Римановы риччи-полусимметрические многообразия и их изометрические погружения в пространства кривизны

Открытие в 1925;1926 родах П. А. Широковым и Э. Картаном римановых симметрических пространств ознаменовало важный этан в развитии римановой геометрии. В настоящее время геометрия симметрических пространств оформилась в обширную и богатую приложениями теорию, которая активно взаимодействует с многими областями математики и оказывает на них значительное влияние. Основы этой теории и современное состояние ряда ее разделов освещены в монографиях Дж. Вольфа [ 8 Э. Картава [14], ВиКобаяви и К. Номидзу [ 17 ], 0.1ооса[ 23 ], В. В. Трофимова [76], А. Т. Фоменко (78 ], С. Хелгасона/ 79 ] и др. Обзор работ по симметрическим пространствам и библиография даны в обзорной статье В. И. Ведерникова и А.С.Феденко[ б ].

Начиная с 1950;х годов, параллельно с развитием теории симметрических пространств, стали появляться различные теоретико-групповые обобщения симметрических пространств. Это ре-дуктивные пространства, введенные П. К. Рашевским, однородные Ф — пространства, введенные В. И. Ведерниковым, субсимметрические и трисимметрические пространства, определенные Л. В. Сабининым, 5- пространства, введенные А. Ледаером и далеко идущие обобщения этих пространств. Ближайшим и естественным обобщением неприводимых римановых симметрических пространств являются также однородные римановы пространства, у которых стационарная группа точки неприводимо действует на касательном пространстве. Классификация таких пространств впервые была получена О. В. Мантуровьш [ 33−35 В настоящее время геометрия обобщенных симметрических пространств оформилась в стройную и красивую теорию. Наиболее важные достижения этой теории отражены в монографиях О. Ковальского[ 19 ], посвященной теории ^ - структур, и А*С"Феденко [77 ] 9 посвященной в основном регулярным Ф ~ пространствам. В [77] А.О.Феде"-ко введены пространства о симметрия"", позволяющие рассматривать с единой точки зрения все разновидности симметрических пространств и многих их обобщений. Подробный обзор результатов по теории обобщенных симметрических пространств ш библиография приведены в обзорной статье Г 6 1. 1.1.Широковым [ 80 I, [ 81 ] рассматривались симметрические пространства, определяемые алгебрами. Это направление активно разрабатывалось и в дальнейшем оформилось в теорию пространств над алгебрами, основные достижения которой освещены в монографии В. В. Вишневского, А. II, Широкова, В. В. Вурыгшна [ 7 ].

Наряду с теоретико-групповыми обобщениями симметрических пространств рассматривались также их прямые дифференциально-геометрические обобщения" Еще П. А. Ищшковым [ 82 ] были рассмотрены римановы пространства с параллельным тензором Риччи (симметрические пространства этим свойством обладают) и доказано, что они разлагаются в произведение эйнштейновых пространств. Так как рашшово (локально) симметрическое пространство М характеризуется условием ковариаитного постоянства ми парюгашот (ЭДо тс же самое) тензора кривизны Г ,.

VII — 0, где Vриманова связность на М % го оно автоматически удовлетворяет таю условию И (Х} У) • Ц — О, где X, У — произвольны®касательные векторные поля, а.

Ц (X, а — = ¡-7Х Уу — % ?7/ - X, у Г оператор кривизны. Это условие в своих исследованиях существенно использовали ЭДартан [ 14 ] и П. А. Широюв [ 83 ]. Ими же была поставлена проблема изучения римановых пространств, удовлетворяющих условию? (У> 0. В теории геодезических отображений римановых пространств условие.

Х рассматривалось Н. С. Синюковым [71 ]. Римановы пространства, удовлетворяющие условию /¿-(X, У) • Я =- О им были названы полусимметрическими [72 ], В настоящее время это название является общепринятым и мы также будем придерживаться его. Условие Я (X, У) 'Я =0 называется также условием полупараллельности тензора И •.

