Оптимальное по быстродействию управление динамическим объектом посредством ограниченной силы

Многомерные задачи возникают в различных приложениях теории оптимального управления и теории дифференциальных игр. Их решение весьма затруднено большим количеством параметров, от которых зависят искомые величины, сложностью решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, трудностью представления и интерпретации полученных результатов.

При решении возникает необходимость исследовать искомые величины при изменении заданных параметров, что приводит к большому количеству частных случаев, подлежащих учету, и большим вычислительным трудностям. По этой причине до недавнего времени эти задачи не могли быть решены вследствие отсутствия соответствующих вычислительных мощностей, а рассматривались лишь для небольшого количества параметров или при дополнительных упрощающих предположениях.

Среди задач этого типа можно выделить задачи оптимального управления [22, 48, 49, 58, 59, 71]. В них некоторая величина должна удовлетворять заданному интегральному или терминальному функционалу, который минимизируется или максимизируется. Наиболее распространенными с точки зрения практического применения являются задачи предельного быстродействия, то есть управления за минимальное время. Решению этих задач посвящено большое количество работ [3−14, 20−22, 25, 38, 40−49, 55−59, 70−72, 78, 79, 81−84].

Первоначально для решения задач оптимального управления использовались методы вариационного исчисления [22−24, 34, 36, 53, 58, 65, 66], а также различные методы, основанные на интерпретации условий задачи, метод фазового пространства [78].

Существенное развитие методов решения задач оптимального управления стало возможным после создания метода динамического программирования [19] и принципа максимума JI.C. Понтрягина [71].

На основе метода динамического программирования, созданы методы решения задач оптимального управления, основанные на вариации в пространстве состояний системы, доставляющие максимум гамильтониану по выбранной управляющей функции [1, 19, 24, 64, 77, 82]. Другая группа методов основана на аппроксимации области ограничения управления посредством выпуклых многогранников [24, 77, 82].

Принцип максимума позволил свести решение задачи оптимального управления к решению системы дифференциальных уравнений [21, 62, 71, 77, 82]. Если уравнения в сопряженных переменных удается проинтегрировать в аналитической форме, то решение задачи сводится к численному решению системы нелинейных уравнений [24, 26, 77, 82]. В противном случае, использовалась разностная аппроксимация системы уравнений в сопряженных переменных. В [32, 33, 75, 77] для решения задачи были использованы различные численные методы, основанные на применении разностных схем и различных аппроксимаций множества искомых параметров. Для решения задач оптимального управления применялся также метод усреднения [2, 79, 81] и метод малого параметра [3, 16, 20, 37].

Если задача не решается в общей постановке, то иногда целесообразно рассматривать частные случаи, основанные на упрощении (приближении) функционала или условий окончания процесса. Хорошо известны решения задач с нефиксированной финальной скоростью или финальным положением [3, 21, 22, 48, 58, 59]. В работах [5, 49, 58, 59, 71] рассмотрены случаи одномерного движения с учетом воздействия различных внешних сил линейной диссипации и силы упругости, силы сухого трения и др.

Для некоторых систем удается доказать характерные особенности управляющей функции, позволяющие упростить процедуру решения задачи. В работах [5, 84] были рассмотрены системы третьего порядка, в которых возможно провести аналитическое исследование. В задачах большего порядка решение строилось с учетом того, что управление будет релейной функцией, содержащей конечное число переключений [31, 32].

При решении многомерных задач оптимального управления весьма важно построить область управляемости динамической системы, позволяющая существенно упростить решение задачи и определить качественные особенности оптимального движения [18, 21, 22, 27, 30, 39, 49, 59, 60, 61, 68, 73, 74, 80]. Также получили развитие методы построения квазиоптимальных управлений [16, 27].

Задачи оптимального по быстродействию управления динамическим объектом посредством ограниченного по величине управляющего ускорения возникают в различных областях теории управления. В области управления KJIA [15, 17, 28, 31, 35], самолетами [54, 63, 67, 69, 85], мобильными роботами и транспортными средствами [29]. В задачах гашения колебаний [76, 81, 86], задачах оптимального управления с учетом фазовых ограничений [4, 12, 22], а также теории дифференциальных игр [1, 50−52, 83].

Следует отметить также различные задачи наведения на неподвижные объекты с учетом возмущений [49, 60], а также на подвижные объекты [31], задачи оптимального уклонения от препятствий [12] и минимизации промаха [56].

Диссертация посвящена решению задачи наискорейшего приведения многомерного динамического объекта в заданное фазовое состояние посредством управляющего ускорения, ограниченного по абсолютной величине. Движение происходит в геометрическом пространстве произвольной размерности. Цель работы исследовать оптимальное управление и время быстродействия. Построить синтез оптимального управления, исследовать время быстродействия как функцию начальных данных (функцию Беллмана) и определить качественные особенности движения.

В диссертационной работе обобщены уже известные решения задач с нефиксированной финальной скоростью и нефиксированным начальным положением динамического объекта. Эти случаи соответствуют особенностям на графиках направления управления и времени быстродействия при вариации по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора. Результаты работы [3], в которой была подробно исследована задача с нефиксированной финальной скоростью в диссертационной работе обобщены на случай равенства начальной и финальной скоростей.

