Современное состояние проблемы.
Моделирование процессов в плазме является одной из наиболее актуальных и сложных проблем современной физики высоких энергий. Первые исследования электрических разрядов в газах были выполнены в 1830-х Майклом Фарадеем. В 1879 году Вилльям Крукс ввёл представление об ионизованном газе как о четвёртом состоянии вещества. Термин «плазма» в физике был введён Ленгмюром [1] в 1928 году, для описания области со «взаимоуравновешивающими зарядами ионов и электронов», характеризующей состояние газа, через который пропускают переменные токи большой мощности. За прошедшие десятилетия появилось большое количество физических проблем, связанных с исследованием плазмы, таких как осуществление управляемого термоядерного синтеза для получения принципиально новых источников энергии [2—4], узучение строения и эволюции звёзд [5]. Большой интерес представляет плазма в атмосфере Земли и планет. Без изучения физических процессов в плазме невозможно успешное развитие устройств, применяемых в экспериментах по Z-пинчам [6], быстрому импульсному нагреванию металлических проволочек [7]. Другим возможным примером является плазма капиллярных разрядов [8], в которых возможно образование горячей, плотной плазмы с необходимыми для рентгеновского лазера параметрами. Капиллярные разряды также можно использовать для каналирования лазерных импульсов для обеспечения режима его распространения без дифракционного расширения [9, 10]. Многопроволочные лайнеры так же могут служить источником мощного рентгеновского излучения [11, 12]. Результаты таких исследований находят применение в различных задачах, связанных со спектроскопией, медициной. Кроме того, плазма используется для проведения химических реакций, которые в горячей сильно ионизованной среде протекают быстро. Так почти полностью ионизированная плазма присутствует в устройствах, применяемых в техногии травления металлических и полупроводниковых плат.
Моделирование процессов в плазме достигло значительных успехов с использованием основных результатов теоретической физики ХХ-го века и, прежде всего, кинетической теории газов и уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Основные положения магнитной гидродинамики были сформулированы в 1940;х гг. шведским физиком Х. Альфвеном [13], который в 1942 году предложил эту теорию для объяснения ряда явлений в космической плазме, таких как солнечные пятна. Сборник ранних работ Альфвена «Cosmical Electrodynamics» [14] оказал огромное влияние на специалистов по астрофизике и физике плазмы. Альфвен сделал много пророческих открытий в области физики плазмы, которые выглядели неожиданно и даже отвергались в свое время. Альфвен сформулировал положение о «вмороженности» магнитного поля в плазму, открыл новый тип волнового движения проводящей среды в магнитном поле — магнитогидродинамические волны [15], в его честь названные волнами Альфвена, которые были обнаружены в жидком металле в 1949 и в плазме в 1959 г. Еще одним из ранних предположений Альфвена, подтвердившихся позднее, было существование крупномасштабных слабых магнитных полей в Галактике из-за присутствия даже малого количества плазмы — полей, которые влияют на движение космических лучей. Новая область физики, получившая название магнитной гидродинамики, основы которой заложил Альфвен, оказалась важной не только для исследований по управляемому термоядерному синтезу [16], но и для разработок по таким темам, как сверхзвуковые полеты, ракетные двигатели и торможение спускаемых космических аппаратов.
Гидродинамическая часть МГД уравнений плазмы может быть получена при помощи одночастичной функции распределения /(?, r, v), впервые предложенной Максвеллом для описания системы большого количества частиц, где величина /с?Г определяет ожидаемое количество частиц, находящихся в элементе фазового объема с? Г = clrdv [17].
Моментом Nго порядка функции распределения называют компоненты тензора N-ro порядка вида: б где Xk = 1,2,3. Наряду с моментами мм так же рассматривают.
Г N v) — hi i. Ajv ~ / II Jfe=l IK/<*v. (2) где u = v — V. Моменты М^ и мм могут быть выражены друг через друга. С этой точки зрения параметры гидродинамических уравнений МГД плазмы (локальные плотность, импульс и температура) являются моментами одночастичной функции распределения. Например, n (t, г) = М<°> (3) число частиц в единице объема,.
VA (i, r) = -V' (4) V средняя скорость частиц,.
5) Л средняя температура газа.
Уравнение для функции распределения / впервые было получено Больцманом для газа нейтральных частиц, и носит его имя: df.
7rSt- ®.
Здесь df/dt — производная вдоль фазовой траектории частиц, a St — скорость изменеиия количества частиц вдоль фазовой траектории за счет столкновений между ними, так же называемая интегралом столкновений. Больцман так же установил, что для «сумматорных инвариантов» фг, г = 0,1,2,3,4, где.
Фо (va) = rna — Ф (уа) = mava- ^4(va) = mav2a, (7) а величины.