В 1968 г. К. Номидзу (135 ] доказал, что полная гиперповерхность в евклидовом пространстве Е^^ с типовым числом к (х)^>3 хотя бы в одной точке и удовлетворяющая условию /1(Х>Ч)'/1 0 является произведением сферы ^ в (НК)-плоскости Е? пк (тогда V О!) и выдвинул гипотезу, что для полного неприводимого риманова пространства условие — О влечет VЯ — 0. Эта гипотеза была опровергнута Х. Такаги [152 ] построением полной неприводимой трехмерной поверхности в Е^, удовлетворяющей условиям |7 И И (X, {д)-Я = 0. Тем не менее, справедливость гипотезы К. Номидзу при различных дополнительных условиях доказали С. Фудхимура [103 ], К. Секигава [ 141 [143−145], С. Тайно [ 156 ] и др. Задачу локальной классификации римановых полусимметрических пространств решил З. Сабо [ 149 ]. Им рассмотрены также вопросы глобальной теории этих пространств и в евклидовом пространстве дана классификация полных внутренне полусимметрических гиперповерхностей, т. е. гиперповерхностей, удовлетворяющих условию Я (Х> Ю’М — 0. В пространстве постоянной кривизны М&bdquo- (с) внутренне полусимметрические гиперповерхности рассматривал П. Райен[ 138 ]. Внутренне полусимметрические подмногообразия коразмерности > I в М^© с наложением ряда дополнительных условий рассмотрены К. Сакамото Г140 ]. В общем случае этот класс подмногообразий мало изучен.

Полусимметрические псевдоримановы пространства иооледовали с ь В. Р. Кайгородовым [ II-I3 ] в связи с применением их в теории гравитации. Подробный обзор работ в этом направлении и библиография приведены в [ 13 J. Алгебраическую трактовку условия /?(X, =0 Дал П.И.Ковалев[18 J.

В связи с указанной выше гипотезой К. Номидзу, начиная о 1969 г., стали рассматриваться также римановы пространства и подмногообразия, удовлетворяющие условию R, (X^ У)*—О> где /?Х — тензор Риччи. Так как римановы пространства с параллельным тензором Риччи и полусимметрические пространства удовлетворяют этому условию (см. § 3), то этот класс римановых пространств является их естественным обобщением. Частные классы римановых пространств и подмногообразий, удовлетворяющих условию Я (Х} У) * Ц^ = О рассматривались в работах С. Танно [ 155 ], К. Секигавы и Х. Такаги [146], К. Секигавы /" 142 J, Х. Такаги и Я. Ватанабе /" 153 7, Х. Накагавы и Р. Такаги [134 ], Я. Матсуямы [ 127 J и др. В этих работах, с привлечением сильных дополнительных условий, решаются в основном вопросы приводимости, проверяются импликации К (Х, У)•?=() И (Х>Ч>К=0> ~ 0 VИi — 0 и выявляются некоторые свойства изучаемых объектов. Геодезические и голоморфно-проективные отображения римановых и кэлеровых пространств, удовлетворяющих условию Ц (Xi У)' Ri —0 рассматривались в работах й. Микеша Г 36 ], [130 ], Н. С. Синюкова и Е. Н. Синюковой [74 J и Е. Н. Синюковой [75 В этих работах римановы пространства, удовлетворяющие указанному условию, были названы риччи-полусимметрическими. Мы также будем придерживаться этого термина и называть их простополусимметрическими пространствами. Условие И (Х3 У) ' называется также условием полупараллельности тензора Эйнштейновы пространства также удовлетворяют условию Ц (X, 3) • * (?± = 0. Им посвящены монографии А. Бессе [4,5] и А. З. Петрова.

Гбз].

Среди подмногообразий пространств постоянной кривизны, моделирующих римановы локально симметрические пространства наиболее интересны (внешне) симметрические подмногообразия, аналитически характеризуемые параллельностью второй фундаментальной формы (ф.ф.) (т.е. V— 0, где обозначает связность Ван дер Вардена-Бортолотти) и подмногообразия с параллельной ф.ф. высшего порядка (Как показали.

