Полукольцевые объединения кольца и полутела

Диссертация посвящена изучению полукольцевых дизъюнктных объединений колец и полутел — класса полуколец с единицей, состоящих из непересекающихся кольца и полутела.

Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и является активно развивающимся разделом современной алгебры. Пример полукольца идеалов кольца с операциями сложения и умножения идеалов можно найти уже в работе Дедекинда [34]. Теория полуколец находит применение в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, дискретной математике, теории оптимального управления и других разделах математики [16, 36, 38]. Ей посвящены монографии Голана [36, 37], Хебиша и Вайнерта [38]. Обширный библиографический список по полукольцам представлен в обзоре Глазека [35]. Отметим работы российских математиков: Е. М. Вечтомова [6, 7], И. И Богданова [3, 4], А. Н. Семенова [20, 19], В. В. Чермных [31, 32], С. Н. Ильина [12, 13], О. В. Старостиной [24, 25]. Систематическим изучением полуколец непрерывных функций занимаются Е. М. Вечтомов и его ученики. Результаты их исследований отражены в кандидатских диссертациях [21, 17, 18, 33].

Впервые строгое определение полукольца дано Вандивером [40].

Полукольцом называется алгебра (5, •, 0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения •. При этом (5, +, 0) — коммутативный моноид, (5*, •) — полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон, 0−5 = 5−0 = 0 для любого элемента й из 5. Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полу телом с нулем. Если из полутела Б с 0 исключить 0, то получим структуру.

S, +, ¦}, которую будем называть полутелом.

Класс полуколец содержит такие хорошо известные алгебраические объекты как ассоциативные кольца, ограниченные снизу дистрибутивные решетки, ряд числовых систем, а также полутела с нулем. Для получения новых классов полуколец естественным является исследование полуколец, сводящихся к указанным типам полуколец: кольцам, ограниченным снизу дистрибутивным решеткам и полутелам с нулем. В [36] дается описание полуколец, являющихся подпрямым произведением некоторых кольца и дистрибутивной решетки. Работы [8, 10, 24, 25] посвящены изучению абелево-регулярных положительных полуколец, строение которых однозначно определяется дистрибутивной решеткой идемпотентов L (S), полутелом обратимых элементов U{S) и каноническим антигомоморфизмом L (S) —> ConU (S), где ConU (S) — решетка конгруэнции полутела U (S).

Важным подходом к исследованию структуры полуколец является представление полуколец в виде расширений полуколец из более хорошо изученных классов.

Полукольцо S называется 0-расширением полукольца К с помощью полукольца Т, если на S существует такая конгруэнция р, что К = [0]р и S/p = Т. Полукольцо S с единицей называется 1-расширением полукольца К, возможно без нуля, с помощью полукольца Т, если на S существует конгруэнция сг, для которой S/а = Т и К = [1]а.

Е.М. Вечтомов в [5] доказал, что любое полукольцо S является 0-расширением кольца с помощью положительно упорядоченного полукольца. Любое абелево-регулярное положительное полукольцо S является 1-расширением полутела обратимых элементов U (S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки [8]. В работе А. Н. Семенова [20] доказано, что всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела.

Полукольцо 5 с единицей (1⁰) назовем 0−1 -расширением полукольца К и полукольца Р, возможно не имеющего нуля, при помощи полукольца Г, если на Б существует конгруэнция р такая, что Б/р = Т, [0], = К и [1]р — Р.

Мы рассматриваем 0−1-расширения кольца и полутела, в которых роль класса нуля конгруэнции играет некоторое кольцо, а роль класса единицы — некоторое полутело II. Для выяснения структуры таких 0−1-расширений необходимым является изучение полукольцевых дизъюнктных объединений.

Полукольцо Б с мультипликативной единицей 1 назовем полукольцевым дизъюнктным объединением кольца В. и полутела II и обозначим ЯОи, если оно является объединением своих непересекающихся подмножеств г (Б) = {г Е Б: зг е Б^ + г = 0} и и (Б) = {и? Б: Эу е Б, ии = ии — 1}, причем г (Б) = Ди 11(Б) ^ и.

В работе развита структурная теория полукольцевых дизъюнктных объединений, которая позволяет решать конкретные вопросы о свойствах полуколец из этого класса. Основными результатами диссертации можно считать следующие:

1) Строение полукольцевых объединений сведено к строению полукольцевых дизъюнктных объединений кольца и полутела (замечания 3.6, 3.7).

