Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для параболического уравнения с оператором Бесселя

Уравнения параболического типа встречаются во многих разделах математики и математической физики. В литературе по дифференциальным уравнениям в частных производных посвящены многочисленные исследования параболическим уравнениям или системам таких уравнений и, в частности, уравнению теплопроводности с начальным и граничными условиями, например, [17], [18], [32], [33], [51].

В теории дифференциальных уравнений в частных производных значительный интерес вызывают вырождающиеся и сингулярные уравнения, в том числе и уравнения, содержащие дифференциальный оператор Бесселя.

Д, = —+ -—, к> 0. кд ду2 у ду'.

Указанные уравнения часто встречаются в приложениях, например, в задачах с осевой симметрией в механике сплошной среды. Интерес к задачам, связанным с оператором Бесселя известен и со стороны других разделов физики.

Надо отметить, в задачах общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, содержащих по одной или нескольким переменным оператор Бесселя, основным аппаратом исследования является соответствующее многомерное интегральное преобразование Фурье-Бесселя.

Как известно, есть много параллелей между эллиптическими и параболическими уравнениями. В теории параболических уравнений, по одной из переменных которых действует сингулярный оператор Бесселя (0.1) также можно найти много общего с теорией эллиптических уравнений, по одной из переменных которых действует сингулярный оператор Бесселя.

Ави = 0. (0.2).

Уравнения (0.1) и (0.2) И. А. Куприяновым [20] были названы соответственно 5-параболическими и В-эллиптическими уравнениями, когда на характеристической части границы задано условие типа четности, т. е. граничное условие.

97/ 0. дсср хр=0.

Здесь, А в — Ах/ + Дгр, Ах> - оператор Лапласа, х' — (х ВХр — оператор Бесселя.

Впервые фундаментальные решения уравнения (0.2) при к = 1 и р — 2 были построены Е. Beltrami [52]. А. Вайнштейном (А. Weinstein) [53] этот результат был распространен на любое значение к > 0, а И. А. Куприяновым и В. И. Кононенко [21], [22] - на общие линейные Б-эллиптические уравнения. В этих работах фундаментальные решения с особенностью в произвольной точке построены с помощью оператора обобщенного сдвига [34]. Такие фундаментальные решения применялись к исследованию краевых задач с условием типа четности на характеристической части границы.

В дальнейшем теорию эллиптических уравнений, по одной из переменных которых действует сингулярный оператор Бесселя, развивали Н. Раджабов [43], Ф. Г. Мухлисов [39], P.M. Асхатов [1] и др.

В работе Я. И. Житомирского [16] была изучена задача Коши для параболической системы линейных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными х и t, содержащих оператор Бесселя.

Найдены классы корректности задачи Коши. Для решения этих вопросов им был использован метод интегрального преобразования Фурье-Бесселя по переменной х.

Фундаментальные матрицы решений параболических систем, содержащих оператор Бесселя, использовались в работах В.В. Крехивско-го, М. И. Матийчука [29], [30], и М. И. Матийчука [36], [37] для установления априорных оценок решений краевых задач по норме.

С.А. Терсеневым [48] были построены потенциалы для одного параболического уравнения с оператором Бесселя и для этих потенциалов установлены оценки в различных функциональных пространствах.

В работе И. А. Киприянова, В. В. Катрахова, В. М. Ляпина [23] изучаются краевые задачи для параболических систем общего вида, в которых по одной из пространственных переменных действует сингулярный оператор Бесселя, в цилиндрической области, основанием которой является область, прилегающая к гиперплоскости, где сосредоточены особенности. Указанные краевые задачи рассматриваются в классах Гельдера и в весовых функциональных пространствах.

Связь теории сингулярных уравнений с теорией вырождающихся уравнений позволяет применить к ней методы, разработанные для последних. Вырождающиеся уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа и число опубликованных работ по этой тематике весьма значительно. Так, в работах К. Б. Сабитова [44], [45] исследованы краевые задачи для уравнения смешанного типа и выяснены их корректность.

Задача Коши и краевые задачи для параболических уравнений с оператором Бесселя изучены сравнительно мало. В этом направлении в основном исследования проводились методами функционального анализа. В прикладных задачах важное значение имеют классические методы решения краевых задач и задачи Коши для параболического уравнения с оператором Бесселя, с помощью которых решения этих задач представляется в виде ряда, интеграла или эти задачи сводятся к более простым задачам — интегральным уравнениям, решения которых могут быть найдены с любой степенью точности методом последовательного приближения.

В данной работе задача Коши для однородного и неоднородного^{-параболического} уравнения решается методом интегрального преобразования Фурье-Бесселя. Краевая задача в четверти пространства для параболического уравнения с оператором Бесселя с нулевым граничным условием на характеристической части границы решается методом интеграла Фурье-Ханкеля. Решения данных задач строятся в явном виде. Первая краевая задача для ¿-^-параболического уравнения в произвольной области с гладкой границей решается методом потенциала. Строятся аналоги тепловых потенциалов и с помощью их первая краевая задача для этого уравнения сводится к интегральному уравнению второго рода. Также первые краевые задачи для параболических уравнений с оператором Бесселя в цилиндре, полуцилиндре, полушаре решаются методом Фурье. Решение представляется в виде рядов по тригонометрическим функциям, бесселевым функциям, многочленам Якоби (Гегенбауэра) или весовым сферическим функциям.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Асхатов P.M. Принцип экстремума и задача Дирихле для одного сингулярного эллиптического уравнения в многомерном случае / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 1999. — 14 с. — Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, N 3525-В99.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973. т. 1. — 294 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1974. т. 2. — 295 с.