Случай нулевой финальной скорости был рассмотрен в работе [11], где проинтегрированы уравнения движения, а решение задачи сведено к численному решению трансцендентного уравнения. Для этого случая получены новые результаты, основанные на выборке по величине и направлению начального положения динамического объекта.

В работе [71] рассмотрен случай одномерного движения. Характерные особенности управления и уравнения движения соответствуют случаям постоянного и кусочно-постоянного управлений в плоском случае.

Данная задача использовалась для тестирования различных численных алгоритмов [33, 77]. Рассматривались уравнения движения третьего порядка [84]. В качестве тестовых использовались как разностные схемы, так и аппроксимации множества начальных приближений.

В работах [40, 49] показана связь этой задачи с I — проблемой моментов.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Заключение

.

Рассмотрена задача наискорейшего приведения динамического объекта в требуемое фазовое состояние посредством ограниченного по величине управляющего ускорения. Решение задачи свелось к исследованию частных случаев: нулевого начального радиус-вектора, нулевой начальной скорости, а также выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора.

Оптимальное управление находится в два этапа: численное решение системы нелинейных уравнений и решение системы линейных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями найденных параметров.

Построен численный алгоритм решения задачи, позволяющий находить оптимальное управление и время быстродействия во всем фазовом пространстве начальных условий. Вычислительная процедура учитывает как непосредственно численное решение системы нелинейных уравнений, так и выбор начального приближения в пространстве состояний с помощью метода половинного деления. Для упрощения численного счета введена классификация управлений, позволяющая выделить и аналитически исследовать задачу для начальных условий, при которых алгоритм сходится очень медленно. На основе этой классификации построена эффективная процедура отбора корней. Найдены начальные условия, соответствующие этим типам управлений.

В процессе численного моделирования обнаружены случаи неединственности решения задачи принципа максимума: до трех решений при равенстве начальной и финальной скоростей, существование постоянного и непрерывного управлений, кусочно-постоянного и непрерывного управлений. Наличие двух и больше непрерывных управлений не обнаружено. Доказана единственность оптимального решения задачи.

Для случая равенства начальной и финальной скоростей исследованы оптимальные траектории, время быстродействия и оптимальное управление. Найдены начальные условия, при которых имеет место разрыв функции Беллмана, соответствующие неединственнсти решения задачи принципа максимума.

Для случая совпадения начального и финального положений были исследованы управление и время быстродействия при различных начальных скоростях. Доказано, что оптимальная траектория, представляющая собой замкнутую кривую, находится в угле, образованном направлением начальной скорости и направлением противоположном финальной скорости, причем направление радиус-вектора является монотонной функцией времени движения. При исследовании оптимального управления установлено, что режимы, в которых в начальный момент происходит торможение, а в финальной точке разгон скорости — не являются оптимальными.

Для нулевой начальной скорости получены новые результаты, описывающие качественные особенности времени быстродействия и оптимального управления. Доказано, что оптимальная траектория, представляющая собой замкнутую кривую, находится в угле, образованном направлением начального радиус-вектора и направлением противоположном финальной скорости, причем направление радиус-вектора является монотонной функцией времени движения.

В ситуации общего положения, когда начальные и конечные условия произвольны, оптимальные траектории можно классифицировать в зависимости от направления скорости и управления в начальный и конечный моменты времени. Всего реализуются четыре типа траекторий, которые соответствуют всем возможным случаям взаимного направления скорости и управления (разгона или торможения) в начальной и финальной точках.

Исследованы выборки по величине и направлению начальной скорости и начального радиус-вектора. Установлена связь особенностей времени быстродействия и оптимального управления. Найдены начальные условия, при которых время быстродействия будет меньше, чем время, соответствующее нулевой начальной скорости. В этой области одно и то же время быстродействия достигается при двух различных величинах начальной скорости.

Полученные зависимости времени и направления управления от начальных данных позволяют решать данную задачу при ограничениях на величину и направление начальной скорости и начального радиус-вектора в форме неравенств и могут быть использованы при решении задачи с фиксированным временем движения для оптимизации величины управляющего ускорения.

На языке Visual С++ написана программа, позволяющая строить оптимальные траектории, находить время быстродействия и управление по обратной связи во всем фазовом пространстве начальных условий.

Краткая характеристика используемого подхода.

1. Интегрирование в явном виде уравнений Гамильтона и уравнений движения.

2.

Введение

автомодельных параметров, характеризующих управление.

3. Определение фазового пространства, в котором происходит движение (понижение порядка системы уравнений движения).

4. Сведение к системе скалярных уравнений.

5. Нахождение особых и вырожденных случаев. Их отдельное, по возможности, аналитическое рассмотрение.

6. Построение сечений в фазовом пространстве, отвечающих различным вариациям по начальным и конечным условиям.

7. Исследование оптимального управления и времени быстродействия.

8. Компьютерная реализация численного алгоритма.