Асимптотическое при больших временах поведение решений некоторых аналогов уравнения Кортевега-де Фриза

Уравнение Кортевега-де Фриза.

Уравнение Кортевега-де Фриза, щ + 6 иих + иххх — О, выведенное в конце XIX века как уравнение длинных воли на мелкой воде, привлекло широкий интерес исследователей во второй половине XX века после того, как в 1967 г. Гарднером. Грином. Крускалом и Миурой был открыт точный метод интегрирования данного уравнения при помощи задачи рассеяния для стационарного уравнения Шредингера ([48]). Было продемонстрировано, что если уравнение КдФ записать в терминах данных рассеяния для стационарного уравнения Шредингера с потенциалом и (хЛ), зависящим, от дополнительного параметра ?. то уравнение КдФ принимает вид совокупности невзаимодействующих линейных осцилляторов. Таким образом, задача об интегрировании нелинейного дифференциального уравнения была сведена к последовательности линейных задач: кроме того, было показано, что преобразование рассеяния для решения уравнения КдФ играет такую же роль, как преобразование Фурье при решении линейных дифференциальных уравнений.

Точный метод интегрирования уравнения КдФ позволил дать исчерпывающий ответ на вопрос об асимптотическом поведении его решений (см. [49], |68|, [15]). Было показано, что любое быстроубывающее решение уравнения КдФ ведет себя при больших временах как совокупность N солитонов (соответствующих N собственным значениям оператора Шредингера с потенциалом и (х. 0}). взаимодействующих с сохранением формы.

Алгебраическая природа интегрируемости уравнения КдФ была вскрыта П. Лаксом ([59]), который показал, что уравнение КдФ можно записать как уравнение на динамику оператора Шредингера.

1).

Ь = —д2х + и (х, ?), А = - 7(и (х. Ь) дх + дхи), [•, •] коммутатор (2) 4 так называемое представление Лакеа). Данное уравнение представляет собой условие совместности уравнений при всех значениях спектрального параметра А. Представление (1) удалось также получить для некоторых других известных, нелинейных уравнений, включая кубическое уравнение Шредингера. уравнение бш-Гордон, уравнение Кадомцева-Петвиашвили и др. (см. например, ссылки, приведенные в обзоре [11] и монографии [16|). Эти результаты привели к бурному развитию метода точного решения некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений, названному методом обратной задачи рассеяния. В частности, было обнаружено, что решения многих уравнений, интегрируемых с помощью метода обратной задачи рассеяния, обладают свойствами, схожими со свойствами решений КдФ: например, для многих интегрируемых нелинейных уравнений существуют решения в виде совокупности N солитопов, взаимодействующих с сохранением формы.

Солитонообразные решения играют важную роль и в поведении решения задачи о распаде ступеньки для уравнения КдФ. В [14], [1] был исследован вопрос поведения решения задачи.

Ьф — А ф.

4).

Щ + '" и:. + Щ-: м: = О ххх и было показано, что в случае, когда и+ > гг асимптотика решения представляет собой волну разрежения, а в случае и+ < и- — бегущую волиу с со-литоноподобными осцилляциями на переднем фронте. В целом традиционно вопрос о существовании и поведении бегущих волн (в частности, солитонов) занимает центральное место в теории дисперсионных нелинейных сред.

Вязкостный аналог уравнения Кортевега-де Фриза — уравнение Кортевега-де Фриза-Бюргерса.

При описании явлений в средах, обладающих как дисперсией, так и диссипацией, используется вязкостный аналог уравнения КдФ уравнение Кортевега-де Фриза,—Бюргерса (КдФБ) щ + иих + иххх — Ьихх = 0, Ь > 0.

Данное уравнение встречается, например, в следующих областях:

• описание слабых ударных волн в плазме при учете электронной и ионной вязкости [50];

• описание продольных волн в вязкоупругом стержне [28]:

• гидродинамические модели транспортных потоков (модификация модели Лайтхилла-Уизема-Рнчардса) [8];

• дифференциальные аналоги дифференциально-разностных моделей математи ческой экономики (модель Полтеровича-Хенкина) [37];

• задача о стационарной структуре разрывов решений нелинейных гиперболических уравнений [29].

