Асимптотическая устойчивость и локальная единственность решений двумерных сингулярно возмущенных задач с пограничными и внутренними слоями

В последние годы в теории сингулярных возмущений активно исследуются решения с внутренними переходными слоями. Такие решения получили название «контрастные структуры» [1] (далее имеются ввиду решения нелинейных эллиптических задач с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемых в односвязной ограниченной области).

Контрастная структура типа ступеньки (КСТС), а именно о таких контрастных структурах пойдет речь в данной работе, характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это — малые окрестности некоторых кривых, лежащих внутри области определения КСТС) в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня.

Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций. Для одномерных задач это сделано в [1−4] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [4−6]. Обширная библиография содержится в [4].

В [5] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной задачи.

Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова). Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос исследовался в работах [7−10] и ряде других (см. библиографию, приведенную в работах [7−10] и [4]), и ответ был получен путем оценки главного (наибольшего) собственного значения соответствующего линеаризованного оператора. Методы, использованные в [7−10] не удается применить для многомерных задач, о которых идет речь в данной работе.

Таким образом, вопросы о достаточных условиях локальной единственности и устойчивости многомерных контрастных структур типа ступеньки оставались открытыми.

Эти вопросы решены в данной работе на основе нового метода.

По сути удалось указать условия на верхнее и нижнее решения сингулярно возмущенной краевой задачи, при выполнении которых наряду с существованием (точного) решения (в области между верхним и нижним решениями) рассматриваемой задачи (о чем было известно ранее) можно утверждать локальную единственность и асимптотическую устойчивость этого решения. Этот метод применим как для одномерных, так и для многомерных задач и вместе с асимптотической устойчивостью и локальной единственностью позволяет исследовать области влияния (устойчивых) решений, а также находить оценки собственных значений соответствующих линеаризованных операторов (для простоты изложения в работе рассматривается двумерный случай).

Используемый метод позволил обосновать асимптотическую устойчивость и локальную единственность контрастных структур типа ступеньки (при условиях, обеспечивающих построение упорядоченных верхнего и нижнего решений рассматриваемых задач достаточно высокого порядка точности по малому параметру), а также решений без внутренних переходных слоев, т. е. (чисто) погранслойных решений (ПР), и получить информацию об их областях влияния, причем как в случае задач с условиями Дирихле, так и в случае задач с условиями Неймана (и вне зависимости от того является ли линеаризованный на исследуемом решении оператор рассматриваемой задачи (ЛО) формально самосопряженным или нет) — для случаев задач с формально самосопряженными Л О получены еще и оценки собственных значений этих ЛО.

Отметим, что сходные результаты по областям влияния (устойчивых) КСТС и ПР для одномерных задач (другим методом) были получены в [11,12]. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность многомерных ПР в случае, когда ЛО является формально самосопряженным следуют из оценки главного собственного значения этого ЛО, полученной (другим методом) в [13].

Следует также отметить, что в данной работе охвачены практически все основные случаи условий, при выполнении которых удается построить формальную асимптотику и доказать существование двумерных контрастных структур типа ступеньки (в рассматриваемых здесь задачах), причем доказательство асимптотической устойчивости и локальной единственности этих решений проходит без добавления каких-либо дополнительных требований. Подчеркнем, что все только что сказанное относится именно к двумерному случаю. В одномерном случае доказательство существования КС, ТС удается провести при более слабых требованиях [1], причем при этих ослабленных требованиях такое решение может оказаться неустойчивым [4],[7−10].

Краткое содержание работы. о.

В главе 1 доказаны теоремы существования решений нелинейных эллиптических и параболических задач (теоремы (1.1) и (1.2)) в случаях, когда существуют негладкие на некоторых кривых верхнее и нижнее решения. Эти теоремы являются обобщением известных теорем существования для случая гладких верхнего и нижнего решений. Кроме того, в заключительном параграфе главы 1 приведены определения асимптотической (С-С)-устойчивости и области влияния стационарного решения, а также теорема о достаточных условиях асимптотической (С-С)-устойчивости (теорема (1.3)). Результаты главы 1 носят вспомогательный характер.

