Спектральные задачи с конечнозонным спектром

Точная решаемость физически содержательных моделей всегда представляла и будет представлять огромную ценность как сама по себе, так и для более глубокого понимания физики самих моделей. Она безусловно сохранит свою значимость, даже если будет установлена неполнота или некорректность принципов, лежащих в основе некоторой теории.

К важнейшим уравнениям теоретической физики принадлежат не только «большие» общековариантные уравнения, но и их редукции. Их характер очень разнообразен, но почти всегда они определяются дополнительными симметриями или граничными условиями. Классические примеры — это аксиально симметричные уравнения Эйнштейна-Максвелла, уравнения главного кирального поля, ипстаптопные модели Янга-Милса, самодуальные редукции как этих уравнений, так и уравнений Эйнштейна, и многие другие. С другой стороны результаты редукций могут приводить к уравнениям, применимость и прикладная ценность которых не меньше, а зачастую и больше, поскольку они оказываются «вездесущими» по части появления и в других многочисленных проблемах. Универсальным и самым обширно возникающим является класс линейных дифференциальных уравнений. Например, упомянутые выше самодуальные уравнения Янга-Милса богаты настолько, что через их размерные редукции и выборы калибровочной группы получаются чуть ли не любые нелинейные уравнения, которые сейчас принято называть интегрируемыми. Их связь с линейными уравнениями центральна, так как здесь всегда имеется ассоциированная система линейных дифференциальных уравнений на вспомогательную функцию Ф, условием совместности которой является данная нелинейная модель [66]. Наличие произвольного параметра в таких уравнениях является широко распространенным фактом, а то что они линейны автоматически превращает их в спектральные задачи, часто определяемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Имеется даже гипотеза [193], что любая солитонная система может быть получена подходящей редукцией из уравнений Янга-Милса.

В настоящей диссертации предметом рассмотрения является класс точно решаемых спектральных задач, определяемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, и те методы их исследования, которые, с точки зрения приложений, позволяют доводить решения до уровня, когда «дальнейшее упрощение уже невозможно». Мы концентрируемся в основном на том, что связано с 1-мерным стационарным уравнением Шрёдингера хи (ж)Ф = АФ, (*) но излагаемые далее результаты с малыми изменениями приложимы к (матричным) обобщениям вида Ь (и, = АФ (многоканальные квантово механические спектральные задачи) и к спектральным пучкам Ь{и, дх А) Ф = 0 (обобщенные спектральные задачи) — причина — в сохранении идеологии, а во многих ситуациях — и техники.

С одной стороны, такие задачи являют собой в высшей степени классические объекты, особенно уравнение Шрёдингера. Их универсальность общеизвестна и они оказали огромное влияние на современную теоретическую и математическую физику по части того, что стало считаться решаемым.

Любые наблюдаемые квантово-механические величины определяются соответствующими спектральными уравнениями, но роль уравнения (*) фундаментальна не только потому, что оно являет собой одно из основных уравнений квантовой механики, но и потому, что к нему приводят громадное количество как линейных физических моделей [63], так и, начиная с середины 1960;х годов, нелинейных [1, 48]. Универсальность уравнения такова, что, по всей видимости нет такой области, где бы оно не возникало: начиная от солитонов на мелкой воде, в плазме, оптике и кончая космологическими теориями. В силу своей «простоты» его интегрирование незамедлительно приводит к прямым физическим интерпретациям и по этой причине это уравнение хотя и не принадлежит к инвариантным уравнениям в полной мере можно отнести в разряд важнейших физических уравнений. На этом уравнении была открыта, развита и обобщена «философия» и современные методы исследования, которые составляют классический аппарат «решаемой» теоретической физики. Например, с ним связана первая реализация суперсимметричной квантовой механики (Виттен), а для простейшего нетривиального случая потенциалов Ламе и — п (п + 1) р (х) оператор (*) может быть представлен в декомпозицию матричных операторов Дирака 1-го порядка, коэффициенты, которых удовлетворяют §-0(3)-уравнениям Нама [166], возникающих при построении статических неабелевых монополей (частицеподобных решений уравнений Янга-Милса) [137].