Присутствие вязкостного члена существенно изменяет поведение решения рассматриваемого уравнения. Например, в работе [42] показано, что наличие диссипации препятствует образованию солитонов: решение задачи Коши с убывающими начальными данными для КдФБ равномерно стремится к нулю с течением времени. Более сложным образом взаимодействуют диссипация и дисперсия в случае задали о распаде ступеньки. В работах [31], |32| показано, что при выполнении некоторого соотношения на коэффициенты дисперсии и диссипации бегущая волна для уравнения КдФБ ведет себя подобно бегущей волне для бездисперсионного аналога этого уравнения — уравнения Бюргерса, в частности, является монотонной. В случае же если указанное соотношение па коэффициенты нарушается, дисперсия в уравнении проявляется в виде осцилляций бегущей волны по пространственной координате.

С точки зрения изучения взаимодействия дисперсии и диссипации особенно интересным является рассмотрение так называемого обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса щ + {,[{и))х + иххх — Ьихх = О с неквадратичиой функцией потока /(и), возникающей, в основном., вне рамок задач гидродинамики. Как свидетельствуют результаты численного моделирования, проведеного в [29|, именно при рассмотрении неквадратичной функции потока наиболее существенно проявляется воздействие дисперсии в уравнении, приводящее к таким явлениям, как отсутствие решения типа бегущей волны для уравнения КдФБ или появление в асимптотике нестационарных периодических, структур. Таким образом, важно было бы. получить некоторые аналитические результаты о взаимодействии дисперсии/диссипации в вязкостном аналоге уравнения КдФ с неквадратичной функцией потока.

Необходимо отметить, что в целом ряде задач уравнение Кортевега-де Фриза-Бюргерса возникает как представитель целого семейства квазилинейных уравнений (включающего, в частности, уравнение типа закона сохранения и уравнение Бюргерса). Данное семейство может представлять из себя, например, семейство дифференциальных аналогов одного дифференциально-разностного уравнения. Поэтому актуальной является задача исследования того, насколько похоже поведение решений уравнений из данного семейства. Поведение решения задачи Коши для уравнения тина закона сохранения.

Щ + (Д'О), = о и обобщенного уравнения Бюргерса (/(>).),. — Ьихх = 0 (5) с начальными данными и (х, 0) = Щ){х), Нт щ (х) — и±изучалось в [54] для /(и) = и2 и в [17]. В [17] показано, что если и+ > и. и и) выпуклая, то асимптотика имеет вид волны разрежения. Если щ < и-, то асимптотика представляет из себя ударную волну в случае закона сохранения и монотонную бегущую иол ну в случае уравнения Бюргерса-, причем критерием существования такого решения является то, что /(и) удовлетворяет энтропийным условиям на (и+, и-).

Решение задачи Коши для закона сохранения в случае произвольной /(и) исследовано в [27]. Асимптотика имеет вид системы чередующихся ударных волн и волн разрежения: если и+ < и~, то тем участкам, па которых выпуклое замыкание /(и) совпадает с самой функцией /(и), соответствуют волны разрежения, остальным участкам. ударные волны.

Для дифференциально. разностного аналога уравнения Бюргерса. асимптотика также представляет из себя систему волн: тем участкам, на которых выпуклое замыкание /(и) совпадает с самой функцией /(и), соответствуют волны разрежения, остальным участкам — бегущие волны (см. [52],[53]). Кроме того, сдвиги фаз волн в этом случае могут зависеть от времени. Данный результат для уравнения Бюргерса доказан в [7].

Для обобщенного уравнения КдФБ а, + (/(«)),• + аиххх — Ьихх = 0 (6) в случае, когда /(и) выпукла и и+ > V—, волна разрежения является глобально устойчивой, как для закона сохранения и уравнения Бюргерса (см. [45]). Слу чай и+ < г1, как было указано выше, исследован для функции ]: (и) — и2 в работах [31], [32]. Если выполнено условие на параметры задачи Ь 2у/и- - и+, (7 а то бегущая волна для уравнения КдФБ существует, монотонна и локально устойчива ([31]). Если (7) нарушается, то бегущая волна для уравнения КдФБ существует, но не является монотонной. В [32] доказана локальная устойчивость немонотонной бегущей волны при небольших отклонениях Ь/ /Щ от.

2 у/и- - и+.

