Топологические солитоны в нелинейных киральных моделях

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

D (n) = Tj (gn) = exp, 0 < в < тг, m-единичный вектор, перпендикулярный векторам п и по = (0,0,1), m = (sin <�р, — cos <�р, 0). Заметим, что это можно сделать для всех п за исключением случая п = (0,0, —1). Оператор описывает бесконечно — малое вращение вокруг к-ой эсивекторы ц) в пространстве представления Ж3 являются собственными векторами операторов ,/о и ,/2 = .]'(+ .7| +, 7… Читать ещё >

Содержание

Геометрические основы киральных моделей
- 1. 1. Топологические солитоны
- 1. 2. Топологические заряд
Обобщенная модель Гейзенберга
- 2. 1. Квазиклассическое приближение для обобщенной модели Гейзенберга
- 2. 2. Доменные стенки в негейзенберговском ферромагнетике
- 2. 3. Двухмерные топологические возбуждения в обобщенной модели Гейзенберга
- 2. 4. Трехмерные вихри в обобщенной модели Гейзенберга
Спинорная реализация модели Скирма
- 3. 1. Учет фермионных степеней свободы в киральных моделях
- 3. 2. Спинорная модель Скирма
- 3. 3. Состояние с максимальной компактной группой
Заключение
Приложение 4

В современной теоретической физике большой интерес представляет изучение киральных моделей, для которых поле принимает значения в некоторых компактных многообразиях. При их описании применяются современные алгебраические и геометрические методы. Основным объектом изучения в киральных моделях являются топологические солитоны, обладающие свойствами локализованное&trade- и устойчивости. Такие свойства часто наблюдаются в разных физических явлениях, описывающихся нелинейными уравнениями. Исследование этих явлений привело к созданию новой области математической физики — теории солитонов [14,40], которая занимается изучением особого вида решений нелинейных волновых уравнений, получивших название солитонных и описывающих локализованные долгоживущие возбуждения нелинейных систем. Появление новых математических методов в физике позволило в последние годы существенно развить применение киральных моделей не только в теории взаимодействующих полей, но и в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, а также в физике конденсированного состояния.

В теории поля успешно применяется интерпретация элементарных частиц как локализованных устойчивых возбуждений с конечной энергией. Это позволяет найти соответствие между солитонными решениями и 5 состояниями, описывающими протяженные частицы в квантовой теории поля [46,64].

В физике конденсированных состояний изучаются различные упорядоченные и неупорядоченные структуры вещества [3]. Исследование устойчивости тех или иных дефектов или нарушений локального равновесия, возникающих в этих структурах, и необходимость их классификации неизбежно приводят к необходимости применения современных топологических методов.

В теории солитонов актуально развитие теории устойчивости в смысле Ляпунова [19]. В данной области в настоящее время известны основополагающие работы Т. Б. Бенджамина [47], Дж. Шатаха [61], В. Штрауса [63], В. Е. Захарова [12,13], Е. А. Кузнецова [15,65], В. Г. Маханькова [57], Ю. П. Рыбакова [32] и др. Применение критериев устойчивости топологических солитонов позволяет строить новые виды киральных моделей и искать их подтверждение на опыте. Поэтому изучение подобных моделей является актуальным для современной науки.

В диссертации предложена новая квазиклассическая модель ферромагнетиков, обобщающая известную сигма — модель, основанную на спиновом гамильтониане Гейзенберга [5]. В основе этой новой модели лежит спиновый гамильтониан Гейзенберга — Тябликова [39], содержащий спиновые операторы в четвертой степени. В диссертации изучаются топологические солитонные возбуждения различного числа измерений в указанной модели. 6 онных кварковых возбуждений в рамки популярной в ядерной физике модели Скирма [62], применяемой для описания структуры барионов как топологических солитонов. В работе предлагается спиноризованный вариант модели Скирма и изучаются простейшие решения в ее рамках.

Структура диссертации предполагается следующей:

Во введении обосновывается важность и актуальность темы и предмета исследования, дается краткий обзор истории вопроса, основных методов исследования и содержания диссертации.