В главе 2 приведен общий метод доказательства асимптотической (С-С)-устойчивости и локальной единственности сингулярно возмущенных задач (его главные утверждения — теоремы (2.1) и (2.2)), являющейся одним из основных результатов работы (см.

Введение

).

В главе 3 результаты главы 2 применяются для доказательства асимптотической (С-С)-устойчивости и локальной единственности контрастных структур типа ступеньки (при различных условиях) и погранслойных решений, возникающих в сингулярно возмущенных нелинейных эллиптических краевых задачах, рассматриваемых в двумерной ограниченной области. Основные результаты главы 3 (теоремы (3.2),(3.4),(3.5)-(3.8)) содержат также утверждения об областях влияния исследуемых решений и оценки собственных значений линеаризованных на этих решениях операторов рассматриваемых задач.

В данной работа для нумерации формул принята десятичная система: первая цифра — номер главы, а цифры после точки — порядковый номер формулы в данной главе. Аналогичным образом нумеруются леммы, теоремы и следствия.

1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

2. Васильева А. Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. N 9. С. 1560−1568.

3. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

4. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Автоматика и телемеханика. 1997. N 7. С. 4−32.

5. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132−1139.

6. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С. 719−722.

7. Васильева А. Б. Об устойчивости контрастных структур // Матем. моделирование. 1991. Т. 3. N 4. С. 114−123.

8. Васильева А. Б., Никитин А. Г. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо // Матем. моделирование. 1995. Т. 7. N 2. С. 61−71.

9. Angenent S., Mallet-Paret J., Peletier L. Stable transition layers in a semilinear boundary value problems // J. Diff. Equations. 1987. V. 67. N 2. P. 212−242.

10. Hale J. K., Sakamoto K. Existence and stability of transition layers // Japan J. of Appl. Math. 1988. V. 5. N 3. P. 367−405.

11. Васильева А. Б., Бутузова M. В. Об устойчивости стационарных решений с пограничными и внутренними слоями // Математические методы и их приложения. (Труды третьих математических чтений МГСУ 24−29 января 1995). М.: МГСУ. 1995. С. 81−86.

12. Васильева А. Б. Об области влияния стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения //Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т. 33. N 6. С. 874−883.

13. Fife Р. С. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 52. N 3. P. 205−232.

14. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. М.: Мир, 1988.

15. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

16. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

17. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. N 11. P. 979−1001.

18. Amann H. On the existence of positive solutions of nonlinear elliptic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1971 V. 21. N 2. P. 125−146.

19. Amann H. Existence and stability of solutions for semilinear parabolic systems and applications to some diffusion reaction equations // Proc. Roy. Soc. of Edinburgh. 1978. V. 81. N 1. P. 35−47.

20. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations // Nonlinear analysis: Collections of Papers in Honor of Eric Rothe. New York: Academic Press, 1978. P. 1−29.

21. Ильин A. M., Калашников А. С. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3. С. 3−146.

22. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

23. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

24. Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. N 4. С. 103−131.

25. Вере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

26. Бутузов В. Ф., Неделько И. В. Устойчивость контрастных структур типа ступеньки в двумерном случае // Доклады РАН. 1999. Т. 366. N 3. С 1−4.О.

27. Бутузов В. Ф., Неделы^о И. В. Устойчивость решений сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 135−136.

28. Бутузов В. Ф., Неделько И. В. Об устойчивости контрастных структур // Дифферент уравнения. 1998. Т. 34. N 6. С. 852−853.

29. Бутузов В. Ф., Неделько И. В. Об устойчивости многомерных контрастных структур // Математические методы и приложения. (Труды шестых математических чтений МГСУ 25−30 января 1998 года). М.: МГСУ. 1999. С. 1−6.