Вопрос о том решено ли уравнение и в каком смысле и в какой степени решено, является далеко не риторическим. Хотя смысл, который вкладывается в слова «точная решаемость», всегда более менее ясен из контекста, его содержание может значительно варьироваться, а математически доходить и до принципиально несопоставимых. Например, то, что относится к классической теории солитонов не вызывает разночтенийвсе они — потенциалы и (х) и решения выписанного выше уравнения — есть элементарные функции. Другие же «точно решаемые» потенциалы могут выражаться в гипергеометрических функциях, эллиптических, абелевых тэта-функциях, функциях Пенлеве, классических ортогональных полиномах, спецфункциях и т. д. Без уточнения смысла, вкладываемого в «точную решаемость» и спектры, здесь уже не обойтись. Важно, и очень хорошо известно, что и по физическим характеристикам такие потенциалы и решения различаются кардинально.

С другой стороны, развитие методов должно приводить не только к упрощению понимания того, что стоит за некоторой решаемой задачей, но и к тривиализации используемого математического инструментария. Если по части солитонных потенциалов он доведен чуть-ли не до рутинно-алгоритмического состояния (формулы детерминантов), то для обобщений на потенциалы с периодическими коэффициентами это не так. Тем более, что когда число зон в спектре конечно, то в пределе — общеизвестный факт — получаются точно решаемые случаи уже без каких-либо оговорок: солитоны. По солитонной тематике существует огромное количество статей и монографической литературы, вплоть до студенческого и даже школьного уровня. Этого нельзя сказать про решаемые задачи с периодическими коэффициентами, традиционно именуемые как конечнозонное интегрирование. Почти за сорок лет современного развития этих методов вышло только две обстоятельные монографии [77, 127]- справедливости ради заметим, что потенциалы, выражаемые в эллиптических функциях, имеют обширную литературу. Тем не менее, при прагматическом взгляде не ясно, почему при известной общей формуле решения, тормозится попадание теории в стандартный арсенал средств прикладного характера? Объяснение традиционное: сложная математика*, стоящая за формулой. Одним из лейтмотивов дальнейшего изложения является то, что она в значительной степени больше считается таковой, чем есть на самом деле. Более того, в очень широком и не вырожденном классе задач она мало чем отличается от оперирования элементарными функциями.

Важно, что элементарные функции являются простыми предельными случаями тэта-функциональных. Такое обобщение вовсе не абстрактно, а естественно и в некотором смысле единственно возможное. Отсюда следует, что с физической точки зрения актуальной является своего рода «канонизация» понимания того, что стоит за этими методами и их тривиализации. Эта проблема еще далека от того, чтобы быть решенной по части тэта-функций, даже с учетом результатов, излагаемых в диссертации.

Аксиоматический подход, развитый в 1970;х годах [37, 38], безусловно и чрезвычайно продвинул теорию, технику и число решаемых моделей. В тоже время, с точки зрения физики, понимания да и восприятия имеется препятствие естественного свойства, которое изначально сопряжено с вопросами следующего характера. Почему при интегрировании модели или спектральной задачи, которая считается.

Процитируем эпиграф к приложеиию в книге [127] на стр. 343, где излагаются основы самого главного используемого математического аппарата —теории римановых поверхностей: «It is assumed that the reader will not have a heart failure at the mention of a Riemann surface». точно решаемой, следует стартовать с некоторой абстрактной римановой поверхности, абелевых интегралов на ней и тэта-функций? Даже имея «па руках» некоторое спектральное уравнение, для которого мы знаем, что его пределы дают солитоны (в подчеркнутом выше контексте), что с ним ассоциирована квадратурно интегрируемая гамильтонова система, что оно точно интегрируемо и «интегрируемо в тэта», возникает вопрос о соотношении перечисленного со способом введения тэта-функции. Этот способ, насколько известно автору, единственнен: это не более чем постулируемый 6-ряд Фурье (А.46). Следует ли его тогда относить к классу специальных функций?

Тэта-формулы для решений были найдены В. Матвеевым и А. Итсом еще в 1975 году, но на этом развитие теории не остановилось, а скорее наоборот [162]. Сразу стало ясно, что в — действительно очень нетривиальный объект и осознается, что его даже чисто физические приложения выходят далеко за рамки конечнозон-ной теории. Несколько «легче» выглядит ситуация с 1-мерными^{-функциями,} но и их практическая «эксплуатация» тоже ограничивается использованием табличных свойств. В самом деле, для всех тэта-функций имеется огромное количество дифференциальных, алгебраических и функциональных тождеств, число которых бесконечно, но «порядка в которых не видно» [43, стр. 26]. Одним из основных излагаемых ниже результатов является то, что тщательное осмысление процедуры интегрирования спектральных уравнений в классе конечнозонных потенциалов приводит не только к тривиализации взгляда на их интегрирование, но и к пониманию природы возникновения самих тэта-функций. По крайней мере в отношении^{-функций} Якоби это справедливо в абсолютной мере и является одним из акцентов, который мы делаем в тексте. Как следствие — лишение тэта-функций их выделенного статуса, по которому они даже спецфункциями не считаются по причине своей особой сложности. В первую очередь, это касается их исчерпывающих дифференциальных свойствмы приводим, например, замкнутую конечнозонную систему уравнений на сами 0-функции.

Наличие динамических систем на^{-функции,} если их трактовать как классический предел, сразу позволяют поставить задачу их квантования, что особенно важно, так как предельными случаями 0-функций являются элементарные и, в частности, как вырождение, возникает (универсальный) квантовый гармонический осциллятор. Именно на примере 1-мерных тэта-функций становится прозрачным то, что составляет сущность проблемы квантования их многомерных расширений. Она выявляется уже на классическом уровне, так как квантование тэта-функций — это квантование не тэта-рядов, а их нетривиальных экспоненциально экспоненциально квадратичных расширений и абелевых логарифмических интегралов с параметрами (§§ 4.5^.6). Добавим, в качестве побочного продукта полномасштабного описания 0-функций и их^{-констант} удается получить новый и совершенно неожиданный (трансцендентный и алгебраический) вариант знаменитых формул следоввосстановление потенциала по спектральным данным. Не исключено (гипотеза), что они имеются для произвольных конечнозонных операторов (§ 5.4).

Другой тезис состоит в том, что предлагаемый способ введения 0-функций в сущности не отличается от того, по которому могут определяться сами конечнозонные потенциалы и решения Ф (хА). Мы имеем ввиду то, что известная интегрируемость по Лиувиллю нелинейных гамильтоновых систем самым прямым образом сопряжена с другим типом интегрируемости по Лиувиллю — интегрируемости линейных уравнений (теория Пикара-Вессиб). Как ни удивительно, но этот факт был замечен лишь в конце 1990;х годов, но и после этого его прямая связь с конечнозонной теории по существу не присутствовала в литературе до недавнего времени. При этом оказывается, что 1-мерные 0-функции мало чем отличаются по способу своего появления от объектов, которые сами интегрируются в в. Общая схема в такой тривиализации сводится к простому уравнению грг = А (г)ф +В (г). (**).

Вряд ли можно возразить, что это уравнение решается элементарно, но то, что «сложная» конечнозонная теория, именуемая эквивалентно как алгебро-геометри-ческое интегрирование [37, 77], сводится к этому же уравнению уже не столь очевидно. Выражаясь описательно, спектральные уравнения интегрируются как конечное число «перепутанных копий» (переменные разделения) уравнений вида (**). Впрочем, тривиализации понимания такого перехода посвящены первые главы диссертации. Свойства решений и спектральные характеристики потенциалов — амплитуды, волновые числа, фазовые и групповые скорости и т. д. — целиком «закодированы» в коэффициенте А (г), а В (г) = 0. Класс, который именуется копечнозонным, характеризуется тем, что А{г) есть функции простейшего вида после рационального, т. е. алгебраические*. Более того, общеизвестная произвольность параметра в методах разделения переменных и решаемость через уравнения именно такого сорта оказываются идентичными явлениями. В спектральном контексте переменная, А «первична», но здесь ее такая роль исчезает и мы получаем (А гс)-переход (стр. 35).

Л 7(я).

1 <1г, Г 1 ¿-г Гг-———;

-^ / -г —, ь):= ^/{г-Е1)—-(г-Е2д+1), г — 7(х) ги у г-А ш м который объясняет соотношение между спектральным и чисто дифференциальным взглядом. Ясно, что исчерпывающее изложение теории должно объяснять такую взаимную «трансляцию» в полной мере и мы называем это спектрально квадратурной двойственностью. Если выяснить еще какой замкнутый класс задач можно.

Можно показать, что такое расширение даже «обязано» быть алгебраическим, если использовать полную групповую трактовку теории Пикара-Вессиб и задаться целью строить «нечто решаемое» (разрешимые группы). вообще решать таким способом, то неизбежно возникнет внешний произвольный параметр. Его трактовка как спектрального (линейное спектральное уравнениеэнергия) тогда становится самонаирашивающейся и выстраивается следующая картина: внешнее ЛФФ-^{-замкнутость} <=> «Ф-линейность».

В этой связи, например, традиционные формулировки тина «уравнение решаемо в 6-функциях», хотя и являются абсолютно корректными, но скрывают тривиализацию его квадратурной интегрируемоститакую же как и у уравнения Ф" = АФ. По сравнению с ним серьезно усложняется лишь важная процедура обращения, но она отражает наше стремление наделять переменные свойством «зависимая/независимая». Без него в ней не было бы необходимости, но исчезла бы (квантово-механическая) «линейность Ф». Грубо говоря, смыслы, которые мы вкладываем в объекты «линейное Ф», потенциал (требуется обращение) и «зависимые/независимые» переменные, оказываются тесно переплетены с тем, что в контексте спектральной полноты (!) мы можем «решать вообще».

Особые слова необходимо сказать относительно известной проблемы эффекти-визации. Она появилась сразу после возникновения теории конечнозонного интегрирования и рассматривалась как проблема вычисления параметров тэта-функциональных формул. Ее, однако, следует трактовать шире, поскольку не только параметры (физические величины) трудно вычисляемы, но и центральный объект теории — риманова поверхность спектральной кривой И^А, ц) = 0 — является чрезвычайно сложным, если род д > 1. Собственно говоря, доведение теории до состояния функционирующих формул/примеров до сих пор остается единственной проблемой в области. Тот факт, что все известные решаемые аналитически до конца случаи связаны со сводимостью^{-мерной} ©—функции к 1-мерным в, есть лишь проявление того, что теория параметризации алгебраических зависимостей рода д = 1 развита исчерпывающеэто теория эллиптических функций.

Ситуация радикально меняется, когда род д > 1. Даже (возможная) редукция абелевых интегралов — это решения уравнения (**) — к эллиптическим лишь частично облегчает задачу, а принципиальная проблема многозначностей на кривой ?(, ¡-х) = 0 остается. Мы приходим здесь к задаче эффективного исчисления на таких кривых, т. е. к теории униформизации. Ее аналитический аппарат, по сравнению с эллиптическим случаем, можно охарактеризовать как отсутствующий*. Именно по этой причине уже в самых первых работах [12, 83], где были приложены методы униформизации, отмечалось, что она имеет очень малые применения. Все что известно на сегодняшний день — это числовые расчеты через 0-ряды Пуанкаре и не ясно как.

В математической литературе за этой и родственной к ней проблемами давно закрепились прилагательные «пресловутая», «чистая теорема существования» и т. п. ими оперировать аналитически. Трудность «борьбы с многозначностями» оборачивается тем, что в литературе имеются даже результаты некорректного (числового) характера при построении зависимостей энергии Е от кристаллического момента к, причем для довольно простых потенциалов Ламеи это при наличии аналитических формул с «хорошей» эллиптической редукцией. Эти (дисперсионные) соотношения Е = Е (к), как известно, всегда многозначны, так как над &—зоной Бриллюэна лежат (конечное число) ветви разрешенных значений энергии Е. Иными словами, до тех пор пока униформизирующая теория не будет развита с той степенью эффективности как эллиптическая, даже вещественная классическая конечнозонная теория будет оставаться не завершенной. При использовании униформизации проблемы многозначностей отсутствуют в принципе.

Построенный аппарат^{-функций} богат на следствия и, помимо того, что решает основную конечнозонную задачу, как нельзя лучше оказался удобным и для эффективизации. Это осуществляется через знаменитый шестой трансцендент Пен-леве Р6, а точнее, через его алгебраические решения (космологические метрики Пикара-Хитчина). Придание им полностью «униформизационного вида», что само по себе нетривиальный результат, позволяет объединить^{-функциональные} алгебраические решения Рб с конечнозонными гиперэллиптическими кривыми. Интересно отметить, что на этом пути удается не просто эксплуатировать явные параметризации, но и конструктивно развить и дополнить обшую теорию. Более того, без расширения уже известной теории в некотором смысле невозможно обойтись. В частности, абелевы интегралы, как необходимый объект в конечнозонном интегрировании, естественно необходимы и приводят к единому и новому взгляду на классическую теорию униформизации, базирующуюся на линейных дифференциальных уравнениях 2-го порядка класса Фукса. По этой причине в гл. 7 мы даем замкнутое и геометрическое (инвариантное) «переизложение» теории.

Несколько слов о литературе. В дальнейшем тексте мы не предпринимали попытки давать более развернутые комментарии к известным фактам, поскольку эта область обширно представлена в статьях, а постоянные сопоставления утяжелили бы текст. С другой стороны и сама теория и ее начала известны своими форма-лизациями, которые зачастую не являются необходимыми. Точное согласование со строгими формулировками привело бы к излишней математизации изложения и значительному увеличению текста.

Благодарности.

Я глубоко признателен коллективу кафедры квантовой теории поля физического факультета Томского государственного университета, где была выполнена большая часть работы и написан текст. Постоянные общения с сотрудниками кафедры проходили в исключительно благоприятных условиях, а поддержка кафедральными грантами была более чем существенной. Многочисленные консультации с Иваном.

Горбуновым, Алексеем Шараповым, Петром Казинским и Семёном Леонидовичем Ляховичем часто приводили к более ясному пониманию даже в «моих специфических» областях. Особую благодарность я хотел бы выразить моему научному консультанту Владиславу Гаврииловичу Багрову, атмосфера общения с которым и, вообще, та среда вокруг него (включая юмор), в которой мне приходилось пребывать, можно охарактеризовать фактически как идеальная. Возможность в любое время обсуждать с ним любые вопросы и свобода действий — это то, что трудно переоценить.

11 декабря 2012 г.

Томск.

Основные выводы.

Подытожим содержание диссертации, охарактеризуем результаты в целом и перечислим основные положения, выносимые на защиту.

Методы спектральной теории 1-мерного твердого тела допускают существенное упрощение по сравнению с традиционными тэта-функциональными подходами. В равной мере это справедливо и для нелинейных (1+1)-интегрируемых моделей теоретической/математической физики, когда речь идет о построении любого вида точных решений: солитонов, их разновидностей и (квази)периодических обобщений. Наличие элементарной по структуре формулы для Ф-функции позволяет, при необходимости, получать тэтагфункциональные формы решений, а также тривиализи-ровать понимание роли и возникновение самих тэта-функций. Присутствие в теории римановых поверхностей алгебраических соотношений является неизбежным фактом, но подключение прямых методов анализа на таких поверхностях (теория уни-формизации) позволяет —и является единственной возможностью—доводить конечные формулы до явных выражений. Даже стандартные задачи построения дисперсионных соотношений Е = Е (к) обнаруживают необходимость использования параметрических представлений для абелевых интегралов и функций на таких поверхностях. Без использования развитого дифференциального аппарата тэта-функций указанные проблемы не могут быть разрешены в принципе, но при наличии редукций к 1-мерным функциям Якоби и эллиптическим функциям большинство проблем решается. В отдельных, впервые найденных, случаях все результаты полностью представимы аналитическими формулами. Имея ввиду соотношение тэта-функций с элементарными и связь последних с каноническими квантовыми точно решаемыми задачами удается полностью поставить и частично решить проблему квантования нетривиального тэта-функционального расширения классических интегрируемых моделей волчка Эйлера и осциллятора. Без описанного выше дифференциального исчисления самих тэта-функций даже постановки таких вопросов не возможны (классический принцип соответствия). Использование^{-аппарата} и подключение решений б-го трансцендента Пенлеве позволило построить и указать метод получения большого (бесконечного) количества точных не только конечно-зонных гиперэллиптических решений, но и более сложныхдолгое время это было проблемой и недостатком даже математической литературы.

Защищаемые положения:

1. Предложен новый подход к точно решаемым случаям 1-мерного уравнения Шрёдингера.

— Ф" + м (а-)Ф = ЯФ.

На его основе получена явная квадратурная формула для Ф-функции. Как частные случаи формула охватывает все потенциалы с конечным числом запрещенных зон в спектре и классические солитоны.

2. Разработана схема регулярного вывода представления для Ф (жЕ) в терминах ©—функций, не использующая аксиоматическое введение римановых поверхностей. Между квадратурами и классической спектральной концепцией имеется точное соответствие — спектрально квадратурная двойственностьона описана аналитически.

3. Разработаны алгоритмические процедуры получения спектральных физических характеристик и дисперсионных соотношений Е = Е (к) для потенциалов в эллиптических функциях для широкого класса задач на собственные значения Ь (и (х)]дх)Ф = ЕЧ>.

4. Выведены дифференциальные уравнения на классические 0-функции Яко-би и их конечнозонное расширение. Уравнения являются гамильтоновыми и лагранжевыми, а их частные случаи допускают постановку вопроса квантования данных динамических систем и его решение, включая спектральное уравнение для гамильтониана.

5. Космологические алгебраические метрики Пикара-Хитчина, как решения уравнения Пенлеве-6, параметризуются в^{-функциях.} Как следствие, возникают гипсрэллиптические кривые и эффективизация конечнозонных потенциалов уравнения Шрёдингера в контексте методов униформизации.

6. Развитый аппарат 0-функций приводит к аналитически решаемым случаям теории униформизации алгебраических зависимостей. Предложена геометрически замкнутая переформулировка теории. Впервые найдены полностью и точно решаемые случаи.