Топологические солитоны в нелинейных киральных моделях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. В квазиклассическом приближении в непрерывном пределе получен функционал энергии в обобщенной модели ферромагнетика Гейзен-берга, предложенной Тябликовым;

2. Получено описание статических доменных стенок одноосного ферромагнетика в модели Гейзенберга — Тябликова;

3. При рассмотрении одноосного ферромагнетика в модели Гейзенберга — Тябликова получены: a) описание вариационным методом двухмерных вихрей, размер которых фиксированb) описание методом теории возмущений в ограниченной области двухмерных вихрей и их асимптотического поведения на бесконечности;

4. Доказано существование трехмерных топологических солитонов в модели ферромагнетика Гейзенберга — Тябликова;

5. Построен лагранжиан спиноризованной модели Скирма, свободный от генераторов внутренной группы, и получена оценка снизу для соответствующей энергии через энергию модели Рыбакова — Фаража;

87 видим, что пространство X изоморфно двумерной единичной сфере ?2, т. е. множеству единичных векторов п вида п = (sin 9 COS (f, sin # sin <р, COS в).

Элемент дп? X можно также записать в виде дп = ехр i-(miOi + m2cг2) где mi = sm (р,.

71 =.

Ш'2 = — COS /.

0 1 0 -г (Г2 =? 0 >

Унитарное неприводимое представление Т (д) группы ви (2) задается неотрицательным целым или полуцелым числом Т (д) = Т3 (д), сИтТ3 = 2^ + 1. Инфинитезимальные операторы ,/± = ± г/2,^о = Н представления Т3(д) удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям: о, — ±-е/±-, ["/, </+] = —2/0.

Оператор описывает бесконечно — малое вращение вокруг к-ой эсивекторы ц) в пространстве представления Ж3 являются собственными векторами операторов ,/о и ,/2 = .]'(+ .7| +, 7|:

Соответственно оператор ехр[го/(т, Л)], т2 = 1 описывает поворот за угол и вокруг оси, задаваемой вектором т.

Действуя на вектор ф$) операторами TJ (д), получаем искомое когерентное состояние. TJ'(g) можно представить в виде:

Ti (g) = T>Xffu)T>h).

Отсюда следует, что при выборе в качестве |^>о) вектора jj, /г) когерентное состояние задается единичным вектором: п) = е^Т^фо).

Когерентное состояние определяется точкой двухмерной сферы:

S2 = SO (3)/SO (2) = SU (2)/U (1), которая является орбитой коприсоединенного представления, т. е. может рассматриваться как фазовое пространство классической динамической системы — классического спина. Фазовый множитель еш (п) удобно выбрать равным единице, так что: п) =£>(п)|^0), где.

D (n) = Tj (gn) = exp[?0(m, J)], 0 < в < тг, m-единичный вектор, перпендикулярный векторам п и по = (0,0,1), m = (sin <р, — cos <р, 0). Заметим, что это можно сделать для всех п за исключением случая п = (0,0, —1).

Для рассматриваемых систем в качестве можно выбрать fi) с произвольными? i. На первый взгляд, все такие системы когерентных.

89 зстояний являются эквивалентными. Однако состояния (./*, ±7) миними-аруют величину дисперсии момента. Для них справедливо: поэтому состояния определяют систему когерентных состояний аиболее близких к классическим. Мы можем выбрать в качестве юбое из них, поскольку оба состояния эквивалентны. Для нас более добно выбрать в качестве (^о) состояние —]).

Спиновое когерентное состояние является собственным вектором опе->атора (и, Л): п, Л)|п> = -Лп>. (5.1.1).

Уравнение (5.1.1) сразу же следует из уравнения о|по) = -^'1по> По = (0,0,1) а соотношения.

В (п)^В-п) = (п, Л).

Инфинитезимальные операторы в когерентном состоянии обладают свойством: п|Л|п) = -^п, а также.

90 где к = 1,2,3. Для вычисления среднего от произведения разных компонентов инфинитезимальных операторов в когерентном состоянии представим его в удобной форме:

1 1 М ¿-«¿-М) = 2<�пР"^]+|п) + -<�пра^]|п), используя известное коммутационное соотношение и то, что антикоммутатор можно представить в виде комбинации симметрических тензоров второго ранга п|[4 <//?]+|п) = А6ар + Впащ.

