Соотношения сплетения вида.
LX = ZL/2, (0.1) где Li-2, X — дифференциальные операторы, возникают во многих разделах теоретической физики. Наиболее полезны такие соотношения в задачах, когда требуется найти спектр одного из операторов LoНаиболее типичный пример такой ситуации — решение уравнения Шредингера для гамильтониана некоторой квантовой модели.
Исходя только из соотношений сплетения (0.1) можно получить ряд полезных следствий о связи спектров операторов Во-первых, если 1р2 — собственная функция L2, то ipi = Tip2 будет собственной функцией Li с тем же собственным значением. Если на функцию ф накладываются какие-либо дополнительные ограничения, например, принадлежность определенному классу функций (для операторов типа Шредингера — нормируемость), то спектры L и L2 будут различаться, и отличия будут определяться теми функциями тр2, которые оператором X выводятся за рассматриваемый класс функций.
Важным моментом для сравнения спектров является анализ нулевых мод сплетающего оператора X. Из (0.1) следует, что, если известны все ноль-моды u) k оператора X: Хши — 0, к = 1,. N, то они образуют подпространство, замкнутое относительно действия L2: = Ylm Скт^тСтрогие утверждения касательно связи спектров сплетаемых операторов впервые были доказаны Дарбу.
В случае самосопряженных операторов Ьг2 можно рассмотреть также эрмитово-сопряженное соотношение = LiP. Совместно с (0.1) оно приводит к существованию операторов симметрии для каждого из сплетаемых операторов.
LUXX]] = 0- [Lo^X] = 0. (0.2).
Таким образом, системы с эрмитовыми гамильтонианами Lo, удовлетворяющими (0.1), автоматически являются интегрируемыми.
Приведенные соображения показывают, что спектральная задача сильно упрощается, если удается связать при помощи соотношений сплетения исследуемый оператор с оператором, спектр которого известен. Мы будем использовать этот прием для нахождения спектра связанных состояний для некоторого класса квантово-механических моделей с гамильтонианами шре-дингеровского вида.
Соотношения сплетения несколько другого вида возникают в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния и включают Я—матрицу и матрицу Лакса модели. Эти соотношения определены на тензорном произведении трех пространств, и их отличительной особенностью является то, что сплетающий оператор действует нетривиально только на двух из них, а на третье пространство продолжается как единичный. Нами исследовались решения таких соотношений для интегрируемых спиновых цепочек с различными алгебрами симметрии.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Предложен новый метод решения двумерных суперсимметричных соотношений сплетения второго порядка с суперзарядами, пред ставимыми в виде произведения двух операторов первого порядка с промежуточным твистом. Получено общее решение для гамильтонианов, операторов симметрии и сплетающих суперзарядов.
2. Метод суперсимметричного разделения переменных применен для исследования спектра ряда двумерных моделей, не допускающих стандартного разделения переменных. Доказана квази-точная решаемость обобщенной модели Пешля-Теллсра (в терминах полиномов Лежандра), обобщенного потенциала Ламе и обобщенного присоединенного потенциала Ламе (в терминах эллиптических функций Якоби), а также найдена волновая функция и энергия основного состояния для обобщенного потенциала Разави.
3. Разработана новая рекуррентная процедура построения оператора Лакса для спиновой цепочки с алгеброй симметрии, являющейся q—деформированной универсальной обертывающей алгеброй Uq (s?n). Оператор Лакса L (u) реализован в виде разностного оператора, действующего на пространстве функций п{п — 1)/2 переменных. Предложенный метод позволил получить компактные факторизованные выражения для L (u).
4. Для спиновой цепочки с алгеброй симметрии Uq (s£з) получено явное выражение для универсальной Л—матрицы при помощи факторизации ее на произведение элементарных операторов перестановки параметров. Для вычислений использовался оператор Лакса, построенный с помощью метода когерентных состояний. Построенная R— матрица имеет вид произведения операторных д—экспонент, действующих на пространстве функций 6 переменных.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения и 5 глав.
1. Андрианов А. А. Борисов Н.В. Иоффе М. В. Эйдес М.И. Суперсимметричная механика: новый взгляд на эквивалентность квантовых систем. ТМФ 61, 1984, 17.
