Проблема дополнительных первых интегралов в Гамильтоновой механике

обоснование актуальности выбранной темы, предыстория вопроса и краткое описание содержания работы).

Хорошо известно, что гамильтонова система с /г>%, степенями свободы в общем случае не интегрируется в квадратурах. В то же время, наличие дополнительных (т.е. функционально независимых с гамильтонианом) первых интегралов существенно облегчает процедуру интегрирования. Так, наличие дополнительных Ж<�п> первых интегралов в инволюции (т.е. таких, что их скобки Пуассона попарно равны нулю) сводит интегрирование рассматриваемой системы к интегрированию систем порядка п, — к [65]. В частности, если система имеет п-1 дополнительных первых интегралов в инволюции, то ее интегрирование сводится к квадратурам (теорема Лиу-вилля [52]). Эти примеры говорят о важности проблемы наличия дополнительных первых интегралов в гамильтоновой механике.

В последнее время проблема дополнительных первых интегралов приобрела особую актуальность, связанную с двумя обстоятельствами. Во-первых, на практике отсутствие дополнительных первых интегралов обычно приводит к етохастизации — важному качественному явлению, наблюдаемому во многих задачах механики, физики, химии, биологии и особенно интенсивно изучаемому в последние годы (см., например, [59]). Во-вторых, развитие алгебро-геометрических методов точного интегрирования систем со скрытой симметрией (см., например, [30]) закономерно привело к вопросу о границах их применимости и, тем самым, к проблеме дополнительных первых интегралов.

История проблемы дополнительных первых интегралов тесно связана с двумя классическими задачами механики: задачей л тел и задачей о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки.

Как известно, задача h тел имеет десять классических первых интегралов: шесть интегралов количеств движения, три интеграла момента количеств движения и интеграл энергии. Эти интегралы являются алгебраическими функциями координат и скоростей (по скоростям они даже полиномиальны). Было предпринято много безуспешных попыток найти алгебраические первые интегралы, функционально независимые с классическими, пока в 1887 году Г. Брунс [78] не доказал отсутствие таких первых интегралов в задаче трех тел. Впоследствии П. Пенлеве обобщил этот результат на случай произвольного числа тел, и на интегралы, алгебраически зависящие только от скоростей и произвольным образом зависящие от координат. Замечательно, что в теоремах Брунса и Пенлеве, в отличие от более поздних исследований, не наложено никаких ограничений на массы тел.

Другой подход к проблеме дополнительных первых интегралов развивал ¿-.Пуанкаре. В своем мемуаре «О проблеме трех тел и об уравнениях динамики» [67] он доказал отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла в ограниченной задаче трех тел, аналитически зависящего от массы планеты. Позднее в «Новых методах небесной механики» Пуанкаре распространил этот результат на общую задачу h тел. Отметим еще раз, что теорема Пуанкаре не перекрывает теорем Брунса и Пенлеве, поскольку в ней рассматриваются только первые интегралы, аналитически зависящие от масс планет. (На это обстоятельство указывал и сам Пуанкаре [65]). Лишь в 1969 году В. М. Алексееву удалось доказать отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла в задаче трех тел при фиксированных значениях масс [I] - [4]. Заметим, что в теореме В. М. Алексеева массы планет предполагаются малыми, так что его результат также не усиливает теорем Брунса и Пенлеве.

Проблема дополнительного первого интеграла в задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки также имеет давнюю историю. Известно, что система Эйлера-Пуассона, описывающая это движение, в общем случае имеет три функционально независимых первых интеграла: энергии, площадей и тривиальный (сумма квадратов направляющих косинусов вертикали относительно главных осей инерции). Для интегрирования системы не достает одного дополнительного первого интеграла.

Такой дополнительный первый интеграл был указан Эйлером для случая тела, закрепленного в центре тяжести (1758 г.), и Лагран-жем для случая динамически симметричного тела, закрепленного на оси симметрии (1788 г.). После этого в течение ста лет в проблеме дополнительного первого интеграла в рассматриваемой задаче не было получено никаких существенных результатов. И лишь в 1888 году С. В. Ковалевская в своем знаменитом мемуаре «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки» [42], удостоенном премии Бордена Парижской академии наук, обнаружила и исследовала новый случай существования дополнительного первого интеграла системы Эйлера — Пуассона, носящий ныне ее имя.