JvJa/? = (8) удовлетворяют следующим соотношениям:
Равновесное решение уравнения (6) з/2 г п i т ч 3/2 ехр т 0.
2 Т ~ ^ называется Максвелловским распределением, и было открыто Максвеллом еще до получения Больцманом уравнения (6).
Несмотря на то, что кинетическое уравнение (6) успешно использовалось для описания процессов в газах, оно не сразу нашло применение в теории плазмы. Так Тонкс и Ленгмюр уже в работе [18] рассматривали самосогласованным образом движение частиц плазмы и электромагнитного поля, однако не использовали кинетическое уравнение. Вероятно причиной тому служит тот факт, что для рассмотрения кинетического уравнения для заряженных частиц требуется записать интеграл столкновений St для далеких столкновений заряженных частиц, соответствующих малому изменению их импульсов. Впервые это сделал Ландау [19]. В так называемом приближении кулоновского логарифма интеграл столкновений частиц сорта, а и (3, имеет вид [20]:
Sta/j (/a, М = -divsa/?- X ^ Г (fa Щ tidfAn,' М-П.
— ST" J Uц — u^dv' (11) где их" =-^з-U = v-v, (12) а Аар — кулоновский логарифм столкновений между частицами сортов, а и /3. В формулах величины без штрихов являются функциями координаты ra = г и скорости va = v частицы сорта а, а величины со штрихами являются функциями координаты гд = г' и скорости vp = v' частицы сорта (5. Идея Ленгмюра—Тонкса рассматривать движение частиц и электромагнитное поле самосогласованным образом впервые была реализована в кинетическом уравнении Власовым [21] для случая бесстолкновительной плазмы, когда интеграл столкновений St = 0. В этом случае уравнение (6) принимает вид: df df ze (1 df где Е и В — напряженности электрического и магнитного полей, для которых справедливы уравнения Максвелла: divE = 47Гр- -^? = -rotEdivB = 0- rotB = — j + (14) с at с с at.
Уравнение (13) описывает поведение так называемой бесстолкновительной плазмы. В случае столкновительной плазмы кинетическое уравнение принимает вид: где Stар определяется формулами (11)—(12).
Уравнение (6) решается точно только в ряде простых задач. В общем случае необходимы приближенные математические методы. Одним из них является метод разложения функции / по малому параметру е: f (t, r, v) = Y, ekf{k)(t, r, v). (16) к.
Впервые такой подход в кинетической теории газов был использован немецким математиком Гильбертом [22]. В качестве малого параметра € он взял число Кнудсена Кп, равное отношению длины свободного пробега частицы, А к характерному размеру системы L. Им был исследован частный случай газа, состоящего из идеальных упругих шаров, для которого разработанный им метод имеет математически строгое и в тоже время достаточно простое обоснование. Гильберт установил, что в рассматриваемом случае решение / в любой момент времени определяется пятыо величинами, которые есть плотность частиц газа п, три компоненты средней скорости V и температура Т. Он так же показал, что уравнения гидродинамики для макроскопических параметров газа п, V и Т получаются естественным образом, как условия разрешимости уравнений для последовательных приближений ряда (16), получающихся из кинетического уравнения (6). Класс решений уравнения (6), представимых в виде ряда (16), называется гильбертовым классом нормальных решений. Энског использовал метод Гильберта и на его основе получил разложение в ряд функции распределения, описанное им в докторской диссертации [23]. В отличие от метода Гильберта, производная df/dt раскладывается в ряд и) к не по очевидной формуле о) = 0- = — к> 0, (18) at, а так, чтобы уравнения для макроскопических параметров вещества, получаемые в каждом порядке аппроксимации к, решались в явном виде относительно f (k На основе этого метода Энскогом были получены имеющие практическое значение транспортные коэффициенты и предсказано явление термодиффузии. Аналогичные результаты были независимо получены Чепменом путём обобщения предложенного Максвеллом метода нахождения кинетических коэффициентов. Метод Энскога был использован Чепменом и Каулингом [24], вследствие чего стал известен как метод Чепмена—Энскога. Он впервые позволил получить в явном виде члены к > 1 разложения (16). Непосредственно Энскогом было получено решение для к = 1. Члены следующего порядка к = 2 на основе метода Чепмена—Энскога получил Барнетт [25]. Кроме того, им впервые был предложен способ, позволяющий методом Чепмена—Энскога получить выражения для транспортных коэффициентов в виде, удобном для численных расчетов, заключающийся в разложении коэффициетов слагаемых получающегося для решения в ряд по полиномам Сонина, так же называемым полиномами Лаггера. Для достижения требуемой точности оказывается достаточным учесть только несколько первых N членов ряда. В различное время этот подход был использован Каулингом [26] для случая N = 2, Ландзхоффом [27] и Брагинским [28] для случая N = 3, Шкарофским [29] для N = 4, Канеко [30] для N = 6, Фенебергом и Фиссерром [31] для N = 9. Метод Чепмена—Энскога использует предположение метода Гильберта, согласно которому функция распределния зависит только от n, V и Т, т. е. является функцией моментов нулевого, первого и второго порядков, а остальные моменты однозначно определяются значениями моментов нулевого, первого и второго порядков.