Д.Ферус [ 100−102 ], а затем М. Такеути [ 154 Е. Бакес и Х. Рек-цигел [ 89 ] симметрические подмногообразия исчерпываются, в основном, стандартными вложениями симметрических Я, -пространств. Для подмногообразий с параллельной ф.ф. (3), которым посвящены работы автора [37,38 ], [46],[50], [ 52 ],[59], [62], Ю. Г. Лумисте [25−27] ,[109] ,[ПЗ ] ,[П6], К. Рийвес [ 67], [б8 ], Ф. Диллена [ 95−97 7, классификационные задачи решены (в основном Ю. Г. Лумисте и Ф. Дилленом) для случая плоской нормальной связности и для малых размерностей. В общем случае теория этих подмногообразий еще не разработана и многие проблемы остаются открытыми. Различные классы подмногообразий с параллельной ф.ф. с^л описаны Ю. Г. Лумисте в [ 114,115 ],[ 117−121 ]. Однако проблема их полного геометрического описания остается пока открытой. Более детальный обзор результатов по подмногообразиям с параллельной ф.ф. (б 2) дан в § 17 (см. также обзорные статьи [ 30]и [54]).

Следующий наиболее изученный класс подмногообразий в пространствах постоянной кривизны составляют полусимметрические подмногообразия, характеризуемые условием полупараллельности ф.#. ^ = 0, где R Ш) = % Гц ff/fy ~F[x У J «оператор кривизны связности 7)• В силу импликации Я (УU^-0 И (X, 3)'Я = О они имеют внутреннюю геометрию полуоимметрического риманова пространства, чем и обусловлен большой интерс к этим подмногообразиям. Им посвящены работы Й. Депр [93,94 7, Ю. Г. Лумисте [ 28−30 ] [ 105,106 J, [ 108 J ,[» 110−112 J,[ 114,115 J, [117−122 ], Ю. Г. Лумисте и К. Рийвес [ 123 ], К. Рийвес[ 69],[l37], Ф. Меркури [ 129], Ф. Диллена и С. Нёлкер Г 98 J, А. Асперти и Ф. Меркури [ 87 J и автора f53]. Обзор этих работ приведен в § 16. Здесь мы только отметим, что большая заслуга в решении классификационных задач полусимметрических подмногообразий (для подмногообразий малых размерностей и для случая плоской нормальной связности) и их геометрического описания принадлежат Ю. Г. Лумисте.

Подводя итог сделанному выше краткому обзору, можем сказать, что хотя и отдельные классы /¿-¿-с — полусимметрических пространств, такие как локально симметрические и эйнштейновы, всесторонне исследованы и классифицированы, тем не менее общая теория ршановыхHit~ полусимметриче ских пространств еще не разработана. Особенно мало изучены изометрические реализации этих многообразий в пространствах постоянной кривизны (за исключением указанных выше частных случаев).

Настоящая диссертация, посвященная структурным и общим проблемам теории римановых Hie — полусимметрических пространств и их изометрических погружений, имеет своей целью восполнить в некоторой степени указанный выше пробел. Основными объектами исследования являются:

1) римановы пространства с полупараллельным симметрическим эндоморфизмом;

2) римановы Осе — полусимметрические пространства, которые исследуются как в общем случае, так и при наложении ряда дополнительных условий;

3) конусы с многомерными плоскими образующими над двумерными и эйнштейновыми пространствами;

4) ¡-¿-¿-с — полу симметрические подмногообразия пространств постоянной кривизны и такие их частные классы как а) внутренне полусимметрические подмногообразия, б) подмногообразия с параллельным тензором Риччи, в) полусимметрические подмногообразия, г) подмногообразия с параллельными и полупараллельными фундаментальными формами высших порядков,.

В связи с той исключительной ролью, которую играли и играют симметрические пространства и их обобщения в развитии ри~ мановой геометрии и приложениях, особенно в теоретической физике, изучение перечисленных выше классов римановых пространств и подмногообразий является задачей своевременной и весьма актуальной.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

Диссертация состоит из пяти глав, разбитых на 20 параграфов со сквозной нумерацией и списка литературы.

1. Акивис i.A. О строении двухкомпонентжых сопряженных систем.- Тр. реометр, семинара. ВИНИТИ АН СССР. 1966, т.1, С.7−31.

2. Акивис i.A. О строений сопряженных систем на многомерных поверхностях. -Изв. вузов. Мат. I97Q, й 10, С. З-П.