Коэффициенты А, В можно определить с помощью уравнения (5.1.2). В итоге получаем формулу п|/а.7/?|п) = + 3 — ^ Пащ — Ъ-?а/ЗуЗПу. (5.1.3).

5.2. Усреднение по всем возможным направлениям.

Для нахождения усреднения по всем возможным направлениям векторов, а и а' с условием (а, а') = 0, воспользуемся параметризацией: а2 (вт 9 сое ф, ът9 вт ф, сое 9), сое ф сое ф + втф вт ф сое 0, а, а'] а/а а2/а = со8 фвтф — вт ф эт ф сое 9, а3/а = Бтфзтв, да дф.

5.2.1).

91 где в? [0,7г], ф, ф Е [0,2тг] - параметры группы SO (3) с мерой dp = i sin вМйфЦ- (5−2.2).

Тогда результат усреднения определяется формулой: 1, J aiiai2—-aii~.a'j1a'j2—-a'jl sin 6<16Фф (1ф. (5.2.3).

Выражение (5.2.3) является тензорам и симметричным относительно отражения, а —? —а и поэтому если к или I нечетные, то.

Вместо прямого вычисления интегралов (5.2.3) удобнее применить цругой метод, основанный на использовании трансформационных свойств рассматриваемых величин. Из определения (5.2.3) следует, что эти величины должны быть одинаковыми в любой повернутой системе координат. Поэтому они будут выражаться через такие тензоры, компоненты которых не зависят от выбора системы координат. Поэтому можно написать.

Для определения Л свернем тензор по двум индексам: a? a? = а2 = а2 = ЗА. Отсюда следует, что Л = 1/3. Точно также можно предположить,.

ITO.

Из свойства симметрии а1а^а'ка = щ^аа!к следует, что А2 = Л3. Применяя операцию свертывания тензора (5.2.4), получаем ш а, г^а'ка'к = а ща^ = = (ЗЛ1 + 2А2)<%. Аналогичный образом имеем, а гака’ка = 0 = (А1 + 4А2)^.

В итоге получаем систему уравнений: а.

ЗА!+2А2 = —,.

5.2.5).

А2 + 4А2 =0.

Решая уравнение (5.2.5), получаем, что А1 = 2а4/15,А2 = — а4/30.

Рассуждая точно так же, найдем а4 а ¿-акщ = — + + Ьц&кз).

В результате усреднения по мере (5.2.2) получаем следующие нетривиальные средние:

5.3. Вывод гамильтониана рассматриваемых конфигураций атомов в кубической решетке.

Рассмотрим взаимодействие двух атомов, учитывающее обмен четвертого порядка по спину: н{а) = ЕрЗь 8*+1Г = Е в^! — ЕФ, к к к.

Л Л Л.

5.3.1).

После усреднения по спиновому когерентному состоянию, переходя к непрерывному пределу, имеем энергию возбуждения:

Я<" >> = ¿-/Л3 {<�§"8^,) — ((¿-ь^)2)}, ^ / <Ь3 {(^ХО —, (5.3.2).

Применяя формулу (5.1.3), получаем:

Я") = -?52 / Ъ* { + (5 — п%4 — г-е^п1) х х + (5 ¦-) п"к+Я+1 ~ }, (5−3.3) х3 | - ^ (п*, щ+1}2 — п*+1) |.

Ограничиваемся разложением поля щ+1 = п (г*+1) = п (г + а) до четвертого порядка:

Щ = п, щ+1 = + + + где й = (а7). Подставляя (5.3.4) в (5.3.3), получаем.

5.3.4).

К5Ч)2(<�гп)4}- (5-з-5).

После усреднения по всем возможным направления вектора, а обо-?начим вклад в энергию Е[а}. Тогда:

Е[а) = {Й{а)) = ?52 / £х<

5(5- 1)(йп)'.

— ^5(5 — 1)(Ап)2 + (дщ)4 + 2 (<%п, дрУ.

5.3.6).

Рассмотрим взаимодействие трех атомов, учитывающее обмен четвертого порядка по спину:

5.3.7).

После усреднения по спиновому когерентному состоянию, переходя ес непрерывному пределу, имеем.

Н[Ь)) = {(вК^!, §*+!)) — <(8*, 8Ж)(М*-1))}.