История открытия С. В. Ковалевской этого случая интересна и поучительна. Как показал в 1882 году К. Г. Якоби [87], общее решение. системы Эйлера-Пуассона в случаях Эйлера и Лагранжа является эллиптической, а стало быть, однозначной и мероморфной функцией комплексного времени. C.B.Ковалевская поставила перед собой задачу описания всех случаев, кода общее решение системы Эйлера-Пуассона обладает этим свойством. Оказалось, что полученные С. В. Ковалевской необходимые условия мероморфности общего решения системы Эйлера-Пуассона удовлетворяются, помимо случаев Эйлера и.

Лагранжа, еще в одном случае, для которого С. В. Ковалевская указала дополнительный первый интеграл и доказала, что общее решение действительно мероморфно. Таким образом, общее решение системы Эйлера-Пуассона является однозначной мероморфной функцией комплексного времени только в трех известных случаях существования дополнительного первого интеграла.

Позднее это утвервдение С. В. Ковалевской было уточнено и дополнено в работах П. А. Некрасова [58], Г. Г. Аппельрота [5] и A.M. Ляпунова [54]. Наиболее законченный результат принадлежит A.M. Ляпунову и состоит в том, что во всех случаях, кроме трех известных случаев существования дополнительного первого интеграла, общее решение системы Эйлера-Пуассона не только не мероморфно, но и не однозначно. Доказательство А. М. Ляпунова значительно проще доказательства С. В. Ковалевской и основано на исследовании системы в вариациях вдоль некоторых частных решений системы Эйлера-Пуассона.

Естественно возникает вопрос f20]: имеется ли в сколько-нибудь общем случае связь между ветвлением решений системы дифференциальных уравнений и отсутствием у нее первых интегралов? К обсуждению этого вопроса мы вернемся ниже при анализе современного состояния проблемы дополнительных первых интегралов.

Открытие С. В. Ковалевской нового случая существования дополнительного первого интеграла системы Эйлера-Пуассона естественно поставило также вопрос о наличии для этой системы других подобных случаев. Этим вопросом в конце прошлого — начале нынешнего века занимались А. Пуанкаре, Э. Хюссон, Р. Лиувилль и П.Бургатти.

В 1892 году А. Пуанкаре в «Новых методах небесной механики» [65] доказал отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона, аналитически зависящего от произведения веса тела на расстояние ох центра тяжести до точки подвеса («параметра Пуанкаре11) в случав динамически несимметричного тела. В 1908 году Э. Хюссон [85] усилил этот результат, сняв требование аналитической зависимости интеграла от параметра Пуанкаре. В 1976 году А. И. Докшевич [27] указал на неточности в доказательстве теоремы Э. Хюссона и предложил существенно упрощенный вариант ее доказательства. Работе Хюссона [85] предшествовала его же работа [84], в которой он доказал отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона для динамически симметричного твердого тела во всех случаях, за исключением случаев Лагранжа и Ковалевской. Таким образом, из результатов Хюссона следует отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона во всех случаях, за исключением случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Хюссон предложил два варианта доказательства своей теоремы [84] .

Первый из них основан на следующей теореме Р. Лиувилля (89]: если существует дополнительный алгебраический первый интеграл системы Эйлера-Пуассона в случае динамически симметричного твердого тела, то существует и дополнительный первый интеграл, являющийся квазиоднородным многочленом, причем вес компонент угловой скорости считается равным единице, а вес направляющих косинусов вертикали — двум. Доказательство теоремы Лиувилля фактически состоит из двух частей. В первой части доказывается, что если уравнения Эйлера-Пуассона имеют дополнительный алгебраический первый интеграл, то они имеют и дополнительный первый интеграл, являющийся отношением квазиоднородных многочленов указанного вида. (При этом динамическая симметричность тела не используется). Во второй части доказывается, что если уравнения.

Эйлера-Пуассона в случае динамически симметричного твердого тела имеют дополнительный первый интеграл, являющийся отношением взаимно простых квазиоднородных многочленов, то каждый из них также является первым интегралом. Доказательство первой части теоремы Лиувилля сравнительно просто, в то время как доказательство второй — довольно громоздко. Значительно упрощенное доказательство второй части теоремы Лиувилля было недавно предложено А. Й. Докшевичем [2б] .

Второй вариант доказательства теоремы Хюссона [84] (так же как и доказательство его теоремы [85]) основан на методе малого параметра. В 1910 году П. Бургатти [79] предпринял попытку упрощения доказательства теоремы Хюссона [84], однако, как показал А. И. Докшевич [2?], доказательство Бургатти является ошибочным. Более подробный разбор классических работ по проблеме дополнительного первого интеграла в динамике твердого тела содержится в превосходном обзоре П.Я.Полубариновой-Кочиной [бз], а также в монографиях В. В. Голубева [20], В. В. Козлова [49], Ю. А. Архангельского [13 ] и Г. В. Горра, Л. В. Кудряшовой и Л. А. Степановой [21] .

Современный этап истории проблемы связан прежде всего с фундаментальными работами В. В. Козлова. В 1975 году В. В. Козлов.

4з] доказал отсутствие дополнительного аналитического в специальных канонических переменных и аналитически зависящего от параметра Пуанкаре первого интеграла в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Из этого результата, в частности, следует отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона в случае несимметричного тяжелого твердого тела. Это значительно усиливает теоремы Пуанкаре [б5] и Хюссона [85] об отсутствии у этой системы дополнительного алгебраического первого интеграла. Теорема В. В. Козлова легко переносится также на случай твердого тела в ньютоновском поле сил. Отметим, что отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла в последней задаче было ранее доказано Ю. А. Архангельским [и]. (Кроме того, Ю. А. Архангельский исследовал случай динамически симметричного твердого тела и показал, что дополнительный алгебраический первый интеграл существует только в случае, являющимся аналогом случая Лагранка [12]).

Доказательство теоремы В. В. Козлова основано на детальном геометрическом анализе множества резонансных торов задачи Эйлера-Пуассона, разрушающихся при малых ненулевых значениях параметра Пуанкаре. Это является существенным развитием метода, использованного Пуанкаре при доказательстве его вышеупомянутой теоремы.

В.В.Козлов исследовал и другие динамические эффекты, препятствующие наличию у рассматриваемой задачи дополнительного первого интеграла указанного вида: расщепление сепаратрис стационарных вращений тела вокруг средней оси инерции [45], рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйлера-Пуансо [44]. Отметим, что идея использования гамильтоновой формы уравнений движения для отыскания периодических решений задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой методом малого параметра была впервые реализована в работе В. Г. Демина и Ф. И. Киселева [23] для случая симметричного твердого тела в ньютоновском поле сил.

В 1978 году Козлов доказал замечательную теорему [47], проливающую свет на связь ветвления решений гамильтоновых систем с отсутствием у них дополнительных первых интегралов. Эту теорему можно сформулировать следующим образом: гамильтонова система с двумя степенями свободы с комплексным фазовым пространством и комплексно-аналитической функцией Гамильтона, аналитически зависящей от возмущающего параметра, имеющая при нулевом значении параметра ровно один дополнительный аналитический первый интеграл, не имеет дополнительного аналитического первого интеграла, аналитически зависящего от указанного параметра, если дополнительный первый интеграл невозмущенной системы, рассматриваемый как функция комплексного времени вдоль решений возмущенной системы, неоднозначен в первом порядке по возмущению. В применении к задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела около неподвижной точки из этой теоремы следует отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла, аналитически зависящего от параметра Пуанкаре, в любой области комплексного фазового пространства, являющейся связной компонентой прообраза области при отображении, определяемом первыми интегралами задачи Эйлера-Пуансо [4−7]. Подчеркнем, что этот результат не вытекает из отсутствия у задачи дополнительного вещественноаналитического первого интеграла и имеет большую самостоятельную ценность.

Из других работ последнего времени, посвященных проблеме дополнительного первого интеграла в динамике твердого тела отметим исследования М. П. Харламова [73], [74-] условий существования дополнительного условно-линейного первого интеграла в задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой в осесиммет-ричном поле, работу А. И. Докшевича [25] о полиномиальных (некоторого специального вида) частных первых интегралах системы Эйлера-Пуассона (при фиксированных значениях ингегралов энергии и площадей), а также работы А. И. Докшевича [24] и Ю. А. Архангельского [14] о дополнительных первых интегралах системы Эйлера.

Пуассона, зависящих от части переменных. В [14], в частности, доказано, что дополнительный первый интеграл, зависящий не более чем от четырех переменных, существует только в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Более подробный обзор проблемы дополнительного первого интеграла в динамике твердого тела можно найти в уже цитированных книгах В. В. Козлова [49], Ю. А. Архангельского [13] и Г. В. Горра, Л. В. Кудряювой и Л. А. Степановой [21] .

Из результатов по проблеме дополнительных первых интегралов, не связанных непосредственно с динамикой твердого тела и небесной механикой, отметим очень интересную и неожиданную теорему В. В. Козлова [48] об отсутствии дополнительного аналитического первого интеграла у натуральной механической системы с двумерным компактным конфигурационным пространством, не гомеоморф-ным сфере, тору, бутылке Клейна и проективной плоскости.

На этом мы закончим краткий исторический очерк проблемы дополнительных первых интегралов в гамильтоновой механике. Мы не касались здесь работ абстрактно-математического характера, а также результатов многочисленных машинных экспериментов. Обстоятельный разбор этих, а также других работ родственной тематики содержится в прекрасной обзорной статье В. В. Козлова [51] .

Настоящая диссертация посвящена исследованию проблемы дополнительных первых интегралов применительно к ряду известных задач гамильтоновой механики, в том числе к классической задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Диссертация состоит из двух глав, соответствующих двум основным методам исследования. Метод первой главы является развитием методов А. Пуанкаре [65], [67], В. В. Козлова [453 и В. К. Мельникова [55] исследования расщепления сепаратрис гиперболических периодических решений гамильтоновых систем. Основные общетеоретические результаты, необходимые для рассматриваемых в этой главе приложений, содержатся в теоремах 1,2 § I и их обобщениях на случай систем с априорными первыми интегралами и систем с комп~ лексным фазовым пространством (см. § I).

Теорема I дает достаточные условия трансверсального пересечения сепаратрис возмущенных гиперболических циклов аналитической системы дифференциальных уравнений (не обязательно гамильто-новой), аналитически зависящей от малого параметра и такой, что при нулевом значении параметра сепаратрисы имеют общую область и система имеет функционально независимые аналитические первые интегралы в количестве, равном коразмерности сепаратрис.

Теорема 2 дает достаточные условия отсутствия у возмущенной системы мероморфного первого интеграла, отличного от константы, обобщающие условие трансверсального пересечения сепаратрис в случае, когда фазовое пространство трехмерно, сепаратрисы двумерны, и система имеет аналитическую инвариантную меру, аналитически зависящую от параметра.

Полученные результаты используются в §§ 2 — 4 для доказательства неинтегрируемости конкретных гамильтоновых систем.

В § 2 рассматривается задача о движении несимметричного тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Здесь роль малого параметра играет уже упоминавшийся параметр Пуанкаре — произведение веса тела на расстояние от центра тяжести до точки подвеса. Применение теоремы I § I позволяет обобщить результаты В. В. Козлова [4−5] о расщеплении сепаратрис стационарных вращений вокруг средней оси инерции: в [4−5] предполагалось, что центр тяжести тела лежит на средней оси инерции: здесь такого предположения не делается. Теорема 2 § I позволяет доказать отсутствие у системы при фиксированном значении постоянной площадей и произвольном ненулевом значении параметра Пуанкаре мероморфно-го первого интеграла, функционально независимого с интегралом энергии. Это усиливает теорему В. В. Козлова [43] об отсутствии у системы дополнительного аналитического первого интеграла, аналитически зависящего от параметра Пуанкаре.

В § 3 рассматривается система, описывающая стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости на трехмерном торе, или, что эквивалентно, течение в обычном трехмерном пространстве с периодическими граничными условиями, с полем скорости, коллинеарным своему ротору. Известно ([9], добавление 2), что линии тока стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости в ограниченной трехмерной области с полем скорости, не коллинеарным своему ротору, устроены довольно просто: они либо замкнуты, либо всюду плотно заполняют двумерные поверхности, диффеоморфные торам.

Для системы, рассматриваемой в § 3, машинный эксперимент Хенона показал более сложное поведение линий тока: некоторые из них всюду плотно заполняют трехмерные области ([9], добавление 2).

Отметим, что течения такого рода важны для теории магнитного динамо [57], поскольку в них за счет экспоненциального сближения частиц жидкости может возникать экспоненциальное усиление начального магнитного поля.

Теоремы I, 2 § 3 до некоторой степени объясняют результат описанного эксперимента: они показывают, что при типичных значениях параметров система не имеет мероморфного первого интеграла, отличного от константы.

В § 4 рассматривается задача о движении четырех точечных вихрей на плоскости — простейшая задача плоской гидродинамики, для которой вопрос об интегрируемости до сих пор оставался открытым. Известно [боД, что индуцированная система в пятимерном конфигурационном пространстве задачи имеет два функционально независимых первых интеграла: интеграл энергии и некоторую комбинацию интегралов количеств движения и момента количеств движения. В § 4- доказывается, что, если интенсивности трех вихрей достаточно близки к единице, а интенсивность четвертого достаточно мала, то эта система не имеет мероморфного первого интеграла, фун-ционально независимого с указанными. Этот результат делает маловероятной известную гипотезу с полной интегрируемости уравнений плоской гидродинамики (см. [86]) и подтвержает результаты машинных экспериментов [61], [62], [75]. (Отметим, что в фазовом пространстве рассматриваемой задачи, наряду с областями хаотического движения, связанного с отсутствием дополнительного первого интеграла, имеется множество ненулевой меры, состоящее из инвариантных торов, несущих условнопериодические движения. Это было недавно показано К. М. Ханиным [72], [88] для общей задачи о движении произвольного числа вихрей).

Метод исследования, применяемый во второй главе диссертации, является развитием метода А. М. Ляпунова доказательства теоремы об однозначных решениях в динамике твердого тела [54] и метода В. В. Козлова установления связи между ветвлением решений гамиль-тоновых систем и отсутствием у них дополнительных первых интегралов [4−7^. Необходимые для приложений теоретические результаты содержатся в теоремах I, 2 § I.

Теорема I дает необходимые условия существования у гамильто-новой системы с П степенями свободы заданного числа ^ < п дополнительных мероморфных первых интегралов. Эти условия формулируются в терминах группы монодромии системы в вариациях вдоль какого-либо частного решения системы. Теорема 2 является следствием теоремы I для наиболее интересного случая %.

Результаты § I применяются в §§ 2 — 4 для доказательства неинтегрируемости ряда известных гамильтоновых систем.

В § 2 рассматривается задача о движении симметричного тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Основной результат составляют теоремы I, 2. Теорема I утверждает, что в комплекси-фицированном фазовом пространстве задачи мероморфный первый интеграл, функционально независимый с интегралами энергии и площадей, существует только в трех классических случаях: Эйлера, Ла-гранжа и Ковалевской. Этот результат дополняет теорему Э. Хюссо-на [84], в которой рассматриваются только алгебраические первые интегралы.

Теорема 2 утверждает, что в комплексифицированном фазовом пространстве при постоянной площадей, равной нулю, мероморфный первый интеграл, функционально независимый с интегралом энергии, существует только в четырех классических случаях: трех, перечисленных выше, и в случае Горячева — Чаплыгина. Отметим, что для постоянной площадей, равной нулю, эта теорема усиливает теорему А. И. Докжевича, в которой аналогичный результат доказан для полиномиальных первых интегралов некоторого специального вида. С другой стороны, теорема А. И. Докшевича является более общей, чем наша, поскольку в ней допускаются произвольные значения во-стоянной площадей.