4. Берс JL, Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. — 352 с.

5. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. — 4.1. М.: ИЛ, 1949. -798 с.

6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 4-е изд. -М.: Наука, 1981. 512 с.

7. Гарипов И. Б. О задаче Коши для одного В-параболического уравнения // Труды математич. центра им. Н. И. Лобачевского (Материалы Междунар. науч. конф. (Казань, 1.10−3.10.2000)). Т. 5. — Казань.: УНИПРЕСС, 2000. — С. 65−66.

8. Гарипов И. Б. Краевая задача для одного Б-параболического уравнения / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. 13 с. -Деп. в ВИНИТИ 17.11.00, N 2930 — В00.

9. Гарипов И. Б. О задаче Коши для одного вырождающегося параболического уравнения // Труды математич. центра им. Н. И. Лобачевского (Материалы межвуз. науч. конф. (Казань, 22.10−24.10.2001)).- Т. И. Казань.: УНИПРЕСС, 2001. — С. 65−67.

10. Гарипов И. Б. Решение краевой задачи для Б-параболического уравнения методом Фурье в прямоугольнике // Труды 12-й науч. межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи». — Ч. 3. СамГТУ, ИАР. Самара, 2002. — С. 27−29.

11. Гарипов И. Б. Решение первой краевой задачи для Б-параболичес-кого уравнения методом потенциалов // Изв. вузов. Математика. -2002. N9(484). — С. 60−63.

12. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. 1100 е., илл.

13. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя // Матем. сб. 1955. — т. 36(78). — вып. 2. — С. 299−310.

14. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук.- 1962. т. 17. — N 3(105). — С. 3−146.

15. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи матем. наук. 1960. — т. 15. — N 2. — С. 97−154.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматгиз, 1961. — 703 с.

17. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. — М.: Наука. Физматлит, 1997. 208 с.

18. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1966. — т. 170. — N 2. — С. 261−264.

19. Киприянов И. А., Кононенко В. И. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. 1967. — т. 3- N 1, — С. 114−129.

20. Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М. О краевых задачах в областях общего вида для сингулярных параболических систем уравнений // ДАН СССР. 1976. — т. 230. — N 6. — С. 1271−1274.

21. Киприянов И. А., Ключанцев М. И. О функциях Грина для задач с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1968. — т. 183. — N 5. — С. 1005−1007.

22. Киприянов И. А., Ключанцев М. И. О ядрах Пуассона для краевых задач с дифференциальным оператором Бесселя // Дифференциальные уравнения с частными производными. М., 1970. — С. 119 134.

23. Ключанцев М. И. Формула представления решений неоднородной краевой задачи с оператором Бесселя // Дифференц. уравнения.1969. т. 5 — N 12 — С. 2237−2244.

24. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. 712 е., илл.

25. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. 304 с.

26. Крехивский В. В., Матийчук М. И. Фундаментальные решения и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Бесселя // ДАН СССР. 1968. — т. 181. — N 6. — С. 1320−1323.

27. Крехивский В. В., Матийчук М. И. О краевых задачах для параболических систем с оператором Бесселя // ДАН СССР. 1971. — т. 199. — N 4. — С. 773−775.

28. Крикунов Ю. М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. — Казань: Изд-во Казанского унив-та, 1970. 209 с.

29. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейнные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. 736 с.

30. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. — М.: Наука, 1971. 288 е., илл.

31. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи матем. наук. 1951. — т. 6. — N 2. — С. 102−143.

32. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы // Дифференц. уравнения. 1985. -т. 21. — N 6. — С. 1020−1032.

33. Матийчук М. И. Фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применения к краевым задачам. II // Диференц. уравнения. 1975. — т. И. — N 7. — С. 1293−1303.

34. Матийчук М. И. Фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применения к краевым задачам. III // Диференц. уравнения. 1978. — т. 14. — N 2. — С. 291−303.

35. Михлин С. Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968. -576 е., илл.

36. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс.док. физ.-мат. наук. — Казань, 1993. 324 с.

37. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Л.-М.: ГТТИ, 1934. — т. 1. -330 с.

38. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка // Матем. сб. 1960. — т. 50. — вып. 3. — С. 335−368.

39. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.М.: Физматгиз, 1961. 400 с.

40. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. — Ч. З. Душанбе, 1982. — 171 с.

41. Сабитов К. Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго рода на границе бесконечной области // Сиб. мат. ж. 1980. — т/ 21. — N 4. — С. 146−150.

42. Сабитов К. Б. Задача типа Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным характеристическим вырождением // Дифференц. уравнения. 1984. — т. 20. — N 2. — С. 333−337.

43. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — M.-JL: ГИТТЛ, 1950. т.З. 672 с.

44. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979. — 416 с.

45. Терсенев С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. — Новосибирск: Наука, 1985. — 105 с.

46. Тихонов А. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных. — Бюлл. Моск. унив. 1938 — т. 1. — сер. А — N 9. — 45 с.

47. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972. 736 е., илл.

48. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. — 427 с.

49. Beltrami Е. Sulla teoria delle funzioni potenziali symmetriche // Rend. Accad. sei. di bologna. 1881. — vol. 2. — P. 461−505.

50. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. — V.63. — P. 342−354.