— (5.3.8).

Применяя формулу (5.1.3), получаем:

Н?) = —^53 / &-хъ {(5 + 1)(п*1, пк+1)~ (5 ¦- п"к4 — пи4+1}.

5.3.9) и для производных введем обозначение.

1. Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.

2. Белавин A.A., Поляков A.M. Метастабильные состояния двухмерного изотропного ферромагнетика // Письма в ЖЭТФ. 1975. — Т.22, N 10. — С. 503−506.

3. Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н.

Введение

в топологию. М.: Наука, 1995. — 416 с.

4. Вакуленко А. Ф., Капитанский JI.B. Устойчивость солитонов в S2 нелинейной сг-модели // Докл. АН СССР. 1979. — Т. 246, N 4. — С. 840−842.

5. Вонсовский C.B. Магнетизм. М.: Мир, 1987. — 480 с.

6. Ботт Р., Ту JI. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М.: Платон, 1997. — 336 с.

7. Дзялошинский И. Е., Иванов Б. А. Локализованные топологические солитоны в ферромагнетике ff Письма в ЖЭТФ. 1979. — Т. 29, вып. 9. — С. 592−595.

8. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. — 694 с. 99.

9. Захаров В. Е. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. 1972. — Т. 62, вып. 5. — С. 1745−1759.

10. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. — 320 с.

11. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. О трехмерных солитонах // ЖЭТФ. -1974. Т. 66, вып. 5. — С. 594−597.

12. Косевич A.M., Иванов Б. А., Ковалев А. С. Нелинейные волны намагниченности: Динамические и топологические солитоны. Киев: Наукова думка, 1983. — 190 с.

13. Кринчик Г. С. Физика магнитных явлений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. — 336 с. 100.

14. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. -576 с.

15. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Л. — М.: ОНТИ, 1935. — 386 с.

16. Малкин ИМанько В. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979. — 320 с.

17. Масленникова В. Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Изд-во РУДН, 1997. — 445 с.

18. Маханьков В. Г., Рыбаков Ю. П., Санюк В. И. Модель Скирма и соли-тоны в физике адронов. Лекции для молодых ученых. Вып. 51. Р4−89−568. — Дубна: ОИЯИ, 1989. — С. 171.

19. Монастырский М. И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М.: ПАИМС, 1995. — 477 с.

20. Нагаев Э. Л. Магнетики со сложными обменными взаимодействиями. М.: Наука, 1988. — 232 с.

21. Пайфэ А.

Введение

в методы возмущений. М.: Мир, 1984. — 532 с.

22. Переломов Л. М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987. — 270 с.

23. Переломов Л. М. Решения типа инстантонов в киральных моделях // Успехи физических наук. 1981. — Т. 134, вып. 4. — С. 577 — 609.101.

24. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. -М.: Мир, 1985. 414 с.

25. Рубаков В. А. Классические калибровочные поля. М.: УРСС, 1999. — 335 с.

26. Рыбаков Ю. П. Итоги науки и техники. Классическая теория поля и теория гравитации. М.: ВИНИТИ, 1991. — Т. 2. — С. 56.

27. Рыбаков Ю. П. О солитонах с индексом Хопфа // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 12. — М.: Энергоиздат, 1982. — С. 147−154.

28. Рыбаков Ю. П. Устойчивость многомерных солитонов, Дисс. докт. физ.-мат. наук. Дубна: ОИЯИ, 1994.

29. Рыбаков Ю. П. Очоа Хименес Р. Квазиклассическое описание негейзенберговского магнетика с биквадратичным спиновым взаимодействием. // Вестник Российского университета дружбы народов, серия «Физика». Вып.1 1997. — N 5. — С. 51−53.

30. Рыбаков Ю. П. Очоа Хименес Р. Доменные стенки в негейзенберговском ферромагнетике. // Вестник Российского университета дружбы народов, серия «Физика». Вып. 1. 1998. — N 6. — С. 57−59.

31. Рыбаков Ю. П., Фарраж П. Аби. Спинорная реализация киральной модели Скирма // Вестник Российского университета дружбы народов, серия «Физика». Вып.1. 1996. — 4. — С. 59−64.102.

32. Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Геометрия и классические поля. М.: УРСС, 1996. — Т. 1. — 224 с.