В § 3 рассматривается известная система Хенона-Хейлеса [83^, описывающая в модельной форме движение звезды в гравитационном поле галактики и колебания атомов в трехатомной молекуле [76] .

Б последние годы вопросом об интегрируемости этой системы занимались многие исследователи, главным образом, в связи с так называемой проблемой третьего интеграла галактического движения [80}<. Результаты численного интегрирования [83] показывают отсутствие у системы отличного от константы аналитического первого интеграла на поверхностях достаточно высокого уровня энергии. Подробное обсуждение этих результатов содержится в статье Ф. Густавсона [82] и книге Ю. Мозера [56]. Основной результат § 3 составляет теорема, до некоторой степени дополняющая результат 1833, а именно, утверждающая, что в комплексифициро-ванном фазовом пространстве система Хенона-Хейлеса не имеет отличного от константы мероморфного первого интеграла на поверхностях достаточного малого по модулю и ненулевого уровня энергии.

В § 4 рассматривается система Янга-Миллса для однородного двухкомпонедтного поля с калибровочной группой зи (2), описываемая гамильтонианом.

Для этой системы удается доказать отсутствие мероморфного первого интеграла, функционально независимого с гамильтонианом, в любой окрестности начала координат. Этот результат делает сомнительной известную гипотезу об интегрируемости системы Янга-Миллса методом обратной задачи рассеяния (ср. [29]).

В конце каждой главы диссертации помещен краткий исторический комментарий, частично дополняющий приведенный выше исторический обзор. Основные результаты сформулированы в заключении и опубликованы в работах [32] - [40], [92] •.

— I?

Диссертация содержит 153 страницы.

Автор глубоко благодарен проф. В. В. Козлову, чьи работы и многочисленные беседы с автором стимулировали его интерес к рассматриваемой проблеме.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(основные результаты работы и перспективы их применения).

В настоящей диссертации, на основе развития методов А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова и В. В. Козлова исследования проблемы дополнительных первых интегралов в гамильтоновой механике получение следующие результаты.

1) Доказано отсутствие общего дополнительного мероморф-ного первого интеграла в задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки во всех случаях за исключением случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.

2) Доказано отсутствие частного дополнительного меро-морфного первого интеграла в этой задаче (при постоянной площадей, равной нулю) во всех случаях, за исключением случаев Эйлера, Лагранжа, Ковалевской и Горячева-Чаплыгина.

3) Доказано отсутствие отличного от константы мероморф-ного первого интеграла в системе, описывающей стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости с периодическими граничными условиями, с полем скорости, коллинеарным своему ротору.

4) Доказано отсутствие дополнительного мероморфного первого интеграла в задаче о движении четырех точечных вихрей на плоскости.

5) Доказано отсутствие дополнительного мероморфного первого интеграла в системе Хенона-Хейлеса, описывающей в модельной форме движение звезды в осесимметричном гравитационном поле галактики и колебания атомов в трехатомной молекуле.

6) Доказано отсутствие дополнительного мероморфного первого интеграла в системе Янга-Миллса для однородного двух-компонентного калибровочного поля с калибровочной группой №(1).

Результаты о неинтегрируемости задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки могут быть использованы для анализа этой классической задачи методами символической динамики.

Результат о неинтегрируемости системы для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости с полем скоростей, коллинеарным своему ротору, может быть применен для создания магнитного динамо с нулевой магнитной вязкостью с экспоненциальным усилением начального магнитного поля.

Результат о неинтегрируемости задачи о движении четырех точечных вихрей на плоскости может быть применен для построения простых моделей турбулентности плоских течений.

Результат о неинтегрируемости системы Хенона-Хейлеса позволяет исследовать в модельной форме возникновение сто-хастичности в задачах небесной механики и атомной физики.

Результат о неинтегрируемости системы Янга-Миллса может быть использован для анализа поведения решений классических моделей калибровочных полей в связи с проблемой их квантования.