2) Приведены определяющие свойства колец, для которых существуют нетривиальные дополнения до полукольцевого дизъюнктного объединения (теорема 4.1).

3) Дано характеристическое свойство полутел, для которых существует нетривиальное дополнение до полукольцевого дизъюнктного объединения (теорема 5.1).

4) Для колец построены всевозможные полутела, допускающие полукольцевые дизъюнктные объединения с этими кольцами (свойства 4.1, 4.8, предложения 4.2, 4.3, теорема 4.3).

5) Для полутел построены все кольца, допускающие с ними полукольцевые дизъюнктные объединения (теорема 5.2, предложение 5.2).

6) Приведен пример кольца Я и полутела С/, для которых существуют неизоморфные полукольцевые дизъюнктные объединения (предложение 6.2, теорема 6.1).

7) Доказана модулярность решетки конгруэнций полукольцевого дизъюнктного объединения (предложение 8.2). Показано, что дистрибутивность решетки идеалов кольца Я и дистрибутивность решетки конгруэнций полутела II влекут дистрибутивность решетки конгруэнций ЯОи (предложение 8.3).

Диссертация состоит из трех глав, разделенных на девять параграфов, и списка литературы.

1. Андрунакевич, В. А. текст. / В. А. Андрунакевич, Ю. М. Рябухин Радикалы алгебр и структурная теория. — М: Наука, 1979. — 496 с.

2. Биркгоф, Г. текст. / Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. — 568 с.

3. Богданов, И. И. Полимиальные соотношения в полукольцах: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 20. 02. 2004 / И. И. Богданов. МГУ. — М., 2004. — 72 с.

4. Богданов, И. И. Об аддитивной структуре полутел текст. / И. И. Богданов // Вест. Моск. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. -2004. № 21. — С. 48−50.

5. Вечтомов, Е. М. Две общие структурные теоремы о полумодулях текст. / Е. М. Вечтомов// Абелевы группы и модули. Сб. статей / Под ред. А. В. Михалева. Томск: ТГУ, 2000. — Вып. 15. — С. 17−23.

6. Вечтомов, Е. М. О трех радикалах для полумодулей текст. / Е. М. Вечтомов // Вестник ВятГГУ. 2005. — № 13. — С. 148−151.

7. Вечтомов, Е. М.

Введение

в полукольца текст. / Е. М. Вечтомов. -Киров: Вятск. гос. пед. ун-т, 2002. 44 с.

8. Вечтомов, Е. М., Абелево-регурярные положительные полукольца текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Михалев, В. В. Чермных // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. — Т 20. — С. 282−309.

9. Вечтомов, Е. М. О решетке конгруэнций полутел текст. / Е. М. Вечтомов, А. Н. Семенов // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. Тезисы докладов. М.: МГУ, 2004. — С. 27−29.

10. Вечтомов, Е. М. Структура абелевог-регулярных положительных полуколец текст. / Е. М. Вечтомов, О. В. Старостина // Успехи математических наук. 2007. — Т. 62. — Вып. 1. — С. 199−200.

11. Гретцер, Г. Общая теория решеток текст. / Г. Гретцер. М.: Мир, 1982. — 456 с.

12. Ильин, С. Н. Критерий регулярности полных матричных полуколец текст. / С. Н. Ильин // Матем. заметки. 2001. — Т. 70. — Вып. 3. С. 366−374.

13. Ильин, С. Н. Полукольца, над которыми любой полумодуль инъек-тивен (проективен) текст./ С. Н. Ильин // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2006. — Вып. 8. — С. 50−53.

14. Кон, П. Универсальная алгебра текст. / П. Кон. М.: Мир, 1968. 352 с.

15. Ламбек, И. Кольца и модули текст. / И. Ламбек. М.: Мир, 1971. 280 с.

16. Маслов, В. П. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении текст. / В. П. Маслов, В. Н. Колокольцов М.: Наука, 1994 — 144 с.

17. Подлевских, М. Н. Полукольца непрерывных функцией с топологией поточечной сходимости: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01. 01.06: защищена 15.11.1999 / М. Н. Подлевских. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1999. — 88 с.

18. Ряттель, А. В. Положительно упорядоченные полутела: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01.01.06 защищена 17. 03. 2003/ А. В. Ряттель. Киров: ВятГГУ, 2002. — 89 с.

19. Семенов, А. Н. О строении полутел текст. / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. 2003. — № 8. — С. 105−107.