3. Базылев В. Т., Кузьмин М. К., Столяров A.B. Сети на многообразиях. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии.1981, f. 12, С.97−125.

4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т.Х. -М.: Мир, 1990.-3X8 о.

5. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т.2. -М.: Мир, 1990.-384 с.

6. Ведерников В. И., Феденко A.C. Симметрические пространства и их обобщения. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. 1976, т.14, С.249−280.

7. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. -Казань: йзд-во Казанск. ун-та, 1985. -262 с.

8. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. -М.: Наука, 1982. -480 с.

9. Кайгородов В. Р. О римановых пространствах Кh. Тр. гео-метр" УВМНИТИ АН СССР. 1974, т.5, С.359−373.

10. Кайгородов В. Р. Полусимметрические лоренцовы пространства с совершенной группой голономии. -Гравитация и теория относи-тельн. Казань, Казанск. ун-т. 1978, Ш 14−15, C. II3-I20.

11. Кайгородов В. Р. Структура кривизны пространства времени.-Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР, Пробл. геометрии. 1983, т.14, С.177−204.

12. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. -М.: 1Д, 1949. -384 с.

13. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. -М.: Изд. МГУ, i960. -307 с.

14. Кобаяси I., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. T.I. -М.: Наука, 1981. -344 с.

15. Кобаяси 1., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. -М.: Наука, 1981. -416 с.

16. Ковалев и.И. Тройные системы Ли и пространства аффинной связности. -Мат. заметки. 1973, т.14, № I, C. I07-II2.

17. Ковальский 0. Обобщенные симметрические пространства. -М.: Мир, 1984. -240 с.

18. Кручкович Г. И. Об одном классе римановых пространств. -Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. 1961, вып. II, С.103−128.

19. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей. -Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. «Геометрия 1963й. 1965, С.5−64.

20. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. -М.: ЙЛ, i960. -216 с.

21. Лоос 0. Симметрические пространства. -М.: Наука, 1985. -208 с.

22. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. 1975, т.13, С.273−340.

23. Лумисте Ю. Г. Неприводимые подмногообразия малых размерностей с параллельной третьей фундаментальной формой. -Уч.зап. Тартуск. ун-та. 1986, выи. 734, C.5Q-62.

24. Лумисте Ю. Г. Подмногообразия с плоской связность©Ван-дерВардена-Вортолотти и параллельность третьей фундаментальной формы. -Изв. вузов. Мат. 1987, Нг I, С, 18−27.

25. Лумисте Ю. Г. Приводимость подмногообразия с параллельной третьей фундаментальной формой. -Изв. вузов. Мат. 1987, N" II, С.32−41.

26. Лумиете Ю. Г. Неприводимые нормально плоские полусимметрические подмногообразия. I. -Изв. вузов. Мат. 1990, 1 8, С.45−53.

27. Лумиете Ю. Г. Неприводимые нормально плоские полусимметрические подмногообразия. II. -Изв. вузов. Мат. 1990, № 9, С.31−40.

28. Лумисте Ю. Г. Полусимметрические подмногообразия. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл.геометрии. 1991, т.23, С, 3−28.

29. Лумисте Ю. Г., Чакмазян A.B. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем. -Изв. вузов. Мат. 1974, № 5, С.148−157.

30. Лумисте Ю. Г., Чакмазян A.B. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны. Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1981, т.12, С.3−30.

31. Мантуров О. В. Об однородных римановых пространствах с неприводимой группой вращений. -Докл. АН СССР. 1961, т. 141, I! 4, С.792−795.

32. Мантуров О. В. Римановы пространства с неприводимой группой вращений и ортогональными и симплектическими группами движений. -Докл.АН СССР. 1961, т.141, Ш 5, C. I034-I037.

33. Мантуров O.B. Однородные римановы пространства с неприводимой группой вращений. -Тр. еемин. по векторн. и тензорн. анализу. 1966, вып. ХШ, С.68−145.

34. Микен I. О геодезических отображениях Риччи 2-симметричес-ких римановых пространств. -Мат. заметки. I98O, т.28, us 2, С.313−317.

35. Мирзоян В. А. Подмногообразия е параллельной фундаментальной формой высшего порядка. -ВИНИТИ. Х978, 47 с. Ш 2074;78 Деп.

