. 5−6. -P. 346−355.
- Filipuk G. V., Clarkson P.A. The symmetric fourth Painleve hierarchy and associated special polynomials I j Stud, in Appl. Math. 2008. — Vol. 121. — P. 157−188.
- Яблонский A.M. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве // Вести Акад. Наук БССР, Серия Физико-технических наук. 1959. — Т. 3. С. 30−35.
- Воробьев А.П. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве // Дифференциальные уравнения. 1965. — Т. 1. — С. 79−81.
- Umemura Н. Painleve equations and classical functions j j Sugaki Expositions. 1998.- Vol. 11. P. 77−100.
- Noumi M., Yamada Y. Symmetries in the fourth Painleve equation and Okamoto polynomials // Nagoya Math J. 1999. — Vol. 153. — P. 53−86.
- Umemura H. Painleve equations in the past 100 years / American Mathematical Society Translations. 2001. — Vol. 204. — P. 81−110.
- Демина M.B., Кудряшов Н. А. Асимптотические разложения решений и специальные полиномы иерархии второго уравнения Пенлеве / Международная кон-ферения «Анализ и особенности». Москва, 20 — 24 августа 2007: Сб. науч. тр. -М.: МИАН, 2007. — С. 46−48.
- Clarkson P.A. Remarks on the Yablonskii — Vorob’ev Polynomials // Phys. Lett. A.- 2003. Vol. 319. — P. 137−144.
- Taneda M. Remarks on the Yablonskii — Vorob’ev polynomials // Nagoya Math. J.- 2000. Vol. 159. — P. 87−111.
- Fukutani S, Okamoto K., Umemura H. Special polynomials and the Hirota bilinear relations of the second and fourth Painleve equations // Nagoya Math. J. 2000. -Vol. 159. — P. 179−200.
- Kudryashov N.A., Demina M. V. The generalized Yablonskii — Vorob’ev polynomials and their properties // Phys. Lett. A. 2008. — Vol. 372, No. 29. — P. 4885−4890.
- Демина M.B., Кудряшов Н. А. Специальные полиномы и рациональные решения иерархии второго уравнения Пенлеве // ТМФ. 2007. — Т. 153, вып. 1. — С. 58−67.
- Демина М.В., Кудряшов Н. А. Обобщенная иерархия второго уравнения Пенлеве и ее свойства // Науч. сессия МИФИ-2008: Сб. науч. тр. в 17 т. Т. 9. — М.: МИФИ, 2008. — С. 62−63.
- Adler М.А., Moser J. On a class of polynomials connected with the Korteweg de Vries equation // Commun. math. Phys. — 1978. — Vol. 61. — P. 1−30. '
- Hone A.N. W. Non-autonomous Henon-Heiles systems // Physica D. 1998. — Vol. 118. — P. 1−16.
- Адлер В.Э., Шабат А. В., Ямилов P.M. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // ТМФ. 2000. — Т. 125, вып. 3. — С. 355−424.
- Марихин В.Г., Шабат А. Б., Интегрируемые решетки // ТМФ. 1999. — Т. 1186 вып. 2. — С. 217−228.
- Kvdryashov N.A., Demina M. V. Relations between zeros of special polynomials associated with the Painleve equations j j Phys. Lett. A. 2007. — Vol. 368, No. 3−4. — P. 227−234.
- Stieltjes T.J. Sur les polynomials de Yacobi / Paris: C-R. Acad. Sci. 1885, — Vol. 100. — P. 620−622.
- Veselov A.P. On Stieltjes relations, Painleve-IV hierarchy and complex monodromy j I J. Phys. A: Math. Gen. 2001. — Vol. 34. — P. 3511−3519.
- Demina M.V., Kudryashov N.A. Power and non-power expansions of the solutions for the fourth-order analogue to the second Painleve equation // Chaos, Solitons and Fractals. 2007. — Vol. 32, No. 1. — P. 124−144.