Устойчивость монотонной бегущей волны для обобщенного уравнения КдФБ со строго выпуклой функцией потока ¡-(и) была исследована в цикле работ, берущем начало от статьи [67] и включающем, в частности, работы [46], [65], [71]. В этих работах было продемонстрировано, что решение задачи Ко-ши для обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса с начальными данными, представляющими собой небольшое возмущение монотонной бегущей волны, сходится к данной бегущей волне. При этом скорость сходимости зависит от локализованности начального возмущения. В частности, в [65] была построена следующая оценка: гrщw (x, t) = / (и ({Л)-(р ({-М+аМ, иф) = / оо —ОС начальные данные задачи Коши для обобщенного уравнения КдФБ, (р — бегущая волна со скоростью А, а — подходящий сдвиг фазы, С — независимая константа, |ги|а =|| (1 + (ж — ж*)2)^кЦьде), х* — значение, удовлетворяющее /'(у?(ж*)) = Л. В [71] было показано, что если возмущение монотоной бегущей волны является экспоненциально локализованным, то имеет место сходимость решения соответствующей задачи Коши к бегущей волне с экспоненциальной скоростью. Наконец, в [46], [71] был приведен критерий существования монотонной бегущей волны для обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса:

7Н > 2л//7(^) — А, а > 0. Д.

— 2у/Х — Г{и+), а < 0, «- и+.

Таким образом, условие (8) представляет собой условие доминирования диссипации над дисперсией в обобщенном уравнении Кортевега-де Фриза-Бюргерса с выпуклой функцией потока в том смысле, что при выполнении данного условия бегущая волна для обобщенного уравнения КдФВ ведет себя подобно бегущей волне для обобщенного уравнения Бюргерса. а именно, существует, единственна, монотонна, и локально устойчива. В данной работе изучается влияние дисперсионного составляющего на поведение решения уравнения (6), в частности, при отказе от строгой выпуклости ]'{и) или от условия монотонности бегущей волны (8).

2 + 1)-мерный аналог уравнения Кортевега-де Фриза — уравнение Веселова-Новикова.

При построении обобщений уравнения КдФ на более высокие размерности возникают различные аналоги данного уравнения. Так, известное уравнение Кадомцева-Петвиашвили получается при учете небольших возмущений соли-то иного решения уравнения КдФ по второй координате. Уравнение Захарова-Кузнецова, возникающее при описании распространения вдоль магнитного поля нелинейных иопно-акустических волн в плазме, переходит в уравнение.

КдФ, если решение зависит от одной пространственной координаты. Однако математически наиболее естественным (2+1)-мерным обобщением уравнения КдФ является уравнение Веселова-Новикова.

Кроме того, что данное уравнение при и = u (xi, t), w — w (x, ?) сводится к классическому уравнению КдФ, оно к тому же является интегрируемым с помощью метода обратной задачи рассеяния для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энергии. Наконец, при Е —> ±-оо уравнение Веселова-Новикова сводится к уравнениям Кадомцева-Петвиашвили I и II со ответств ен но.

Можно говорить, что уравнение Веселова-Новикова впервые было получено в неявном виде в работе [30]. При попытке обобщения представления (1) на двумерный случай было обнаружено, что данное представление выполняется толвко в случае, если L и, А — операторы с постоянными коэффициентами или если оператор L по одной из переменной является оператором дифференцирования порядка не выше первого ([30]). Однако C.B. Манаков в [30] показал, что в двумерном случае вместо представления (1) правильнее рассматривать представление вида где В. некоторый дифференциальный оператор, подчиненный, А и Ь) или, другими словами, искать условие совместности уравнений (3)-(4) при одном фиксированном значении А. Пред ста вление (9) для двумерного уравнения Шредингера было найдено в [5], [6], где также была построена иерархия эволюционных уравнений, интегрируемых при помощи метода обратной задачи рассеяния для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энергии. В частности, данная иерархия включает в себя приведенное выше, а = 4R, e (4д*и + dz (uw) — Edzu), dsw = — 3dzu, и = и, Е G К. 2 = Х + 1×2• дЬ.

9).

2 + 1)-мерное уравнение третьего порядка, называемое уравнением Веселова-Новикова.

В данной работе изучается вопрос асимптотического поведения решения задачи Коши для уравнения Веселова-Новикова. Рассматриваются регулярные, убывающие при —> оо решения задачи Копти. Особое внимание уделяется вопросу существования или отсутствия солитонов для уравнения Веселова-Новикова.

Цель работы. При исследовании вязкостного аналога уравнения КдФ .- уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса — предполагается исследовать взаимодействие диссииационной и дисперсионной составляющей уравнения. Данное исследование проводится в Плаве 1 на основе анализа существования/устойчивости бегущей волны для уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса.

В § 1.1 рассматривается вопрос существования бегущей волны для обобщенного уравнения КдФ Б. Для КдФ Б с /(и) = и2 существование бегущей волны было доказано в (44). Для. обобщенного уравнения КдФ Б с выпуклой функцией потока в [46], [71] было построено условие (которое мы будем называть условием монотонности бегущей волны), являющееся критерием существования монотонной бегущей волны. В данной работе показано, что если /(-и) — произвольная выпуклая на. (и+, и-) функция, а условие монотонности бегущей волны нарушается, то решение вила бегущей волны для обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса может отсутствовать. Кроме того, продемонстрировано, что при выполнении условия монотонности бегущей волны нельзя ослабить требование выпуклости функции потока ,/'(//). заменив его на энтропийные условия: показано, что в этом случае решение вида бегущей волны может также отсутствовать.

В § 1.2 изучается вопрос о локальной устойчивости монотонной и немойотонной бегущих волн: результаты [31], [32] обобщаются на случай произвольной выпуклой /(и). Данные результаты представляют собой аналитическое подтверждение численных результатов [29], согласно которым бегущая волна для обобщенного уравнения КдФБ является устойчивой по отношению к возмущениям малой амплитуды. Отметим, что хотя при использовании метода работ [31], [32] оценка скорости сходимости возмущенного решения обобщенного уравнения КдФБ к монотонной бегущей волне получается хуже, чем в [65], тем не менее, данный метод позволяет отказаться от требования строгой выпуклости /(и), которое в [65] является существенным. а также данный метод применим в немонотонном случае.

В § 1.3 формулируется и доказывается теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обобщенного уравнения Кортевега-де Фрпза-Бюргерса с произвольной бесконечно гладкой функцией потока, обладающей ограниченными производными.

При рассмотрении двумерного обобщения уравнения КдФ уравнения Веселова-Новикова исследуется, как изменяются свойства данного нелинейного интегрируемого уравнения при переходе к более высокой размерности. Прежде всего, рассматриваются решения, построенные по методу обратной задачи для двумерно!-о уравнения Шредингера. В случае, когда уравнения задачи рассеяния не являются всюду разрешимыми, основной целью исследования является выяснение возможности существования бегущих волн (солитопов) для уравпепиия Веселова-Новикова.

Анализ асимптотического поведения уравнения Веселова-Новикова проводится в Главе 2 на основе применения метода обратной задачи рассеяния. В § 2.1 формулируется изучаемая задача. В § 2.2 приводятся необходимые для дальнейшего изложения сведения из теории рассеяния для двумерного уравнения Шредингера. Задача построения теории обратной задачи рассеяния для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энергии была поставлена С. П. Новиковым. Решению этой задачи посвящены работы [10]. [12[. [13]. [33J, [35], [51]- см. также обзор [11]. Основной вклад в построение этой теории внесли П. Г. Гргшевич, C.B. Манаков, Р. Г. Новиков, С. П. Новиков.

Связь между начальными данными и данными рассеяния может быть достаточно сложной, поэтому зачастую принято вместо решения задачи Коши для нелинейного уравнения, отвечающего начальным данным определенного класса, исследовать решение этого уравнения, построенного по данным рассеяния, принадлежащим, определенному классу. Именно такое исследование проводится для уравнения Веселова-Новикова при Е Ф 0 в § 2.3. Изучаются решения, построенные по данным рассеяния, которые являются всюду определенными, достаточно гладкими и быстро убывающими, а также обладающими определенными свойствами симметрии. Показано, что такие решения равномерно убывают с течением времени, также найдена скорость этого убывания. Аналогичная задача для уравнений Кадомцева-Петвиашвили была рассмотрена в работах. |60|, [251.

В § 2.4 изучается более частный вопрос о существовании солитонов душ уравнения Веселова-Новикова без особых предположений относительно данных рассеяния. В случае Е > 0 данный вопрос исследуется в работах [10), [64]: в [10] был построен класс рациональных сол итогигых. решений уравнения Веселова-Новикова с Е > 0, убывающих как О (щ?) (см. также [57]) — в [64] было показано, что не существует экспоненциально убывающих солитонов для уравнения Веселова-Новикова при Е > 0. В данной работе результат работы [64] переносится на случай отрицательной энергии. Исследование существования еолитоиных решений для уравнения Кадомцева-Петвиашвили можно найти, например, в [47].

В данной работе рассматривается также уравнение Веселова-Новикова при пулевой энергии. Задача рассеяния для двумерного уравнения Шрединге-ра на нулевом уровне энергии подробно исседовалась в |43|, [69]. Кроме того, было показано (см. [34], [62], [61]), что задача рассеяния для двумерного уравнения Шредиигера па нулевом уровне энергии тесно связана с задачей Гельфанда-Калъдероиа о проводимости. Поэтому в данной работе исследуются решения уранения Веселова-Новикова с Е = 0 так называемого копдук-тивного тина. Потенциалы кондуктивиого типа естественно возникают при сведении задачи Гельфанда-Кальдероиа к задаче рассеяния для двумерного уравнения Шредиигера с нулевой энергией. В данной работе демонстрируется, что для уравнения Веселова-Новикова с Е = 0 отсутствуют солитоны кондуктивиого типа. Дополнительные результаты о поведении решений уравнения Веселова-Новикова при нулевой энергии можно найти в [39].

В Приложении настоящей работы приведены доказательства, некоторых вспомогательных лемм.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, харак-теризущиеся научной новизной:

1. Аналитически продемонстрировано, что в случае когда функция потока, — произвольная выпуклая на (гфункция, для обобщенного уравнения КдФБ может возникать новый эффект по сравнению с уравнением Бюргерса и уравнением КдФБ с квадратичной функцией потока: отсутствие бегущей волны.

2. Доказаны теоремы о локальной устойчивости монотонной и немонотонной бегущей волны для обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса с произвольной выпуклой функцией потока.

3. Решена задача об асимптотическом поведении решения уравнения Веселова-Новикова при ненулевой энергии (решения, являющегося прозрачным потенциалом в случае положительной энергии) в регулярном случае. В случае отрицательной энергии доказана оптимальность полученной оценки.

4. Доказано отсутствие экспоненциально локализованных солитонов для уравнения Веселова-Новикова с отрицательной энергией и отсутствие солитонов кондуктивного тина для уравнения Веселова-Новикова с нулевой энергией.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.

Исследование обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса вносит вклад в понимание взаимодействия дисперсионных и диссипационных процессов в нелинейных среда, х. Результаты о существовании и устойчивости бегущей волны для обобщенного уравнения КдФБ объясняют некоторые свойства асимптотического поведения решения данного уравнения, полученные численно в работах А. Г. Куликовского, А. П. Чугайновой. Результаты могут быть использованы при построении асимптотики на больших временах решения обобщенного уравнения КдФБ с произвольной выпуклой функцией потока.

Результаты об асимптотическом поведении решения уравнения Веселова-Новикова вносят вклад в теорию интегрируемых нелинейных систем, в частности, в понимание механизма формирования солитонов для нелинейных интегрируемых уравнений.

Результаты работы об асимптотическом поведении решения уравнения Веселова-Новикова вносят вклад в теорию интегрируемых нелинейных уравнений и, в частности, в понимание механизма формирования солитонов. Результаты работы свидетельствуют о том, что солитоны уравнения появляются в результате нерегулярности связанной с данным уравнением задачи рассеяния. Кроме того, из результатов работы следует, что в отличие от одномерного случая, все солитоны уравнения Веселова-Новикова являются достаточно медленно (медленнее, чем экспоненциально) убывающими.

Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. профессору A.A. Шананину и д.ф.-м.н. профессору Р. Г. Новикову за постановки задач и постоянное внимание к работе, а также д.ф.-м.н. профессору Г. М. Хенки-ну и к.ф.-м.н. доценту A.B. Гасникову за обсуждение работы и ряд ценных замечаний.

Работа поддержана грантами РФФИ № 08−07−158, РГНФ № 08−200 347. Работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 — 2013 годы (1.2.1, НК-15П (3)).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Аналитически продемонстрирован новый эффект, отличающий обобщенное уравнение КдФБ от обобщенного уравнения Бюргерса и уравнения КдФБ с квадратичной функцией потока: отсутствие бегущей волны. Данный эффект возникает при отказе от требования выпуклости функции /(и) или от условия монотонности (условия, обеспечивающего монотонность бегущей волны, в случае если она существует).

2. Результаты П. И. Наумкина, И. А. Шишмарева о локальной устойчивости монотонной и немонотонной бегущей волны перенесены на случай произвольной не строго выпуклой функции потока, а также получена оценка скорости сходимости решения задачи Коши для уравнения КдФБ к данной бегущей волне.

3. Получен ответ на вопрос об асимптотическом поведении решений уравнений Веселова-Новикова при ненулевой энергии (решений, являющихся прозрачными потенциалами в случае положительной энергии) в регулярном случае: показано, что данные решения равномерно убывают с течением временипостроена оценка скорости убывания. Для случая отрицательной энергии доказана оптимальность полученной оценки.

4. Получены первые результаты о солитонах уравнения Веселова-Новикова на неположительном уровне энергии: доказано отсутствие экспоненциально убывающих солитонов на отрицательном уровне энергии и солитонов кондуктивиого типа на нулевом уровне энергии.