Кроме того, в нем, как и в методе Гильберта выполнено предположение о малости числа Кнудсена Кп. Среди других способов решения [32] кинетического уравнения стоит отметить метод моментов Трэда [33, 34]. Трэд обобщил предположение Гильберта, согласно которому решение кинетического уравнения принадлежит классу решений, зависящих только от первых пяти моментов Mfy предполагается, что функция распределения целиком определяется значениями некоторой совокупности моментов ., М^: =/(v, М<4.,, (19) а остальные моменты однозначно определяются значениями моментов M^kl ., M^ktf Этот подход был реализован Трэдом путём разложения функции распределения / в ряд по полиномам Эрмита Н^: f = /<�"> |в°Я (°" + а! Х> +. + + -}.
20) где а?, N коэффициенты, функции t иг. Трэдом было получено широкоизвестное 13-ти моментное приближение [33, 35, 36].
На основе метода Чепмена—Энскога и идеи Барнетта использования полиномов Сонина во второй половине двадцатого века был проведен ряд математических исследований [28—38], посвященных вычислению транспортных коэффициентов в диссипативных потоках уравнений МГД плазмы. Кинетические коэффициенты плазмы зависят от параметров х и w, где.
Шп х = (21) замагниченность плазмы, равная отношению ларморовской частоты ив к частоте столкновений v частиц между собой, а w = ui/u2 (22) отношение частот щ, U2 столкновений разных частиц плазмы между собой, указывающее относительную роль разных столкновений в плазме. Одно из первых исследований с целью вычисления коэффициентов теплопроводности и проводимости было выполнено Спитцером и.
Хармом [39, 40] в случае х = 0 для нескольких значений w. Работа [40] служит хорошей проверкой для всех теорий в пределе х = 0. Широкую известность получило исследование Брагинского [28], в котором при помощи модифицированного метода Чепмена—Энскога [24] по аналогии с работой Шлютера [41] получил двухжидкостную двухтемпературную модель замагниченной плазмы, состоящей из электронов и одного сорта ионов. На протяжении многих лет эта модель была и остаётся ориентиром для многих проблем динамики столкновительной плазмы (см., например, [42—49]). В работе [50] кинетические коэффициенты для электронов Эпперлейном и Хайнесом были получены путём прямого численного решения кинетического уравнения. Это позволило авторам выяснить, насколько точны значения кинетических коэффициентов, полученные Брагинским в рамках двух-полиномиального приближения.
В большинстве выполненных на основе метода Чепмена—Энскога исследований кинетические коэффициенты вычисляются либо при помощи численных методов, либо аналитически при ограниченном наборе значений входящих в них параметров х и w. В начале 90-х были получены полные аналитические выражения [51] для кинетических коэффициентов, включающие результаты Брагинского как частный случай.
Модель плазмы сложного химического состава с учётом диффузии ионов разных сортов относительно друг-друга.
Плазма в природных объектах и лабораторных установках часто имеет сложный химический состав. Кроме электронов в ее состав входят ионы, различающиеся по массе и/или заряду. Назовем одну из компонент ионной составляющей плазмы «примесью». Заметим, что это название отнюдь не означает, что влияние этой компоненты мало.
Исследование плазмы сложного химического состава является одной из наиболее актуальных задач современной физики [52—61]. Несмотря на то, что этому вопросу посвящён ряд работ (см., например, [62—66]), до сих пор не было получено применимой в практических целях системы уравнений динамики плазмы со всеми необходимыми коэффициентами, которая обладала бы обоснованной областью применимости. В существующих моделях, постороенных по образу и подобию МГД модели Брагинского, не учитывается ни в уравнениях, ни в диссипативных коэффициентах то, что в плазме присутствуют ионы с разными массами и/или зарядами. Однако понятно, что ионы разной массы могут вести себя по-разному, их концентрации могут по-разному зависеть от координат и времени. Поэтому существующие модели плазмы не могут правильно описать влияние сложного химического состава на процессы переноса вещества и энергии.