20. Семенов, А. Н. О решетке конгруэнций полутел текст./ А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. 2003. — № 9. — С. 92−95.

21. Семенова, И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 11. 01. 1999 / И. А. Семенова. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1998. — 78 с.

22. Скорняков, Л. А. Элементы теории структур текст. / Л. А. Скорняков. М.: Наука, 1982. — 160 с.

23. Скорняков, Л. А. Элементы общей алгебры текст. / Л. А. Скорняков. М.: Наука, 1983. — 272 с.

24. Старостина, О. В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец текст. / О. В. Старостина // Чебышевский сборник. -2005. Т. 6. — Вып. 4 (16). — С. 142−151.

25. Старостина, О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 29. 10. 2007 / О. В. Старостина. Киров: ВятГГУ, 2007. — 90 с.

26. Фэйс, К. Алгебра: Кольца, модули и категории текст. / К. Фэйс. -Т. 1. М.: Мир, 1977. — 688 с.

27. Фэйс, К. Алгебра: Кольца, модули и категории текст. / К. Фэйс. -Т. 2. М.: Мир, 1979. — 464 с.

28. Херстейн, И. Некоммутативные кольца текст. / И. Херстейн. М.: Мир, 1972. — 192 с.

29. Черанева, А. В. О сократимых конгруэнциях на полутелах текст. / А. В. Черанева // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2005. — Вып. 3. — С. 160−163.

30. Черанева, А. В. О конгруэнциях на полутелах текст. / А. В. Черанева // Чебышевский сборник. 2005. — Т. 6. — Вып. 4 (16). — С. 164−171.

31. Чермных, В. В. Полукольца текст. / В. В. Чермных. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1997. — 131 с.

32. Чермных, В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей: дис.. док. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 28. 06. 2007 / В. В. Чермных. Киров: ВятГГУ, 2007. — 234 с.

33. Широков, Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 19. 12. 2005 / Д. В. Широков. Киров: ВятГГУ, 2005. — 83 с.

34. Dedekind, R. Uber die Theorie ganzen algebraischen Zahlen textj / R. Dedekind // Suplement XI to P.G. Lejeune Dirichet: Vorlesungen Uber Zahlentheorie, 4 Ansfl., Druck und Verlag, Braunschweig, 1894.

35. Glazek К. A. Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Sceinces. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2002.

36. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, 1992. V. 54. — 318 p.

37. Golan J. S. Semirings and their applications text. / J. S. Golan. -Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 1999. 381 p.

38. Hebisch, U. Semirings. Algebraic theory and applications in computer science text. / U. Hebisch, H. J. Weinert // World Scientific Publishing. Singapore, 1998.

39. Hutchins, H. C. Homomorphism and kernels of semifilds text. H. C. Hutchins, H. J. Weinert // Periodica Mathematica. 1990. — V. 21(2). — P. 113−152.

40. Vandiver, H.S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold text. / H. S. Vandiever // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. — V. 40. — № 12. P. 914−920Публикации автора по теме диссертации.

41. Вечтомов, Е. М. Расширения Кольца и полутела текст. / Е. М. Вечтомов, М. А. Лукин // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2005. — Вып. 3. — С. 128−131.

42. Лукин, М. А. Дизъюнктное полукольцевое объединение кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Чебышевский сборник. 2005. -Т. 6. — Вып. 4(16). — С. 138−148.

43. Лукин, М. А. О строении полутел, состоящих в полукольцевом дизъюнктном объединении с кольцом текст. / М. А. Лукин // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2006. — Вып. 8. — С. 77−84.

44. Лукин, М. А. Об идеалах и конгруэнциях на полукольцевом объединении кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Математика. Образование. Материалы XV международной конференции. Чебоксары: Чуваш, гос. ун-т, 2007. — С. 243−244.

45. Лукин, М. А. О полукольцах с обратимой суммой обратимых элементов текст. / М. А. Лукин // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2007. — Вып. 4. — С. 165−168.

46. Лукин, М. А. Конгруэнции на полукольцевых объединениях кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2007. — Вып. 9. -С. 50−57.

47. Лукин, М. А. О полукольцевом объединении кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Международная конференция «Алгебра и ее приложения». Тезисы докладов. Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2007. — С. 85−86.

48. Лукин, М. А. О полукольцевых объединениях кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Известия вузов. Математика. 2008. -№ 12. — С. 76−80.