36. Мирзоян В. А, Подмногообразия о параллельными фундаментальными формами высшего порядка. Диссертация на соискание уч. ст. кандидата физ.-мат.наук. -Тарту, 1979. -128 с.

37. Мирзоян В. А. Подмногообразия с коммутативным нормальным векторным полем. -Тезисы конф. «Теоретические и прикл. вопросы математики». Тарту, 1980, С.81−83.

38. Мирзоян В. А. Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным полем. -Докл. АН Арм.ССР. 1981, т.72, Ш I, С.14—17.

39. Мирзоян В. А. Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным полем. -Уч. зап. Ереванск. ун-та. Естеств.н. 1981, Ш 3 (148), С.9−16.

40. Мирзоян В. А. О канонических погружениях Цпространств. -Мат.заметки. 1983, т. ЗЗ, Ш 2, С.255−260.

41. Мирзоян В. А. Подмногообразия с коммутирующим /'-мерным подраеслоением нормального расслоения. -Уч.зап. Ереванск. ун-та. Естеств.н. 1983, Ш I (152), С.20−27.

42. Мирзоян В. А. Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным нолем. -Итога науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1983, т.14, С.73−100.

43. Мирзоян В. А. Нормальная дефектность подмногообразия. -Докл.АН Арм. ССР. 1983, ш. 77, № I, СД1−15.

44. Мирзоян В, А. О локальном отроении подмногообразия о параллельной фундаментальной формой (^>3). Шестая прибалт.геометр.конф. Тезисы докл. Таллин, 1984, С. 83.

45. Мирзоян В. А. Нормальная дефектность подмногообразия в ри-мановом многообразий. -Уч.зап. Тартуск. ун-та. 1986, выи. 734, С.63−79.

46. Мирзоян В. А. Внутренне симметрически подмногообразия. -Тезисы конф. «Проблемы теоретической и прикл. математики». Тарту, 1990, С.58−60.

47. Мирзоян В. А. Подмногообразия с параллельным тензором Рич-чи. -Всесоюзн.совещание ученых по дифф. геометрии, посвящ. 80-и летию Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 29 сентября-5 октября 1990 г.). Тезисы докл. Ростов-на-Дону, 1990, 0.72.

48. Мирзоян В. А. О подмногообразиях с параллельной фундаментальной формой и3 (5^-3). Уч. зап.Тартуск.ун-та. 1991, вып. 930, С, 97 412 .

49. Мирзоян В. А. Подмногообразия с полупараллельным тензором Риччи. Уч. зап. Тартуск. ун-та. 1991, вып. 930, С. ПЗ—128.

50. Мирзоян В. А. Разложение в произведение подмногообразий с параллельной фундаментальной формойИзв. вузов. Мат. 1991, 1 8, С.44−53.

51. Мирзоян В. А. Полусимметрические подмногообразия и их разложение в произведение. -Изв. вузов. Мат. 1991, 1 9, С.29−38.

52. Мирзоян В. А. А’с-пол у симметрические подмногообразия. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1991, т.23, С.29−66.

53. Мирзоян В. А. Структурные теоремы для римановых нолу-симметрических пространств. -Изв.вузов. Мат. 1992, № 6,С, 80−89.

54. Мирзоян В. А. Подмногообразия е параллельным тензором Риччи в евклидовых пространствах. -Изв.вузов. Мат. 1993, 1 9, С.22—27.

55. Мирзоян В. А. Структурные теоремы для кэлеровых Нееполусимметрических пространств. -Докл. НАН Армении. 1995, т. 95, Ш I, С.3−5.

56. Мирзоян В. А. О кполупараллельных подмногообразиях. -Международная геометр. школа-семинар памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2? сентября-4 октября 1996 г.). Тезисы докл. Ростов-на-Дону, 1996, С.141−142.

57. Мирзоян В. А. Об одном классе подмногообразий с лапласово рекуррентной второй фундаментальной формой. -Международный геометр, семинар «Современная геометрия и теория физических полей» (Казань, 4−6 февраля 1997 г.). Тезисы докл. Казань, 1997, С. 85.