Влияние примесей можно учесть качественно, например, путем добавления к имеющимся МГД уравнениям Брагинского системы уравнений для концентраций присутствующих в плазме ионов разных сортов [5]. Однако, такая модель может описать лишь поведение малой примеси, влияние которой на физические процессы в плазме пренебрежимо мало. На практике же в ряде задач несколько разных сортов ионов могут давать одинаковый по порядку величины вклад в потоки вещества и энергии. Поэтому представляется более продуктивным на основе методов решения кинетического уравнения развивать теорию, которая была бы справедлива при произвольном соотношении концентраций ионов разных сортов. Ждановым В. М. было выполнено исследование [66] по получению уравнений для плазмы сложного химического состава, содержащей два и более сортов ионов. Для получения необходимых уравнений МГД им был использован метод моментов Трэда, обобщённый на случай неизотермической многосортной плазмы, а так же многоатомного газа и газовой смеси. Этим методом Ждановым получены уравнения для многокомпонентной полностью ионизированной плазмы, состоящей из электронов и нескольких сортов ионов. Однако в этой работе нет полного набора пригодных для непосредственного использования аналитических выражений для кинетических коэффициентов электронов и ионов плазмы.
Эта проблема долгое время оставалась без должного внимания, быть может, в виду технических особенностей вопроса. Рассмотрение свойств таких систем как правило ограничивается случаями полностью ионизованной двухкомпонентной плазмы. Между тем реальная плазма, используемая в ряде экспериментальных и технических устройств, так же как и плазма естественного происхождения, практически всегда оказывается многокомпонентной. Даже в сравнительно «чистой» водородной плазме, удерживаемой магнитным полем в установках термоядерного синтеза, имеются примеси более тяжелых химических элементов, существенно влияющие на излучение, электропроводность, перенос вещества и энергии, и другие параметры плазмы, устанавливают пределы энергии, вкладываемой за эффективное время удержания, выходной полезной мощности. Примеси имеют фундаментальное значение (не до конца пока понятое) в механизмах формирования неустойчивостей. Процессы в плазме сложного химического состава диктуют граничные условия, которые необходимы для получения требуемых конфигураций плазмы. В процессе исследований по возможности использования токамаков в качестве термоядерных реакторов были опробованы несколько методов контролирования примесей, основанных на использовании материалов с низким г, испаряющихся с внутренней поверхности стенки (углерод, бериллий, бор) [67—70], или на непосредственном управлении потоками примесей. Кроме того, были найдены новые интересные способы управления плазмой при помощи примесей, например, для изменения условий удержания плазмы, уменьшения тепловой нагрузки. Другим возможным примером является плазма капиллярных разрядов [8, 9], в которых возможно образование горячей, плотной плазмы с необходимыми для рентгеновского лазера параметрами. Капиллярные разряды также можно использовать для каналирования лазерных импульсов для обеспечения режима его распространения без дифракционного расширения. В большинстве экспериментов с капиллярными разрядами плазма создаётся внутри канала на твердом диэлектрике между двумя металлическими электродами. При этом либо капилляр заполняется газом, который ионизуется предварительным разрядом, и капиллярный разряд развивается уже в этой плазме, либо капилляр является исходно пустым, а плазма образуется в результате развития поверхностного разряда и испарения материала стенок. Однако и в случае заполненного газом капилляра необходимо учитывать испарение материала стенок под воздействием потока тепла из плазмы, заполняющей канал.
В статье [71] в результате решения при помощи модификации метода Чепмена—Энскога [28] системы кинетических уравнений для электронов и двух сортов ионов, обозначаемых 1 и 2, была получена система уравнений гидродинамического типа, в которой учтена диффузия примеси и зависимость кинетических коэффициентов от двух сортов ионов. В работе [66] функция распределения раскладывалась сразу в ряд по полиномам, поэтому точность вычисления кинетических коэффициентов ограничена количеством членов ряда (20). В [71] кинетические уравнения решались путём разложения по малому параметру б = Кп. Полученные выражения для транспортных коэффициентов — точные в рассматриваемом приближении, путём разложения в ряд по полиномам Сонина из них могут быть получены с любой требуемой степенью точности приближённые аналитические выражения, пригодные для непосредственного использования в численных расчётах. Кроме того, выражения для кинетических коэффициентов [71], как и выражения для кинетических коэффициентов [51], получены в форме непрерывных функций входящих в них параметров. Авторы воспользовались широко известным подходом [72] к макроскопическому описанию плазмы, в котором плазма рассматривается как совокупность взаимно проникающих друг в друга заряженных газов, каждый из которых описывается своей системой макроскопических уравнений. Вместо того, чтобы рассматривать каждый сорт частиц, как отдельную жидкость, и, таким образом, строить трёхжидкостную модель (электронная жидкость и ионные жидкости первого и второго сорта), авторы получили двухжидкостную модель, в которой ионы рассматриваются, как одна жидкость, параметры которой выражаются через основные физические величины ионов первого и второго сорта. При этом предполагается, что каждый из сортов ионов имеет собственную плотность (щ и П2, соответственно), а средние скорости и температуры ионов обоих сортов одинаковы. Для замыкания системы уравнений МГД используется уравнение диффузии для ионов сорта 1 и 2 относительно друг-друга. Разница скоростей ионов первого и второго сортов Vi и V2 рассматривается, как подлежащая определению функция основных параметров плазмы. Выписывание отдельно уравнений для электронов и двух сортов ионов тоже представляет интерес, однако при этом система уравнений становится намного сложнее, при том что ее область применимости уже, чем в случае двужидкостного приближения. В работе [71] получены точные выражения для кинетических коэффициентов, входящих в уравнения двухжидкостной МГД плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами, через матричные элементы обратного оператора столкновений. В соответсвии с этим ионы сортов 1 и 2 называются соответственно «лёгкими» и «тяжёлыми». Для решения необходимых кинетических уравнений было выбрано разложение возмущения функции распределения в ряд по сферическим полиномам. Это позволило записать выражения для диссипативных потоков и кинетических коэффициентов в компактной форме, из них легко можно получить выражения, не зависящие от выбора конкретной системы координат. Было показано, что решение кинетического уравнения для лёгких, ионов сводится заменой обозначений к решению кинетического уравнения для электронов, установлено, что уравнение для ионов сорта 2 вообще говоря не обладает таким свойством. Кинетические коэффициенты для тяжёлых ионов были получены в случае, когда плотность тяжёлых ионов 712 не может быть слишком малой по сравнению с плотностью лёгких ионов щ, т. е. выполнено неравенство где Zi, zi — заряды ионов сортов 1 и 2, соответственно, в единицах заряда электрона е. В этом частном случае решения кинетических уравнений для ионов обоих сортов сводятся к решению кинетического уравнения для электронов. Для написания конкретных аналитических выражений для коэффициентов использовался метод полиномов Сонина, предложенный Барнеттом.
Отметим, что в рамках рассматриваемой модели процессов в плазме сложного химического состава важно не превысить точность.
23).
Диффузия ионов разных сортов относительно друг друга имеет компоненты, обусловленные неоднородностью давления, температуры и различным ускоряющим действием внешних сил (электромагнитного поля) на частицы плазмы [24]. В случае бинарной смеси диффузия от неоднородности давления («pressure diffusion») заключается в стремлении более тяжёлых частиц перемещаться в направлении большего давления. Примером диффузии, обусловленной действием внешних сил («forced diffusion»), является диффузия заряженных частиц плазмы под действием сторонних токов плазмы. Эффект термодиффузии («thermal diffusion») состоит в том, что градиент температуры вызывает пространственное разделение частиц плазмы по массе. Он используется, например, при разделении изотопов.
В переносе тепла электронов и ионов учитываются все диссипативные эффекты, среди которых эффекты Нернста и Эттингхаузена, а так же слагаемые, обусловленные диффузией ионов разных сортов относительно друг-друга. В силу сделанных замечаний для того, чтобы не превысить точность получаемой двужидкостной модели плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов, в уравнениях МГД пренебрегается инерцией электронной компоненты. По той же причине в уравнениях Максвелла (14) для параметров электромагнитного поля Е, В пренебрегается током смещения и полагается выполненным условие электронейтралыюсти вещества.
Важным пунктом в рассматриваемой модели плазмы сложного химического состава является вопрос о поведении входящих в них кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов при произвольном соотношении концентраций ионов 1-го и 2-го сорта. Этот вопрос становится особенно значимым, если концентрация тяжёлого сорта ионов достаточно мала. Кроме того, уравнения магнитной гидродинамики [71] и все кинетические коэффициенты были получены в предположении равенства нулю плотности сторонних зарядов и плотности сторонних токов в плазме. Хотя в рассматриваемом приближении выражения для кинетических коэффициентов теплопроводности и вязкости не зависят от этого предположения, эти эффекты могут дать определённый вклад в коэффициенты диффузионных потоков, которые в свою очередь влияют на диссипативные потоки импульса и энергии. Решение кинетических уравнений тяжёлого сорта ионов при произвольном соотношении концентраций ионов разных сортов и получение уравнений МГД плазмы сложного химического состава с учётом сторонних зарядов и токов, по существу, является основным содержанием данной диссертационной работы.
Цель, научная и практическая ценность работы.
Необходимость проведения настоящей работы продиктована отсутствием на настоящий момент полных адекватных уравнений МГД, позволяющих рассчитать основные характеристики и следствия изложенного в предыдущем разделе процесса, проясняющего роль сложного химического состава в таких явлениях, как перенос тепла и излучения. Построение такой модели и анализ численных результатов полученной на её основании численной модели являются главными задачами диссертации. Основное содержение главы 1 составляет решение кинетического уравнения для ионов тяжёлого сорта плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами. Представлялось чрезвычайно важным выяснить выяснить, как ведут себя кинетические коэффициенты теплопроводности и вязкости тяжёлого сорта ионов в предельных случаях, когда один из сортов ионов плазмы является малой примесыо. Принципиальным результатом диссертационной работы (в части главы 1) является то, что полученное решение кинетического уравнения для тяжёлого сорта ионов позволяет получать двухжидкостные уравнения гидродинамики для плазмы из электронов и ионов двух сортов с существенно отличающимися массами и малой примеси любого количества ионов разных сортов (массы которых так же существенно различны) с точно вычисляемыми в рассматриваемом приближении кинетическими коэффициентами. Показано, что в пределе, когда лёгкий сорт ионов составляет малую примесь, кинетические коэффициенты для тяжёлого сорта ионов переходят в соответсвующие выражения, ранее полученные в работе [71].
В главе 2 на основе модели [71] были получены двухжидкостные уравнения МГД для плазмы сложного химического состава, учитывающие влияние сторонних источников электромагнитного поля, что так же является важным достижением данной диссертационной работы. Следует обратить особое внимание на тот факт, что в этой модели не только была учтена плотность стороннего тока, но и полагалась неравной нулю плотность сторонних зарядов. Плазма при этом считалась в целом по-прежнему электронейтральной. Такая модель может быть использована для исследования влияния на эволюцию плазмы пучков заряженных частиц.
С использованием модели стационарного цилиндрически симметричного разряда в плазме было установлено, что относительная концентрация тяжёлого и лёгкого сортов ионов может быть существенно неоднородна в пространстве, что является важным результатом. Важным результатом диссертации (в части главы 3) явилось получение достаточно простого критерия, позволяющего определить, при каких условиях следует ожидать существенно неоднородного распределния примеси в капиллярном разряде.
Практическая ценность представленной работы состоит в следующем:
• Получены все необходимые кинетические коэффициенты для тяжёлого сорта ионов, рассматриваемых в двухжидкостной МГД модели плазмы, состоящей из электронов и ионов с существенно отличающимися массами.
• Построена двухжидкостная двухтемпературная модель плазмы, содержащей два разных по массам сорта ионов, учитывающая эффекты теплопроводности, термодиффузии и вязкостного давления, наличие сторонних зарядов и токов, имеющая обоснованную область применимости.
• Получена численная модель стационарного осесимметричного разряда в плазме, содержащей два сорта ионов с существенно отличающимися массами.
• Получен критерий значимости учтенного эффекта диффузии примеси.
Краткое содержание работы.
В главе 1 путём решения кинетического уравнения с использованием разложения функции распределения по малому параметру получены выражения для диссипативных потоков и содержащихся в них кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов, входящих в уравнения двухжидкостной гидродинамики [71] для плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов.
В параграфе 1.1 рассматриваются процессы, при которых масштабы изменения гидродинамических параметров плазмы значительно больше средних длин пробега частиц плазмы, а относительные коллективные скорости частиц разных сортов, а так же электрическое поле в сопутствующей системе координат, достаточно малы. Общий подход заимствован из работы [71], в которой последовательно из кинетической теории была получена гидродинамическая двухжидкостная модель плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов таких, что масса mi ионов сорта 1 много меньше массы т2 ионов сорта 2. Используется вероятностное описание состояния частиц плазмы, характеризуемое одночастичной функцией распределения f (t, г, v). Электронная часть уравнений взята из [71], там она была получена в приближении, когда средняя длина свободного пробега электронов между столкновениями с ионами значительно меньше характерных масштабов изменения гидродинамических параметров, lei L, масса электронов много меньше массы ионов me <С т*, а е |Е + (l/c)[Ve, В]| lej Те, где Ve и Те — соответственно средняя скорость и температура электронов. Кинетические коэффициенты электронов могут быть выражены через 8 безразмерных функций Gi, 2,., 6,8,9(x?0- Изложен метод решения кинетического уравнения для лёгкого сорта ионов, с выражениями для диссипативных потоков и всех необходимых кинетических коэффициентов. Получено кинетическое уравнение для возмущения функции распределения тяжёлого сорта ионов.
В параграфе 1.2 получено решение кинетического уравнения для тяжёлого сорта ионов при произвольном значении параметра W2, указывающего относительную роль 2−1 и 2−2 столкновений. С использованием этого решения получены выражения для потока тепла и тензора вязкостного давления тяжёлого сорта ионов со всеми необходимыми кинетическими коэффициентами, в том числе в форме, не зависящей от выбора системы координат. Кинетические коэффициенты выражены через два матричных элемента обратного оператора столкновений. Показано, что в случае, когда параметр гй2, указывающий относительную роль 2−1 и 2−2 столкновений, существенно больше единицы, новые формулы для кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов переходят в формулы для соответствующих кинетических коэффициентов, полученные в [71].
В параграфе 1.3 в рамках двух-полиномиального приближения получены формулы для матричных элементов обратного оператора 2−1 столкновений, входящих в выражения для кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов. Получены приближённые выражения для новых G-факторов Gn,., i4(X) ?), входящих в кинетические коэффициенты тяжёлого сорта ионов, обозначающихся как Гц^.д^х, ?)•.
В параграфе 1.4 формулируются основные выводы.
В главе 2 получены уравнения МГД для плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами с учётом плотности сторонних зарядов рех и плотности сторонних токов jex. При этом считается, что для совокупности плазмы и сторонних зарядов выполнено условие электронейтральности.
В параграфе 2.1 обсуждается проблема совместного решения кинетических уравнений для возмущений функций распределения электронов и ионов 1-го и 2-го сорта, обозначаемых 5fe, 5 °F и 5F2, соответственно. Описанное в главе 1 решение кинетического уравнения для тяжёлого сорта ионов позволяет получить уравнения МГД плазмы, состоящей из электронов и ионов двух сортов, со всеми необходимыми транспортными коэффициентами, справедливыми при произвольном соотношении концентраций ионов разных сортов. Обсуждается критерий электронейтральности совокупности плазмы и сторонних зарядов. Выписана полная система уравнений, необходимых для получения двухжидкостной модели плазмы, состоящей из электронов и 2-х сортов ионов, с определениями макроскопических параметров плазмы: скоростей ионов сорта 1 и 2, плотности тока плазмы, плотности электрического заряда.
В параграфе 2.2 путём решения условия совместности векторных компонент кинетических уравнений для разных сортов ионов получено выражения для потока примеси q^i в терминах основных МГД параметров плазмы, а так же выражения для всех входящих в него кинетических коэффициентов. Здесь и далее мы предполагаем, что в плазме может присутствовать сторонний электрический заряд.
В параграфе 2.3 выписана конечная форма замкнутой системы двухжидкостных двухтемпературных уравнений МГД плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов. Учтена плотность сторонних зарядов рех и плотности сторонних токов jex. Дана конечная форма электронных гидродинамических уравнений. Отметим, что эти уравнения не содержат эффектов инерции электронного газа, а члены вязкости имеют упрощенную форму. Объяснения были даны во введении. Даны выражения для электронных диссипативных потоков, входящих в электронные МГД уравнения, таких как электронный поток тепла, электрон-ионная сила трения, электронная вязкость, скорость теплообмена между ионами и электронами. Дано уравнение электронной энтропии. Выписана конечная форма ионных гидродинамических уравнений. Даны выражения для ионных диссипативных потоков, входящих в ионные МГД уравнения, таких как ионный поток тепла, ионная вязкость и поток примеси. Выписаны выражения для всех необходимых кинетических коэффициентов. Получены уравнения для электромагнитного поля, совместные с предположениями, при которых были получены уравнения МГД.
В параграфе 2.4 обсуждается связь полученных уравнений МГД плазмы из электронов и двух сортов ионов с существенно отличными массами с уравнениями МГД Брагинского. Приведены результаты серии численных расчётов для характерных значений параметров, входящих в кинетические коэффициенты для потока тепла ионов 2-го сорта, показано, что в случае, когда параметр й)2, указывающий относительную роль 21 и 2−2 столкновений, существенно больше единицы, новые формулы для кинетических коэффициентов тяжёлого сорта ионов переходят в формулы для соответствующих кинетических коэффициентов, полученные в [71]. Исследована асимптотика G-факторов тяжёлого сорта ионов при W2 > оо, w2 —> 0. Продемонстрирована возможность получения точных аналитических выражений для кинетических коэффициентов без использования двух-полиномиалыюго приближения в случае, когда параметр и>2, указывающий относительную роль 2−1 и 2−2 столкновений, существенно меньше единицы. Оказывается, что ввиду диагональности матрицы обратного оператора 2−1 столкновений кинетические коэффициенты, полученные в рамках двух-полиномиального приближения, совпадают с точным решением при щ > 0. Исследуется поведение кинетических коэффициентов ионов 1-го и 2-го сорта в двух предельных случаях, когда-либо щ —> 0, либо щ —> 0.
В параграфе 2.5 сформулированы основные результаты.
В главе 3 в рамках уравнений двухжидкостной магнитной гидродинамики представлена стационарная осесимметричная модель [73] плазмы, состоящей из электронов и двух сортов ионов с существенно отличающимися массами, ограниченной стенками цилиндрического канала, в условиях, типичных для Z-пинчей и капиллярных разрядов. Численно показано, что в ряде случаев может иметь место заметное изменение концентрации тяжёлых ионов вдоль радиуса. Получен простой критерий, позволяющий определять условия, при которых изменения относительной концентрации тяжёлой примеси в плазме будут достаточно большими. Продемонстрирована возможность существенно неоднородного распределения ионов разных сортов относительно друг-друга.
В параграфе 3.1 сформулирована постановка задачи стационарном разряде с цилиндрически-симметричной конфигурацией плазмы в отсутствии аксиального магнитного поля. Детально рассмотрены данные для построения численной модели такие, как граничные условия для макроскопических параметров плазмы. Приведено краткое описание методики определения степеней ионизации ионов. Обсуждается вопрос выбора однотемпературного приближения.
В параграфе 3.2 представлены численные модели для равновесного Z-пинча с учётом переноса примеси. Детально рассмотрены граничные условия, необходимые для построения численной модели. Считается, что разряд не отрывается от стенок. Приведён расчёт одной из полученных равновесных конфигураций. Обсуждается вопрос оценки соотношения ионов разных сортов в пристеночной области.
В параграфе 3.3 получен критерий, позволяющий определить условия, при которых изменения относительной концентрации ионов разных сортов в капиллярных разрядах будет достаточно большим. На основе анализа критерия выполнен расчёт в условиях, когда полное число тяжёлой примеси относительно мало. Обсуждаются полученные результаты. Сделана грубая оценка характерного времени установления равновесия в плазме в рассматриваемых условиях.
В параграфе 3.4 сформулированы основные результаты.
В заключении приводятся основные результаты диссертации, выносимые автором на защиту.
В приложении, А дан обзор основ используемого метода получения МГД уравнений плазмы. Изложены общие свойства кинетического уравнения, а так же методы его решения, среди которых рассмотрены метод Гильберта, метод Чепмена—Энскога и метод Брагинского.
В приложении Б изложен используемый метод разложения интеграла столкновений по малым параметрам.
В приложении В дан полный набор необходимых определений, касающихся сферического представления векторов, тензоров и функций.
В приложении Г приведены приближённые аналитические выражения для G-факторов Gfi, 2,., 6,8,9 в двух-полиномиальном приближении.
Основные результаты диссертации, выносимые автором на защиту.
1) Получены все необходимые кинетические коэффициенты для тяжёлого сорта ионов, рассматриваемых в двухжидкостной МГД модели плазмы, состоящей из электронов и ионов с существенно отличающимися массами.
2) Построена модель с обоснованной областью применимости, учитывающая эффекты теплопроводности, термодиффузии и вязкостного давления в плазме, содержащей два разных по массам сорта ионов, с учётом сторонних зарядов и токов. Предлагаемая модель описывает плазму, как среду с двумя жидкостями, ионной и электронной, каждая из которых обладает своей плотностью, макроскопической скоростью и внутренней энергией. Таким образом, ионы в данной модели описываются как одна жидкость.
3) Рассмотрено простейшее равновесное решение этой системы уравнений в случае аксиально-симметричной конфигурации плазмы и магнитного поля. Результаты численных расчетов показывают, что в ряде случаев может иметь место заметное изменение концентрации тяжёлых ионов по радиусу. На примере капиллярных разрядов получен критерий значимости учтенного эффекта диффузии примеси: изменение относительной концентрации примеси в рассматриваемом нами приближении определяется изменением температуры и параметром <-, который выражается как явная функция параметров плазмы. При изменении температуры относительное изменение концентрации примеси будет определяться характерной величиной коэффициента с. Если при этом характерные значения с порядка, или заметно больше 1, то это будет означать сильное изменение равновесной концентрации примеси в капиллярном разряде. Величина с зависит в основном от отношения концентраций ионов при их фиксированных зарядах.
Автор признателен сотрудникам ИТЭФ: д.ф.-м.н. П. В. Сасорову за внимание, проявленное к работе и ценные замечания, д.ф.-м.н. М. М. Баско и к.ф.-м.н. Н. А. Бобровой за полезные обсуждения.
Отдельно хочется поблагодарить сотрудников МФТИ: декана ФОПФ д.ф.-м.н. Ф. Ф. Каменца и к.ф.-м.н. Е. П. Кузнецова за помощь при написании работы и обсуждение результатов.
Заключение
.