2. Андрианов А. А., Иоффе М. В., Нишнианидзе Д-Н. Полиномиальная суперсимметрия и динамические симметрии в квантовой механике. ТМФ 104, 1995, 463.
3. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. Москва: Наука, 1970.
4. Багров В. Г. Самсонов В.Ф. Преобразования Дарбу, факторизация, суперсимметрия в одномерной квантовой механике. ТМФ 104, 1995, 356.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1−3. Москва: Наука, 1973;4.
6. Березин Ф. А.
Введение
в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. Москва, 1983.
7. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. Москва, 1986.
8. Боголюбов Н. Н., Изергин А. Г., Корепин В. Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи. Москва, 1993.
9. Борисов Н. В. Иоффе М.В. Эйдес М. И. Втоичное квантование полевых систем на грассмановой алгебре (дуальная струна с внутренним спином). ТМФ 29, 1976, 25.
10. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. Москва, «Мир», 1985.
11. Валиневич П. А., Деркачев С. Э., Караханян Д. Р., Киршнер Р. Факторизация Я—матрицы в случае квантовой алгебры Uq (siz). Зап. Научн. Сем. ПОМИ 347, 2007, 88.
12. Генденштейн JT. Э. Нахождение точных спектров уравнения Шредингера с помощью суперсимметрии. Письма в ЖЭТФ 38, 1983, 299.
13. Желобенко Д. П. Классические группы. Спектральный анализ конечномерных представлений. УМН 17, 1962, 27.
14. Желобенко Д. П. Представления редуктивных алгебр Ли. М.: Физмат-лит, 1994.
15. Киттель Ч.
Введение
в физику твердого тела. Москва: Наука, 1963.
16. Кулиш П. П., Решетихин Н. Ю. О GZ/з-инвариантных решениях уравнения Янга-Бакстера. Зап. Научн. Сем. ЛОМИ 120, 1982, 92.
17. Ландау Л. Д. Лившиц Е. М. Теоретическая физика, т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Москва: Наука, 1989.
18. Липатов Л. Н. Асимптотика многоцветной КХД при больших энергиях и точно решаемые спиновые модели. Письма в ЖЭТФ 59, 1994, 571.
19. Склянин Е. К., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи. I. ТМФ 40, 1979, 194.
20. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратоной задачи и XYZ-модель Гейзенберга УМН 34, 1979, 13.
21. Уиттекер Э. Т. Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, ч. 2. Москва, 1963.
22. Andrianov А.А., Borisov N.V., Eidcs M.I., Ioffe M.V. Supersymmetric origin of equivalent quantum systems. Phys. Lett. A 109, 1985, 143.
23. Andrianov A.A., Borisov N.V., Ioffe M.V. The factorization method and quantum systems with equivalent energy spectra. Phys. Lett. A 105, 1984, 19.
24. Andrianov A. A., Ioffe M.V., Cannata F., Dedonder J.-P. Second order derivative supersymmetry, q deformations and the scattering problem. Int. J. Mod. Phys. 10, 1995, 2683.
25. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Nishnianidze D.N. Classical integrable two-dimensional models inspired by SUSY quantum mechanics. J. Phys. A: Math. Gen. 32, 1999, 4641.
26. Andrianov A. A., Ioffe M.V., Nishnianidze D.N. Polynomial SUSY in quantum mechanics and second derivative Darboux transformations. Phys. Lett. A 201, 1995, 103.
27. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Spiridonov V.P. Higher derivative supersymmetry and the Witten index. Phys. Lett. A 174, 1993, 273.
28. Andrianov A. A., Sokolov A. V. Nonlinear supersymmetry in Quantum Mechanics: algebraic properties and differential representation. Nucl. Phys. В 660, 2003, 25.
29. Aoyama H., Nakayama N., Sato M., Tanaka T. sl (2) construction of type A N-fold supersymmetry. Phys. Lett. В 519, 2001, 260.
30. Aoyama H., Sato M., Tanaka Т. General forms of a N-fold supersymmetric family. Phys. Lett. В 503, 2001, 423.
31. Aoyama H., Sato M., Tanaka T. N-fold supersymmetry in quantum mechanics: general formalism. Nucl. Phys. В 619, 2001, 105.32 333 435 3637.