58. Мирзоян В. А. Подмногообразия с симметрическими фундаментальными формами высшего порядка. -Изв. вузов. Мат. 1997, № 9 (424), С. 35−40.

59. Мирзоян В. А. Подмногообразия с полупараллельными фундаментальными формами высшего порядка как огибающие. -Изв. вузов. Мат. 1998, № 2, С.13-%0.

60. Мирзоян В. А. Об одном классе подмногообразий с параллельной фундаментальной формой высшего порядка. -Изв. вузов. Мат. 1998, 6, С. 46-ГЗ.

61. Петров А. В. Пространства Эйнштейна. -М.: Физматгиз, 1961. 463 с.

62. Постников М. М.

Введение

в теорию Морса. -М.: Наука, 1971, -568 с.

63. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр 1У. Дифференциальная геометрия. -М.: Наука, 1988. -496 с.

64. Рашевский ПД. Риманова геометрия и тензорный анализ, -i.: Наука, 1967.

65. Рийвес К. В. 0 поверхностях V^c:EgQ параллельной третьей фундаментальной формой, имеющих неплоскую нормальную связность. -Восьмая Всес. научная конференция по современным проблемам геометрии (Одесса, сентябрь 1984 г.). Тезисы докл. Одесса, 1984, С. 131.

66. Рийвес К. В. Подмногообразия с параллельной третьей фундаментальной формой в евклидовом пространстве Е^. -Уч. зап. Тартуск. ун-та. 1986, вып.734, C. IO2-XI0.

67. Рийвес К. В. О двух классах полусимметрических подмногообразий. -Уч.зап. Тартуск. ун-та. 1988, вып.803, C.95-I02.

68. Рыжков В. В. Сопряженные системы на многомерных поверхностях. -Тр. Моск.мат. о-ва. 1958, т.7, C. I79−226.71″ Сшшков Н. С. О геодезическом отображении римановых пространств на симметрические римановы пространства. -ДАН СССР. 1954, т.98, Ш I, С.21−23.

69. Синюков Н. С, 0 геодезическом отображении римановых пространств. -Труды третьего всесоюзного матем.съезда. 1956, т.1, С.167−168.

70. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. -М.: Наука, 1979, -256 с.

71. Синюков Н. С., Синюкова E.H. О голоморфно-проективных отображениях специальных кэлеровых пространств. -Мат. заметки. 1984, т.36, Ш 3, С.417−423.

72. Синюкова E.H. О геодезических отображениях некоторых специальных римановых пространств. -Мат.заметки. 1981, т.30, № 6, С.889−894.

73. Трофимов В. В.

Введение

в геометрию многообразий с еиммет-риями• -М.: Изд. МГУ, 1989, -359 о.

74. Феденко A.C. Пространства с оимметриями. -Мн.: Изд. БГУ, 1977. -168 с.

75. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. -M. i Изд. МГУ, 1983. -216 с.

76. Хелгасон G. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. -М.: Мир, 1964. -533 с.

77. Широков А. П. О симметрических пространствах, определяемых алгебрами. -Изв.вузов. Мат. 1963, E6, СЛ59−171.

78. Широков А. П. О симметрических пространствах, определяемых коммутативными алгебрами 4-го порядка. -Уч.зап. Казанск. ун-та. 1966, T. I26, e I, С.60−80.

79. Широков П. А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах. -Изв. физ.-мат. общества при КГУ. Серия 2. 1925, т. 25, С.86−114.

80. Широков П. А. Симметрические пространства 1-го класса. -Уч. зап. Казанск. ун-та. 1954, т.114, ш 8, C.7I-82.

81. Широков П. А. Избранные работы по геометрии. -Казань: Изд. КГУ, 1966. -432 с.

82. Akbar-Zadeh H., Couty R. Espaces a tenseur de Ricci parallele admettant des transformations projectives.-Rend.mat.1978, v.11, No 1, p.85−96.

83. Akiba S. Submanifolds with flat normal connection and parallel second fundamental tensor. Sci. Repts Yokohama Nat.Univ.Sec.1, 1976, No 23, p.7−14.

84. Asperti A.C., Mercuri F. Semi-parallel immersions into space forms. Boll. Unione Mat.Ital. 1994, (7)8-B, p.833−895.88.