33. Семенов ТянШанский МА., Фаддеев Л. Д. К теории нелинейных ки-ральных полей // Вестник ЛГУ. — 1977. — N 13. — С. 81−88.

34. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Издательство СО АН СССР, 1962. — 256 с.

35. Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука, 1975. — 528 с.

36. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука, 1979. — 528 с.

37. Фаддеев Л. Д. Калибровочно-инвариантная модель электромагнитного и слабого взаимодействия лептонов // Докл. АН СССР. 1973. — Т. 210, N 4. — С. 807−810.

38. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. М.: Мир, 1977. — 306 с. 103.

39. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука, 1989. 398 с.

40. Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. Новокузнецк: Изд-во Новокузнецкого Физико — математического института, 1998. 530 с.

41. Adkins G.S., Nappi Ch.R., Witten E. Static Properties of Nucleons in the Skyrme Model // Nucl. Phys., ser. B. 1983. — V. 228, No 4. — P. 552 -566.

42. Benjamin T.B. The Stability of Solitary Waves // Proc. Roy. Soc., ser. A.- 1972. V. 328. — P. 153−183.

43. Bogolubsky I.L. Three Dimensional Topological Solitons in the Lattice Model of a Magnet with Competing Interactions // Phys. Lett., ser. A. -1988. — V. 126, No 8,9. — P. 511−514.

44. Case K.M. Biquadratic Spinor Identities // Phys. Rev. 1955 — V. 97, No 3. — P. 810.

45. Coleman S. Classical Lumps and their Quantum Descendants. Lectures at the 1975 International School of Subnuclear Physics «Ettore Majorana» (Erice) «New Phenomena in Subnuclear Physics». Ed.A. Zichichi. N.Y.: Plenum Press, 1977. — P. 297−421.

46. Derrick G.H. Comments on Nonlinear Waves Equations as a Model for Elementary Particles //J. Math. Phys. 1964. — V. 5, No 9. — P. 12 521 254.104.

47. Enz U. Die Dynamik der blochschen Wand // Helv. phys. acta. 1961. -V. 37. — P. 245−251.

48. Enz U. A New Type of Solitons with Particle Properties //J. Math. Phys.- 1977. V. 18, No 3. — P. 347−353.

49. Faddeev L.D. Some Comments on Many Dimensional Solitons // Lett. Math. Phys. — 1976. — V. 1, No 4. — P. 289−293.

50. Hobart R.H. On the Instability of a Class of Unitary Field Models // Proc. Phys. Soc. 1963. — V. 82, part 2, No 526. — P. 201−203.

51. Kundu A., Rybakov Yu.P. Closed-Vortex-Type Solitons with Hopf Index // J. Phys., ser. A.: Math., Gen. 1982. — V. 15, No 1. — P. 269−275.

52. Makhankov V.G. Dynamics of Classical Solitons (in Non-Integrable Systems) // Phys. Reports, ser. C. 1978. — V. 35, No 1. — P. 1 — 128.

53. Palais R. The Principle of Symmetric Criticality // Comm. Math. Phys.- 1979. V. 69, No 1. — P. 19−30.

54. Reifler F., Morris R. A gauge Symmetric approach to Fierz Identities // Jour. Math. Phys. -1986. V. 27, No 11, — P. 2803−2806.

55. Shatah J. Stable Standing Waves of Nonlinear Klein Gordon Equations// Comm. Math. Phys. — 1983. V. 91, No 3. — P. 313−327.

56. Skyrme T.B.R. A Unified Field Theory of Mesons and Baryons // Nucl. Phys. 1962. — V. 31, No 4. — P. 556−569.

57. Strauss W. Stable and Unstable States of Nonlinear Wave Equations// Contemp. Math. 1983. — V.17, No 3. — P. 429−441.

58. Zahed L, Brown G.E. The Skyrme Model // Phys. Reports, ser. C. 1986. V. 142, No 1 & 2. — P. 1 — 102.

59. Zakharov V.E., Kuznetsov E.A., Rubenchik A.M. Soliton Stability. -Novosibirsk, 1983. 62 p. / Preprint Inst. Automatics & Electrometry, Siberian Branch of USSR Acad. Sei., No 199.

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой