Эффекты синхронизации во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода

Синхронизация автоколебаний — одно из фундаментальных нелинейных явлений в естествознании. Исследование синхронизации в ансамблях взаимодействующих систем с периодическим, квазипериодическим и хаотическим поведением на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики [1]- [7]. Изучение эффектов синхронизации, условий и механизмов их возникновения в базовых моделях нелинейной динамики имеет большое фундаментальное и прикладное значение не только для современной радиофизики, но и многих других областей науки.

В последние десятилетия особенно интенсивно проводились исследования явления синхронизации хаоса и в этом направлении достигнут довольно высокий уровень понимания, существенный вклад в который внесли работы Т. Yamada, Н. Fujisaka [59], A.C. Пиковского [60,66], С. П. Кузнецова [62,63], B.C. Афраймовича, H.H. Веричева, М. И. Рабиновича [64,98], В. Д. Шалфеева [5], В. Н. Белых, B.C. Анищенко, Т. Е. Вадивасовой [91]- [97], Д. Э. Постнова [18]-[21], М. А. Сафоновой, A.C. Дмитриева, С. О. Старкова, Б. П. Безручко, Е. П. Селезнева, В. И. Пономаренко, Ю. Л. Майстренко, М. Hasler, Т. Kapitaniak, В. И. Некоркина, L. Pecora, Т. Carroll [65], Н. Рулькова [81], П. С. Ланда [7], Ю. И. Неймарка, М. Розенблюма, J. Kurths, Г. Осипова, М. Закса, В. Б. Казанцева. P. Grassberger, P. Ashwin [67,68], E. Ott [42], Y.-C. Lai, С. Grebogi [47], J. Alexander, J. Yorke, L. Kocarev.

Согласно наиболее часто встречающейся в литературе [14]- [21] концепции, синхронизация хаоса, имеющий место при взаимодействии идентичных хаотических осцилляторов, состоит в том, что с ростом связи временные реализации соответствующих динамических переменных парциальных систем полностью повторяют друг друга без какого-либо сдвига во времени. Т. е. осцилляторы колеблются «синфазно». В работах [22]- [25] предложено обобщение классических представлений о синхронизации как о захвате или подавлении частот на случай взаимодействия осцилляторов в режиме спирального хаотического аттрактора. Рассматриваются случаи взаимной и вынужденной синхронизации хаоса, в том числе синхронизации хаоса гармонической внешней силой. В [26]- [28] в рамках классического подхода к явлению синхронизации развивается представление о захвате фаз хаотических осцилляторов. Кроме того, в работах некоторых авторов под синхронизацией хаотических автоколебаний понимается возникновение функциональной взаимосвязи между мгновенными состояниями парциальных систем (обобщенная синхронизация) [29]- [31].

Среди различных видов синхронизации взаимодействующих хаотических систем наиболее простой является полная синхронизация хаоса [59], [61], [63], [64], [65]. Она наблюдается в полностью идентичных связанных системах и характеризуется полным совпадением состояний систем во времени. Подобное поведение является довольно типичным и встречается в системах самой различной природы, причем не только в ансамблях с небольшим числом взаимодействующих элементов, но и в пространственно распределенных системах. Например, пространственно однородные хаотические колебания наблюдались в реакции Белоусова — Жаботинского [56]- [58]. Начиная с 1990 года к задачам, связанным с явлением полной синхронизации хаоса, появился повышенный интерес, который был вызван работой Л. Пекора и Т. Керролла [65]. В статье была высказана идея о возможности использования явления полной синхронизации хаоса для создания систем скрытой передачи информации.

Для данного типа синхронизации хаоса были выявлены условия возникновения и типичные бифуркационные механизмы потери синхронизации, обнаружены эффекты «пузырения» аттрактора и «изрешечивания» бассейнов притяжения, сопровождающие процесс потери синхронизации. Для связанных систем с бифуркациями удвоения периода было установлено, что потеря синхронизации хаоса и формирование фазовой мультистабильности происходит в результате последовательности одинаковых бифуркаций на базе одного и того же семейства седловых циклов, расположенных в симметричном подпространстве полного фазового пространства связанных систем [66], [70], [81], [82]. Например, в работе [82] было продемонстрировано, что потеря фазовой синхронизации начинается с седло — узловой бифуркации неустойчивого цикла, встроенного в хаотический аттрактор. Бифуркация основного седлового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, приводит к потери грубости и возникновению пузырящегося поведения. В результате возникает специфический режим перемежаемости. В работе [70] показано, что субкритическая бифуркация «вил» седловой точки встроенной в симметричный хаотический аттрактор индуцирует изрешечивающий переход. Явление изрешече-вания бассейна притяжения хаотического аттрактора подробно изучается в работах [70]- [80].

Не смотря на достаточно детальное изучение явлений полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности в связанных системах с бифуркациями удвоения периода, ряд вопросов остается не исследованным в полной мере. В основном данные явления исследовались во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия.

Однако имеется достаточно важный класс бистабильных систем, обладающих симметрией относительно преобразования координат (I: х «-» —х), применительно к которым явление полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности исследовано значительно хуже. Примерами таких систем является ряд хорошо известных базовых моделей нелинейной динамики — одномерное дискретное кубическое отображение, двумерное дискретное отображение Холмса, осциллятор Дуффинга, генератор Чуа. Подобные би-стабильные системы широко использовались, например, при изучении эффекта стохастического резонанса [121,122], при исследовании вынужденной и взаимной синхронизации времен переключений между бистабильными состояниями. В подобных системах существует два симметричных подпространства. Поэтому для таких систем возможны два вида полной синхронизации хаоса, каждому из которых соответствует движение в своем симметричном подпространстве. Движения в первом из них соответствуют режиму полной синфазной синхронизации, а во втором — режиму полной противофазной синхронизации [89]. Более развитой является фазовая мультистабильность.

На сегодняшний день является важным и актуальным исследование эффектов синхронизации в таких взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода. Их поведение является более сложным и разнообразным, по сравнению со связанными системами, имеющими одно состояние равновесия. Системы с подобным поведением интересны не только с фундаментальной, но и с прикладной точки зрения: при разработке новых методов скрытой передачи информации. По сравнению с взаимодействующими системах с одним состоянием равновесия, для связанных бистабильных систем с удвоениями периода плохо изучены вопросы управляемой синфазной и противофазной синхронизации хаоса, задачи реализации того или иного режима синхронизации в зависимости от типа связи.

Известно, что устойчивые и грубые режимы полной синхронизации хаоса во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия могут быть реализованы только при определенных типах связи выше некоторого порогового значения. Часто, независимо от величины коэффициента связи в системе существуют синхронные хаотические движения, которые являются неустойчивыми к несимметричным возмущениям. В этих случаях в системе можно осуществить переход из режима несинхронных хаотических колебаний к режиму синхронизации, используя методы управления хаосом [37]- [45]. Под управлением хаосом обычно понимают целенаправленное воздействие на систему. С его помощью различные ненритягивающие предельные множества можно превратить в устойчивые по определенным собственным направлениям.

Не выявлены бифуркационные механизмы формирования симметричных хаотических предельных множеств, соответствующих режимам противофазной синхронизации, и возможные бифуркационные сценарии потери противофазной синхронизации хаоса во взаимодействующих бистабильных системах. Не рассматривались режимы полной и частичной синхронизации в цепочках бистабильных систем с удвоением периода. Не ставилась задача о синхронизации времен переключения между бистабильными состояниями методами управления хаосом.

Сформулированные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы, которая заключается в изучении эффектов синхронизации и фазовой мультистабильности во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода.

Приоритетными задачами являются:

1. Изучение полной синфазной и полной противофазной синхронизации хаоса в диффузионно связанных кубических отображениях.

2. Исследование бифуркационных механизмов потери управляемой противофазной синхронизации хаоса.

3. Изучение полной и частичной синхронизации хаоса в цепочке связанных бистабильных систем с удвоением периода.

4. Исследование стохастической синхронизации переключений между бистабильными состояниями в связанных осцилляторах Дуффинга при внешнем периодическом и шумовом воздействии с помощью периодической модуляции параметра связи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Показано, что поведение диффузионно связанных бистабильных отображений с удвоением периода, каждое из которых симметрично относительно преобразования координат.

I X 4 ^ Д/, является более сложным и разнообразным, по сравнению с взаимодействующими системами, не обладающими указанной симметрией. При взаимодействии парциальных бистабильных систем наблюдаются явления полной синфазной и полной противофазной синхронизации, а также явление фазовой мультистабильности, которое является более развитым, по сравнению с взаимодействующими моностабильными системами.

2. Динамика диффузионно связанных кубических отображений в противофазном подпространстве (х = —у) имеет существенные отличия от динамики в синфазном подпространстве: бифуркации удвоения орбит в транс-версалыюм направлении к подпространству (х = —у) происходят раньше, чем бифуркации удвоения орбит в тангенциальном направлении. На плоскости управляющих параметров области устойчивости регулярных синхронных противофазных режимов разделены областями неустойчивости последних.

3. Проведен анализ устойчивости синхронных противофазных движений и найдена связь между тангенциальным и трансверсальным показателем Ляпунова. Показано, что в антисимметричном подпространстве трансверсально устойчивыми могут быть только периодические орбиты. У хаотического предельного множества траисверсальный ляпуновский показатель всегда будет больше нуля. Поэтому в диффузионно связанных дискретных бистабильных отображениях режимы собственной противофазной синхронизации хаоса наблюдаться не могут.

4. В результате проведенных исследований установлено, что в двух диффузионно связанных бистабильных отображениях устойчивый режим полной противофазной синхронизации хаоса можно обеспечить, используя методы управления хаосом, а именно, с помощью дополнительной управляющей связи. Стабилизация синхронных колебаний происходит в ограниченной области значений управляющего параметра.

5. Показано, что при симметричной управляющей связи потеря полной противофазной синхронизации хаоса происходит по тому же бифуркационному сценарию, что и потеря синфазной синхронизации хаоса. Наблюдается такая же последовательность бифуркаций и также на базе основного семейства седловых периодических орбит, формирующих скелет синхронного хаотического аттрактора. Однако в случае потери полной противофазной синхронизации хаоса до бифуркации прорыва наблюдается только пузырящийся переход, изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора не происходит.

6. При исследовании явления полной противофазной синхронизации хаоса в бистабильных системах с несимметричной, управляющей связью обнаружен новый бифуркационный сценарий потери синхронизации.

7. Показано, что несимметричность управляющей связи существенным образом меняет сценарий разрушения противофазной синхронизации, который в этом случае происходит через последовательность седло — репеллерной и транскритической бифуркации. При сильной асимметрии связи эта последовательность бифуркаций приводит к явлению изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора.

8. В ходе исследования было обнаружено, что в кольце из трех кубических отображений в зависимости от связи существуют как режимы полной синфазной синхронизации хаоса, при которых колебания во всех трех осцилляторах идентичны, так и режимы обобщенной синхронизации, когда колебания в двух осцилляторах идентичны друг другу, а в третьем — связаны с ними через некоторую детерминированную функцию. Последний случай также представляет собой режим частичной синхронизации хаоса, поскольку соответствующие хаотические аттракторы располагаются в одном из подпространств частичной симметрии.

9. Разрушение режима обобщенной синхронизации хаоса происходит также как и разрушение режима полной синхронизации хаоса — через бифуркацию прорыва. После этой бифуркации в системе наблюдаются только несинхронные колебания. Описанные механизмы разрушения полной синхронизации хаоса и формирования частичной синхронизации отличаются от соответствующих механизмов в ансамбле с несимметричной связью. Существование в подпространствах частичной симметрии режимов обобщенной синхронизации является особенностью выбранного типа связи и не наблюдается в ансамбле осцилляторов с однонаправленной связью.

10. В ходе исследования было обнаружено, что высокочастотная модуляция коэффициента связи приводит к синхронизации случайных процессов переключений между двумя хаотическими аттракторами системы. Данный эффект наблюдается в ограниченной области управляющих параметров. Размер этой области зависит от амплитуды шума, и с увеличением амплитуды шума область сокращается.

Заключение

.